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【章节训练】第27章 相似-8

一、选择题（共15小题）
1．（2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．
2.5AB
B．
3AB
C．
3.5AB
D．
4AB

2．（2012•深圳二模）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，则Sn等于（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是（　　）

A．
①②③
B．
②③④
C．
③④⑤
D．
①③⑤

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：（1）△BEA与△ACD；（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（　　）

A．
（1）（4）
B．
（1）（2）
C．
（2）（3）（4）
D．
（1）（2）（3）

6．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．
正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR的面积是19cm2，则△ABC的面积是（　　）

A．
38
B．
42.8
C．
45.6
D．
47.5

8．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：
①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；
③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

9．如图，D为⊙O的直径AB上任一点，CD⊥AB，若AD、BD的长分别等于a和b，则通过比较线段OC与CD的大小，可以得到关于正数a和b的一个性质，你认为这个性质是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（2011•綦江县模拟）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=a，AB=b，BF=c，下列结论：
①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；
其中正确的是（　　）

A．
②④
B．
①④
C．
②③
D．
①③

12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

13．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

14．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）
①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

15．（2011•金平区二模）如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（　　）

A．
0对
B．
1对
C．
2对
D．
3对

二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值）
16．（2012•舟山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：
①=；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=AB；⑤S△ABC=5S△BDF，
其中正确结论的序号是　_________　．

17．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H．下列结论：
①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．
其中正确的结论有　_________　．

18．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　_________　．（用含n的式子表示）

19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正确的有　_________　．

20．（2011•盘锦）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、AB的中点，连接DF、CE，DF与CE交于点H，则下列结论：①DF⊥CE；②DF=CE；③=；④=．其中正确结论的序号有　_________　．

21．（2011•内江）在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为　_________　．

22．（2010•淮安）已知菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部（包括边界）任取一点P，得到△ACP并涂成黑色，使黑色部分的面积大于6cm2的概率为　_________　．

23．（2010•江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是　_________　．

三、解答题（共7小题）（选答题，不自动判卷）
24．（2011•营口）如图（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．
（图（2）、图（3）供画图探究）

25．（2011•莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

26．（2011•盐城）情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是　_________　，∠CAC′=　_________　°．

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

27．（2011•义乌市）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在　_________　关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．

28．（2011•钦州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若CD=4，AC=4，求垂线段OE的长．

29．（2011•西宁）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

30．（2011•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【章节训练】第27章 相似-8
参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）
1．（2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．
2.5AB
B．
3AB
C．
3.5AB
D．
4AB

考点：
勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．
解答：
解：过点B作BM∥AD，
∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，
∴AB=DM，AD=BM，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，
∴MC2=MB2+BC2，
∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，
=，=，
即AD2=，BC2=，
∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+==，
∵S1+S3=4S2，
∴MC2=4AB2，MC=2AB，
CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．
故选B．

点评：
此题涉及到相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．

2．（2012•深圳二模）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，则Sn等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
解答：
解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，作出直线B1B2．
∴S△AB1C1=×2×=，
∵∠B1C1B2=60°，
∴AB1∥B2C1，
∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，
∴△B1B2D1∽△C1AD1，
∴B1D1：D1C1=1：1，
∴S1=，
同理：B2B3：AC2=1：2，
∴B2D2：D2C2=1：2，
∴S2=，
同理：BnBn+1：ACn=1：n，
∴BnDn：DnCn=1：n，
∴Sn=．
故选D．

点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；
②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4；
③当FC⊥AB时成立；
④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．
解答：
解：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本选项正确；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，
故不一定正确；
③由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC•BE=BD•DC=12．
故本选项正确；
④连接DM，则DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．
故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．

点评：
此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，证明△ADE∽△ACD和△FMB∽△CMA是解决本题的关键．

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是（　　）

A．
①②③
B．
②③④
C．
③④⑤
D．
①③⑤

考点：
正方形的性质；相似三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
本题为选择题，做选择题是要有技巧，像排除法，假设法都可以用，先看选项因为都有③选项故③可作为已知条件求解，
△DHB∽△CHG根据面积比等于相似比的平方可得S△CGH：S△DBH=1：2故选项有⑤，
然后再看①④中间哪个正确，先看①过G作GO⊥CD于O，设正方形边长为1，则，可求得CH=，====所以OC=，OD=1﹣，又==所以DH=，DO=DH﹣OH=1﹣，可得DO=OH，△DGH为等腰三角形，∠GDH=∠GHD，①正确．
解答：
解：（1）∵选项都有③，故可确定EG=CH．

（2）由题意可得四边形BCED为平行四边形，进而推出△DHB∽△CHG，==，
∵面积比等于相似比的平方
∴S△CGH：S△DBH=1：2．

（3）先看①设正方形边长为1．则==可求得CH=，====所以OD=1﹣，又==∴DH=．DO=DH﹣OH=1﹣∴可得DO=OH，△DGH为等腰三角形，即得∠GDH=∠GHD，①正确
故选D．

点评：
本题考查的知识点比较多，正方形四边相等的性质及等腰三角形两底角相等的性质，面积比等于相似比的平方，相似三角形的比例关系要熟练掌握，另外还要掌握做选择题的一些方法，可是选择题的解答即快又准．

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：（1）△BEA与△ACD；（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（　　）

A．
（1）（4）
B．
（1）（2）
C．
（2）（3）（4）
D．
（1）（2）（3）

考点：
矩形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据题意，分别寻找各对三角形相似的条件，运用判定方法判断．∠EFC=∠ADC=90°
∴∠DCA+∠FED=180°
∵∠FED+∠AEB=180°
∴∠AEB=∠DCA，∠CDA=∠DAB=90°
∵∠DAC=∠ABE∴△BEA∽△ACD．
再利用相似三角形相似的判定证明△FED与△DEB，△CFD与△ABG相似，而（4）不成立．
解答：
解：（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB=∠CDA=90°，
∴∠BAF+∠CAD=90°，
又∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAD=∠ABF，
∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确；
（2）△FED与△DEB相似．理由：DE2=AE2=EF•EB，∠DEF=∠BED；故此选项正确；
（3）△CFD与△ABG相似．理由：∠CDF=90°﹣∠EDF，∠AGB=90°﹣∠EBG，
由（2）的结论得：∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此选项正确；
（4）△ADF与△CFB不具备相似条件．
故选D．

点评：
本题主要考查了三角形相似的判定．

6．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．
正确的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据已知对结论进行分析，从而得到答案．
解答：
解：作BG⊥CG，交CF的延长线于点G，
∵∠CGB=90°，CF⊥AD
∴∠1=∠2
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBG
∴CD=BG，∠CDA=∠CBG
∵CD=BD
∴BG=BD
∵∠3=∠4，BF=BF
∴△BFG≌△BFD
∴∠FGB=∠FDB
∴∠ADC=∠BDF（故②正确）
如图2，作GB⊥BC，交CF延长线于点G，
∵∠ACB=90°，BG⊥BC
∴AC∥BG，∠CAB=∠3，∠AFC=∠BFG
∴△BFG∽△AFC
∵BE=BD=BC=AC
∴==
∴AF=2BF（③正确）
所以正确的有两个．
故选B．

点评：
此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形全等及相似求解．

7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR的面积是19cm2，则△ABC的面积是（　　）

A．
38
B．
42.8
C．
45.6
D．
47.5

考点：
三角形的面积；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
通过求出△QPR的面积和△ABC面积的比，即可求出△ABC的面积．
解答：
解：过P作PM⊥BC于M，过A作AN⊥BC于N
∴△BMP∽△BNA
∴PM：AN=BP：BA=2：3
设△ABC的面积为S，则S△BQP=BQ•PM=•（BC）•（AN）=BC•AN•=S
同理可得出：S△QRC=S，
同理，过P作PE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F．
则S△APR=S
S阴影=S﹣S△BQP﹣S△QRC﹣S△APR=S=19
∴△ABC的面积S=12×19÷5=45.6．
故选C．

点评：
已知部分求整体，可通过求得部分占整体的比重来求出整体的值．

8．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：
①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；
③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
①由于外心是三角形三边中垂线的交点，显然点E是AB、BP两边中垂线的交点，因此符合△ABP外心的要求，故①正确；
②此题要通过①的结论来求，连接AE，根据三角形的外心的性质可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再结合三角形的内角和定理进行求解即可；
③此题显然要通过相似三角形来求解，由于OA=OB，那么可通过证△OEB∽△CPB来判断③的结论是否正确；
④此题较简单，过E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的结论可转化为证PM是否为定值，观察图形，可通过证△PEM、△BEC是否全等来判断．
解答：
解：①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E点是AB、BP两边中垂线的交点，
∴E点是△ABP的外心，故①正确；
②如图，连接AE；
由①知：AE=EP=EB，则∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°﹣∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：，即PC•OB=OE•BC⇒PC•OA=OE•BC；
故③错误；
④过E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不变，故④正确；
因此正确的结论是①②④，故选C．

点评：
此题主要考查了三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质、全等三角形及相似三角形的相关知识等，综合性强，难度较大．

9．如图，D为⊙O的直径AB上任一点，CD⊥AB，若AD、BD的长分别等于a和b，则通过比较线段OC与CD的大小，可以得到关于正数a和b的一个性质，你认为这个性质是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
圆周角定理；垂径定理；射影定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
连接AC，BC；根据射影定理求解．
解答：
解：连接AC，BC．
根据AB是直径，因而∠ACB是直角，CD是直角三角形斜边上的高线，因而CD2=AD•DB，即CD2=ab，CD=．
而OC=，并且OC≥CD，则≥．
故选A．

点评：
本题主要考查了圆中直径所对的弦是直径，并且考查了垂径定理．

10．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF：FG=3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长，求出的值即可．
解答：
解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，
∴∠HEA+∠FEB=90°，
∵∠FEB+∠EFB=90°，
∴∠HEA=∠EFB，
∵∠HAE=∠B，
∴Rt△HAE∽△EBF，
∴===，
同理可得，∠GHD=∠EFB，HG=EF，
∴△GDH≌△EBF，DH=BF，DG=EB，
设AB=2x，BC=x，AE=a，BF=3a，
则AH=x﹣3a，AE=a，
∴tan∠AHE=tan∠BEF，
即=，解得：x=8a，
∴tan∠AHE===．
故选A
点评：
此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比，根据各边之间的关系列出方程解答．

11．（2011•綦江县模拟）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=a，AB=b，BF=c，下列结论：
①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；
其中正确的是（　　）

A．
②④
B．
①④
C．
②③
D．
①③

考点：
翻折变换（折叠问题）；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
由折叠前后对应线段相等可得①成立，那么只要判断③成立与否即可．
解答：
解：根据题意，结论①B′E=BF正确；
连接BE，
根据折叠可知：BF=B′F，∠BFE=∠B′FE，
又∵EF=EF
∴△B′EF≌△BEF（SAS），
∴B′E=BE，∠B′FE=∠BFE，
又∵AD∥BC，
∴∠B'EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B′EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF，
∴BE=B′F=BF=c，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，a2+b2=c2；
故选D．

点评：
此题主要考查图形的折叠问题，同时考查了平行线的性质和等角对等边等知识点．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．

12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
相似三角形的性质；动点问题的函数图象．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
过点O分别作OF⊥AB与F，OE⊥BC与E，易证明△NOF∽△MOE，利用相似比作为相等关系即可得到关于x，y的方程，整理即可得到函数关系式从而判断图象．
解答：
解：过点O分别作OF⊥AB与F，OE⊥BC与E
∵∠POQ=∠EOF=90°
∴∠NOF=∠MOE
∵∠NFO=∠MEO=90°
∴△NOF∽△MOE
∴=
∵AB=4，AD=6，BM=x，AN=y
∴NF=2﹣y，ME=3﹣x，OF=3，OE=2
∴=
∴y=x﹣（0＜x＜6）
故选C．

点评：
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．

13．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题；动点型．
分析：
①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．
③此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；
④若BE平分∠DBC，那么H是DG的中点；易证得△ABH∽△BCE，得BD•BC=BE•BH，即BC2=BE•BH，因此只需求出BE•BH的值即可得到正方形的面积，可先求出BE、EH的比例关系，代入已知的乘积式中，即可求得BE•BH的值，由此得解．
解答：
解：①正确，证明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；

②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；
由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正确；

③由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；
故③正确；

④过H作HN⊥CD于N，连接EG；
若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，已知：BH垂直平分DG；
得DE=EG，H是DG中点，HN为△DCG的中位线；
设CG=x，则：HN=x，EG=DE=x，DC=BC=（+1）x；
∵HN⊥CD，BC⊥CD，∴HN∥BC，
∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB，
∴△BEC∽△HEN，则BE：EH=BC：HN=2+2，即EH=；
∴HE•BH=BH•=4﹣2，即BE•BH=4；
∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，
∴△DBH∽△EBC，得：DB•BC=BE•BH=4，
即BC2=4，得：BC2=4，即正方形ABCD的面积为4；
故④正确；
因此四个结论都正确，故选D．

点评：
本题主要考查三角形相似和全等的判定及性质、正方形的性质以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．

14．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）
①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
正方形