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恒星讲义2

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第二章 恒星内部的辐射转移过程与不透明度

第一节 辐射场性质的宏观描述

1. 辐射强度

在dt时间内，沿s方向通过面元ds，在立体角dW和频率间隔dn内的辐射能为dEn，那么辐射强度In定义为：

其中q是面元ds的法线方向n与辐射方向s之间的夹角。如果In与方向无关，则辐射场称为各向同性辐射场。
将In对所有方向求平均，可以得到平均辐射强度：

对各向同性辐射场，In ＝ Jn。

2. 辐射能量密度

沿s方向传播的辐射能，dt时间内将充满dV体积。利用此性质，并对角度积分，就得到辐射能量密度

对于各向同性辐射场，

3. 辐射通量

对穿过面元ds的辐射能对所有方向积分，就得到穿过该面元的辐射能通量：

辐射通量Fn是一个与面元法向n有关的量。

4. 辐射压强

光子的能量-动量关系为E=pc＝hn。辐射在传递能量的同时，也传递动量，由此产生辐射压强。辐射能dEn伴随的动量是dEn/c。将其投影在ds法线方向，并对所有方向和频率积分，就得到辐射压强：

对于各向同性辐射场，

第二节 辐射与物质的相互作用

1. 辐射与介质相互作用的微观过程

辐射与介质的相互作用可以分为两类：

（1）散射过程：光子与粒子发生碰撞，其方向和频率会发生变化。散射过程中光子数是守恒的，入射方向辐射强度减弱，但其它方向辐射强度增加。例如：

光子在自由电子上的散射：汤姆孙散射和康普顿散射

光子在束缚电荷上的散射：分子的瑞利散射。

（2）吸收与发射过程：原子可以吸收光子，从低能态跃迁到高能态；也可以发射光子，从高能态跃迁到低能态。例如：

光致电离（束缚-自由跃迁）：原子吸收光子后发生电离。入射光子能量等于电离能加上自由电子的动能，产生从某频率开始的连续谱吸收。

光致激发（束缚-束缚跃迁）：原子吸收光子后从低能态跃迁到高能态。入射光子能量等于两能态能量差，产生谱线吸收。

轫致辐射（自由-自由跃迁）：自由电子与离子碰撞时产生，电子能量减少时发射辐射，电子能量增加时吸收辐射。产生连续谱吸收。

气体原子吸收了入射光子能量后，将从低能级跃迁至高能级。随后，可能发生两种不同的复合跃迁过程而从高能级返回低能级：

自发跃迁：激发原子自发从高能级跃迁回低能级，此时发射出的光子是各向同性的。

感应跃迁：激发原子在入射辐射的感应作用下发生复合，此时发射的光子与入射光子方向相同。

2. 吸收系数

介质可以吸收辐射能。对于入射辐射In，穿越一介质层ds后其强度减弱了dIn，则定义该层介质的吸收系数kn为：

这样定义的吸收系数为单位质量物质的吸收系数，又称为不透明度。如果单个粒子的吸收截面为a，那么有：

其中n是粒子数密度。

3. 发射系数

介质不但会吸收辐射，还能够发射辐射。设经过一介质层ds后辐射强度增加了dIn，那么定义发射系数hn为：

这样定义的发射系数为单位质量物质的发射系数。发射过程也分可为真发射和散射发射。真发射系数代表各向同性的自发发射系数，而感应发射的光子由于与入射光子同方向，可以当做“负吸收”来处理。

4. 爱因斯坦概率系数

介质的真发射和真吸收过程之间是有联系的，可以用爱因斯坦概率系数进行研究。
设介质中原子的两个能态为m能态和n能态，并且En > Em。定义自发跃迁概率系数Anm为单位时间一个原子从高能态En跃迁到低能态Em的概率。受激发射概率系数Bnm定义为，在入射辐射In的作用下，一个原子单位时间内从高能态En跃迁到低能态Em的概率。吸收过程必定是受激的。定义吸收概率系数Bmn为，单位时间内一个原子吸收入射辐射In的一个能量为hn的光子，因而从低能态Em跃迁到高能态En的概率。
上述系数是原子固有的性质，与原子所处环境无关。于是我们可以利用热动平衡条件来推导这些系数之间的关系。设m能态的原子数密度为Nm，n能态的原子数密度为Nn。在热动平衡条件下，各能级间的跃迁和复合应该是处于平衡状态的，这叫做细致平衡原理。于是，发射光子的跃迁数应该等于吸收光子的跃迁数：

或者写成：

在热动平衡条件下，各能级上的粒子占据数服从玻尔兹曼分布：

辐射强度满足普朗克函数：

比较上面两个式子，可以得出：

这两个关系叫做爱因斯坦关系。

第三节 辐射转移方程

1. 平面平行层的辐射转移方程

辐射穿越一介质层ds后，其强度变化应满足：

设辐射方向s和坐标轴方向z的夹角为q，则dz＝cosqds＝mds，于是辐射转移方程可以写成：

式中Sn称为源函数。引入光学深度dtn＝－rkndz，则辐射转移方程又写为：

2. 辐射转移方程的通解

将辐射转移方程两边乘以积分因子exp(-tn/m),得到：

积分上式得到：

不难看出，右边第一项代表入射辐射的贡献，第二项代表介质层的贡献。

（1）设源项Sn＝0,则有：

（2）设入射辐射Inin＝0,则有：

设介质处于热动平衡状态并具有均匀的温度，则Sn＝Bn。于是有：

3. 辐射转移方程的渐近解

当光学深度tn很大时，可以将辐射强度In展开成角度m的级数：

代入到辐射转移方程中，并利用Sn＝Bn，得出：

由于上式对所有角度都成立，故两边角度m指数相同的项的系数应该相等：

¼¼

于是得到：

取前两项近似，辐射能量通量可以表示为：

4. 灰大气模型

如果不透明度与辐射频率无关，称为灰大气模型。将辐射转移方程对所有频率积分，得到：

将此方程对所有角度积分，得到：

对处于辐射平衡状态的恒星大气，所有能量都是由辐射传递的，于是辐射通量是一个常数，得到J=S。代回辐射转移方程，得到一个关于I的微分-积分方程。
将辐射转移方程两边乘以m，再对角度积分，得到：

对于各向同性的辐射场，I＝J，于是得到：

积分得到平均辐射强度随光学厚度变化的关系为：

在光学厚度很大的地方，辐射场基本上是各向同性的，上述近似有效。但在光学厚度很小时，上述近似失效，C将是光学深度的函数。Eddington假定C总是一个常数，在无向内入射辐射的边界条件下，求得C＝2/3。这样的模型称为Eddington灰大气模型。
在局部热动平衡条件下,J＝I＝B,得到灰大气温度分布为：

第四节 恒星物质的不透明度

1. 不透明度

恒星物质的不透明度主要由束缚-束缚跃迁过程、束缚-自由跃迁过程、自由-自由跃迁过程和散射过程产生的吸收组成，可以表示为：

其中：kij代表束缚-束缚跃迁过程的贡献
kif代表束缚-自由跃迁过程的贡献
kff代表自由-自由跃迁过程的贡献
se代表散射过程的贡献
如果单个粒子的吸收截面为an，那么有：

其中r是密度，n是粒子数密度。

2. 束缚-束缚跃迁过程
一个原子吸收频率为nij的光子，发生从低能态i到高能态j的跃迁。由于能级i有一定展宽，用jn表示其轮廓函数。同样地，用yn表示能级j的轮廓函数。轮廓函数应满足归一化条件：

jn也被称为吸收轮廓，而yn被称为发射轮廓。在通常情况下，可以认为jn＝yn，称为完全再分布假设。
单位体积内，

（1）光致跃迁数目：

（2）自发复合数目：

（3）光致复合数目：

一般将光致复合效应当做负吸收而归并到吸收系数中。于是，利用爱因斯坦关系和完全再分布假设，吸收系数和发射系数可以写成为：

在经典理论中，爱因斯坦系数Bij可以利用谐振子对电磁波的吸收进行计算。设单色电磁波E＝E0exp(iwt)沿z轴传播，其电场在x方向。一个位于z＝0处的谐振子，在此单色辐射驱动下的运动方程是：

其中m和e是谐振子的质量和电荷，w0是谐振子的本征频率，g是一个小的阻尼系数。
设解的形式为x＝x0exp(iwt),则有：

于是得到：

入射电磁波对束缚粒子做功而损失能量，粒子因而吸收电磁波。所做的功率为：

于是得到：

上式最右边的函数是以w0为中心的一个尖峰分布，即w～w0。另外，入射辐射能密度u＝E2/4p，于是得到：

显然，吸收轮廓jn满足归一化条件，因为：

其中x＝4p(n－n0)/g。
经典振子理论推导出来的结果不够精确，用量子力学可以导出更准确的表达式。我们不做推导，直接给出为：

其中fij称为振子强度，具有下列性质：

其中gm是第m能级的统计权重。例如，氢原子的振子强度fnm由下式给出：

其中gbb是束缚-束缚跃迁的Kramers-Gaunt因子。
利用上述结果，引入束缚-束缚跃迁过程的原子吸收截面aij为：

束缚-束缚跃迁过程吸收系数的表达式为：

相应发射系数的表达式为：

3. 束缚-自由跃迁过程

在束缚-自由跃迁过程中，原子吸收能量为hn的光子，其电子从束缚态跃迁成为自由电子。用c表示电离能，v表示自由电子的速度，有：

设n0表示中性原子的数密度，n1表示离子的数密度，ne表示自由电子的数密度。引入Cn表示每秒发生束缚-自由跃迁的概率，G(v)表示每秒发生自发复合的概率，F(v)表示每秒发生感应复合的概率，它们是自由电子速度v的函数。
和束缚-束缚过程的处理类似，单位体积内，

（1）光致电离数目：

（2）自发复合数目：

（3）光致复合数目：

和束缚-束缚过程类似，这些系数之间是有联系的，可以用局部热动平衡条件来推导其相互关系。在局部热动平衡条件下，电离与复合过程是平衡的，即：

或者，

自由电子的速度服从麦克斯韦速度分布函数：

原子在电离态上的占据数满足Saha公式：

其中U0、U1是两电离态的配分函数。将这些关系代入上式中，并将结果同黑体辐射公式比较，可以得到：

这组关系被称为Einstein-Milne关系。
同样，将光致复合效应当做负吸收而归并到吸收系数中。于是，吸收系数和发射系数可以写成为：

对于一个电荷为Ze，并且只包含一个电子的类氢系统（如HeII）来说，光致电离的跃迁概率Cn可以用量子力学计算得出：

其中n是初态的主量子数，gif是束缚-自由跃迁的Gaunt因子，aif是束缚-自由跃迁过程的原子吸收截面。

4. 自由-自由跃迁过程

当一个自由电子遇上一个离子时，它的速度就会发生变化而发出辐射。这种过程被称为自由-自由辐射，也称轫致辐射。在自由-自由跃迁过程中，光子的能量是从消耗电子的动能而得到的，而离子在获得盈余动量的同时，其获得的能量可以忽略不计。
设电子的初始动能为e0,吸收一个能量为hn的光子后，最终动能e为：

设ni表示离子的数密度，ne表示自由电子的数密度，f(e)表示电子的分布函数。引入Pn表示每秒发生自由-自由吸收的概率，Qn表示每秒发生自发发射的概率，Rn表示每秒发生感应发射的概率。和束缚-束缚过程的处理类似，单位体积内，

（1）受激吸收数目：

（2）自发辐射数目：

（3）感应辐射数目：

平衡条件要求：

或者

在热动平衡条件下，电子的分布函数为麦克斯韦分布：

辐射强度为黑体辐射定律。代入上述方程得出：

对比得到：

注意到e1/2正比于相空间中微观能态的数目，这组关系同束缚-束缚跃迁过程的概率关系非常类似。
对于一个服从麦克斯韦速度分布的电子与电荷为Ze的离子碰撞发生的自由-自由吸收过程，量子力学计算得到吸收概率为：

其中gff是自由-自由过程的冈特因子。
吸收系数和发射系数可以写成为：

5. 散射过程

光子与粒子（电子、原子、分子等）发生碰撞，光子的方向和频率会发生变化。这种现象被称为散射过程。原来入射辐射方向的强度将减弱，而其它方向的辐射强度会增加。
在光子能量较小时，可以将散射过程看成在电磁波的作用下，粒子作强迫振动，从而因速度变化而发射次级电磁波。设一个谐振子的本征频率为w0,阻尼系数为g，在电场E＝E0exp(iwt)的作用下发生振动。从前面讨论已知，运动的解为：

运动电荷的辐射功率由Larmor给出为：

代入上面结果，并考虑到入射辐射的能量密度u＝E2/4p，得出：

这些能量是从入射辐射中散射出来的，也就是被吸收掉的。于是粒子的散射截面为：

（1）光子在自由电子上的汤姆孙散射
在自由电子情况下，w0＝g＝0，得到：

（2）束缚电荷的瑞利散射
当入射辐射的频率n远远小于谐振子的特征频率n0时，散射截面为：

这种情况对应于光子在中性原子或分子上的散射。

6. 平均不透明度

当要求一种与辐射频率无关的吸收系数时，可以采用以下方法对吸收系数进行平均处理，得到与频率无关的平均吸收系数。
利用辐射转移方程的渐近解：

对所有频率积分得到：

引入不透明度的Rosseland平均值：

代入上式得到：

不透明度的Rosseland平均值被广泛应用于研究恒星内部的辐射传能过程。
在靠近恒星表面的大气层中，光深可以很小，因此辐射的扩散近似不成立。将辐射转移方程对所有频率积分得到：

在很多情况下（特别是考虑恒星的连续谱辐射时），恒星大气层内满足局部热动平衡条件，即Sn＝Bn。引入不透明度的Planck平均值：

就可以定义频率无关的光学厚度：

用来建立近似的灰大气温度分布。

7. 平均不透明度近似公式和不透明度表

（1）束缚-自由吸收：

其中XH是氢的丰度，Xz为重元素的丰度，gif为束缚-自由吸收的平均冈特因子，t为截至因子。

（2）自由-自由吸收：

其中XH是氢的丰度，Xz为重元素的丰度，gff为自由-自由吸收的平均冈特因子。

（3）电子散射：

其中T9＝T×10-9，XH是氢的丰度。电子的Compton散射改正已经考虑在内。

（4）LAOL不透明度表和OPAL不透明度表

恒星物质不透明度的计算是一件非常复杂和烦琐的工作，不但要考虑各种物理过程所起的作用，还要考虑各种元素和化合物的贡献。在上世纪90年代以前，LAOL不透明度表囊括了关于这个问题的所有知识，成为恒星物质不透明度数据的标准。
LAOL不透明度表存在的一个主要问题是，由它计算得到的造父变星的演化质量和脉动质量不一致。为解决这个问题，需要将温度在105K处的不透明度增加3-5倍。OPAL不透明度表考虑了铁元素因为L-S耦合造成谱线分裂现象，从而得到了预期的改正，成为当前恒星物质不透明度数据的标准。OPAL不透明度表可以从下列网址下载：

http://www-pat.llnl.gov/Research/OPAL/existing.html

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