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离心率专题
对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线)的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a与b或a与c的其次式，从而根据（这是椭圆）（这是双曲线），就可以从中求出离心率，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！
一、求椭圆与双曲线离心率的值：
（一）、用定义求离心率问题：
【强化训练】1.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 ．
2、已知正方形ABCD,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________；
3、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。
4。已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5、如图,和分别是双曲线的两个焦点，
和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交
点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
（A） （B） （C） (D）
（二）、列方程求离心率问题：构造、的齐次式，解出
根据题设条件，借助、、之间的关系,构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率
例2、如图，在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点，为其右焦点,直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 .
变式:设双曲线(a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ）
(A） （B）2 （C） （D）
【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点，则解方程组有唯一解。本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能。
【强化训练】1、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ )
（A) （B） （C） （D）
2。在平面直角坐标系中,椭圆＋＝1（a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心,a为半
径的圆，过点(,0）作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ．
3。已知椭圆C：（a〉b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =( ）
（A)1 （B) （C） （D）2
4. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为( ) .
A． B. C. D.
二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小,例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标,利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式.
B2
B11
F1
y
x
O
F2
P
模型三：几何性质求离心率：
例3。已知椭圆＋＝1(a＞b＞0）的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P,使得∠F1PF2＝60°,则椭圆离心率的取值范围是 ．
【强化训练】1。已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，
使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
例4.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【强化训练】1、椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2、已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为：( ）
A． B． C． D．
3、双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且｜PF1|=2｜PF2｜，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A。(1,3） B。 C。（3，+） D。
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