战地黄花——线代部分知识分享.doc

战地黄花线代部分精品文档一.欲说线代先方程大自然中最简单的图形是直线。社会生活中最简单的关系是“成比例”。据说当年“工 x 队”进驻清华。有一位队员对“井岗山”群众讲话。开场白说，我们工人阶级大老粗，不象你们知识分子弯弯多。我们是“一根肠子通屁眼直来直去”。一句话让满场 红28团的钢杆粉丝们笑得捧腹弯腰，花枝乱颤。“直”代表简单，早已融进人们的思维。初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。什么东东叫一个方程（组）的根 把东东代入这个方程（组），方程（组）化为恒等式。这个概念是学习线性代数的基本需要。不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍然是该方程组的解”感觉盲然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简单。是不是“解”，代入方程（组）算一算。由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展：（1）一元 n 次方程 （2）n 元一次方程组（线性方程组）大学数学线性代数教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。 第二板块是矩阵特征理论基础知识。n 阶方阵 A 的特征方程是个一元 n 次方程。一元 n 次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根。）有韦达定理显示根与系数的关系。人们努力探索了大半个世纪，也没能找到一元五次方程的求根公式。回头又花了几十年，证明了所期盼的求根公式不存在。同时也证明了一元 n 次方程在复数范围内有 n 个根。（k 重根算 k 个根。）还同样找到了高次方程的 “韦达定理”。对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，- - - ）都得到了园满解决。在研究非线性问题时，人们找到了“有限元”，“边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。描述一个齐次线性方程 a1x1 + a2x2 + - + a nx n = 0 ，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的 n 维向量（a1，a2， - ，an）。方程组的两种同解变换，即方程两端同乘以一个数与两个方程相加（减），正好是数乘向量与向量加法。如果是有m个方程的齐次线性方程组，则 m 个系数行就排成一个 mn 阶矩阵。如果把 n 个未知量也按顺序排成一个向量，每个方程的左端 “a1x1 + a2x2 + - + a nx n”，正好是，系数向量与未知量向量的 “对应分量两两相乘，加在一起”。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积”。进而规定出“矩阵的乘法”。运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方程。（如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。）这就产生了第二个问题：“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”由此有相应概念 矩阵的秩，n 维向量组的秩。解决一个复杂的数学问题，往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如“证明哥德巴赫猜想”之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。实际问题的需要促成了线性理论百花竞艳。柯召先生的开山之作就是一部矩阵论。我在本科时是柯先生的钢杆粉丝，企图课余时间读完这套专著。结果读不到一半，但已收获不浅。考研那年，有幸在YM石油局图书馆书库中得到了张远达先生的线性代数。张先生主要以行列式为工具。常常在证明一个定理时，出人意料地给出一个辅助行列式，通过计算解决问题。直令我佩服得五体投地。又读了谢邦杰先生的线性代数，谢先生创新的“高矩阵” 方法，让我耳目一新。还读了李尔重等老师合写的线性代数，这部教材着重照应线性代数方法在计算机上实现，让我对高斯消元，矩阵分解等内容有了更深的理解。（题外话：最终在考研考场上。我花了不到30分钟，拿到了线性代数的100分。那真是读书改变命运啊。）知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算；- - - 。愿这能有助于你减少一点抽象感。二.提升观念学集合线性代数的“地基”是，行列式基础知识，向量基础知识，矩阵基础知识。全都需要用“集合”语言来描述。数学所说的集合，隐含集合中的“元素”有一定的共性特征。n 维向量集合由全体 n 元有序数组（a1，a2，-，a n）组成；mn 阶矩阵是 m n 个元所排成的矩形阵列。这两个集合上都定义了“数乘”与“加法”运算。对于 n 阶行列式，它也有两条性质相应于“数乘”与“加法”。集合上的运算在观念上要比四则运算高一个层次。集合上的“运算”本质上是人为规定的特殊运算或特殊对应规律。 “数乘”与“加法”合称为线性运算。由于有负数，因而“加法”实际上包含了通常的减法。数学工作者在讨论一般集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作“线性组合”。学到这个地步，要学会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说“向量的线性组合”，有时就指的是运算结果所得到的向量。还比如：有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。 （“线性组合”表示运算结果）有限个连续函数的线性组合连续。 有限个可导函数的线性组合可导。（画外音：不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无穷大。“”是未定式。）如果两个变量成正比例，我们就说这两个变量有线性关系。在解析几何中，我们研究只有方向与模长的“自由向量”。 三维（真实）空间里，两个向量 ，或者平行，对应分量成比例， = ，即两个向量有线性关系。或者彼此不平行。（但必然都平行于同一平面。）这时，我们说两个向量没有线性关系。同样地，讨论一组两个或多个 n 维向量，我们自然要先考虑它们之间是否存在某种线性关系。即“是否有一个向量可以表示为组内其它向量的线性组合。”或 “是否有一个向量可以被组内其它向量线性表示。”如果是，就称这组向量线性相关。否则，称向量组线性无关。作为数学定义，数学家们总希望其内含更丰富，不愿意突出某一个向量。于是有：定义若有一组不全为零的数 c1，c2，-，c k ，使得 c1a1+ c2a 2+ -+ c k a k = 0 ，就称向量组a1，a 2 ，-，a k 线性相关。否则，称向量组线性无关。（潜台词：谁的系数不为零，谁就可以被组内其它向量线性表示。）这个定义的内含实在是丰富多彩。理解（1） 含“零向量”的向量组一定线性相关。“零向量”的系数取1，其它向量的系数取0 ，就满足定义。（构造法！）理解（2） “部分相关，全组相关。” 比如组内有两个向量平行不仿设 a1= ca 2 ，即 a1 ca 2 = 0，其它向量的系数取 0 ，就满足定义。（构造法！）这个结论有个伴生结论：“全组无关，部分无关。”理解（3）在一个向量组内，向量之间可能存在很多个线性关系。要判断其线性相关性，只需要找到一个线性关系。理解（4） 系数为零的向量，实际上并没有参与该线性关系。例1 如果向量可以由向量组 a1，a 2 ，- - -，a k 线性表示，则（A）存在一组不全为零的数 c1，c2，- - -，c k，使得 = c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k （B）对的线性表示式一定不唯一。 （C）向量组 ，a1，a 2 ，- - -，a k线性相关。（D） 组内任意一个向量，一定也可以由及组内其它向量线性表示。分析 已知与 a1，- - -，a k 间存在线性关系，故（C）对。如果是零向量，而 a1，- - -，a k 线性无关，则（A）不成立。如果 a1，- - -，a k 线性无关，则对的线性表示唯一。（B）错。谁的系数不为零，谁才可以被及组内其它向量线性表示。故（D）错。理解（5） 如何用定义来具体描述及证明向量组线性无关呢？“不存在一组不全为零的数 c1，c2，- - -，c k ，使得 c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k = 0 ”“对任何一组不全为零的数 c1，c2，- - -，c k ，总有 c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k 0 ”这两种否定性描述都对。但是不好用。我们选择：“设有数组 c1，c2，- - -，c k ，使得 c1a1+ c2a 2+ -+ c k a k = 0 ，则只有 c1 = c2 = - = c k = 0，就表明向量组线性无关。”这样一来，“证明向量组线性无关”就程序化了。遇上证明线性无关的题，你先写“设有一组数 - - - ，使得 - - - ，”再具体证明“只有 - - - ”。例2 若向量组 1 ,2 线性无关，而1 ,2 , 线性相关，1 ,2 ,线性无关，则向量组1 ,2 ,+线性无关。证明 已知1 ,2 , 线性相关，即有不全为零的数组使 k11 + k 22 + k 3= 0 ，又已知1 ,2 线性无关，必有 k3 0 ，向量可以由 1 ,2 线性表示。否则，系数全都为 0 ，矛盾。设有数组 c1，c2，c3，使得 c11 + c22 + c3（+）= 0（潜台词：要证向量组线性无关，请证明三系数皆为0）如果 c3 = 0，同理，只有 c1 = c2 = 0 ，结论得证。如果 c3 0，则向量 + 可以被 1 ,2 线性表示。已证明 可以由1 ,2 线性表示，从而也可以被 1 ,2 线性表示。这与已知矛盾。只有 c3 = 0例3 已知向量 1 0 ，向量组 a1，a 2 ，- - - ，a k中的每一个向量，都不能由排在它前面的那些向量线性表示。试证此向量组线性无关。证明 设有一组数 c1，c2，- - -，c k ，使得 c1a1+ c2a 2+ - - - + c k a k = 0如果有某个系数非零，（反证法），我们可以从右向左看。设第一个不为 0 的系数是c r ，则向量 a r 就能由排在它前面的那些向量线性表示。矛盾。只有c1 = c2 = - - - = c k = 0 ，向量组线性无关。有一个重要的定理可以和线性相关的定义放在一起学习。定理 已知一个n维向量组线性无关，如果在相同的位置给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。为了好记，我把这个结论称为“线性无关，延长无关。”比如，三维向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）显然线性无关。依据本定理，四维向量组（1，0，0，a），（1，0，0，b），（1，0，0，c）一定线性无关。在实际工作中，要分析某个目标变量与我们认定的若干个因素变量之间的关系，以便对目标变量实施预测。通常也首先猜想那是一个“多元线性模型”，然后依据历史记录的各变量数据，用最小二乘法回归出各个系数，再用概率方法作显著性分析。三.“秩”的概念先向量矩阵的“秩”是线性代数第一模块(线性方程组)的核心概念。矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向量工具更为方便。所以先要学习向量组的的秩。1向量组的最大无关组与秩讨论向量组的线性相关性，其应用背景是，“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”因而我们相应最关心的是，“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。”如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。一个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。（由后述“基本定理”保证。）称为向量组的“秩”。对向量组而言，最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。例7 向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以被原组向量线性表示。分析 实际上 因为新组包含旧组，且，新组的秩 = 旧组的秩，故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性表示。最大无关组的基本作用是，它可以将组内每一个向量唯一地线性表示。*如果给它一个排列顺序，就能使组内的向量与“有序（系）数组”成一一对应，这就自然生成了集合内的“坐标”。有趣的是，最大无关组如何唯一地线性表示自身内部的任一向量呢？当然只能是自己的系数 1 ，其它的系数为 0 ；因为它们之间不存在任何线性关系。（*潜台词：任何一个最大无关组，作为“坐标基“，它自身的“坐标”总是“单位向量组” ：（1，0， ，0），（0，1， ，0），（0，0， ，1）*例8 向量组的一个子组是其最大无关组的充分必要条件是，组内每一个向量都可以由这个子组唯一地线性表示分析 只需证明条件的充分性。设向量组内每一个向量都可以由一个子组唯一地线性表示。这个子组不可能有零向量。否则，零向量的系数随意，线性表示式不可能唯一。如果这个子组线性相关，则其中至少有一个向量可以被子组内其它向量线性表示。加上0项,，得到被子组全体向量线性表示。但是，取的系数为 1 ，其它向量的系数都为 0 ，可以得到被子组全体向量线性表示的另一个式子。矛盾。 （反证法结合构造法。）一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，如果一个向量组共有 k 个向量，又已知其中的 k1 个向量线性无关。则向量组的秩为 k1 ；该无关组就是它的最大无关组。例9 已知向量组 1 ,2 , 3 线性相关；向量组 2 ,3 , 4 线性无关。试问（1）向量 1 能否由 2 , 3 线性表示？（2）向量 4 能否由 1 ,2 , 3 线性表示？分析 （1）已知向量组 1 ,2 , 3 线性相关；向量组 2 ,3 , 4 线性无关，所以，2 ,3线性无关，且正好是 1 ,2 , 3 的一个最大无关组。1可以由 2 , 3 线性表示。（且唯一地线性表示。）（2）如果 4 能由 1 ,2 , 3 线性表示，则由（1）的结论，（潜台词：把1的线性表示式代入。） 4 就能由 2 , 3 线性表示，这和已知 2 ,3 , 4 线性无关矛盾。2向量基本定理定理 如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，则甲向量组的秩 R（甲） 乙向量组的秩 R（乙）教材内一般都不会证明这个定理。学习这个定理，首先要熟练它的语言。显然，如果甲向量组的每一个向量可以由乙向量组线性表示，而 甲组向量个数 乙组向量个数，则甲向量组必定线性相关。实际上，唯一的信息链是：秩R（甲） 秩 R（乙） 乙组向量个数 甲组向量个数n+1 个 n 维向量必定线性相关，是因为它们可以由前述单位向量组线性表示。如果两个向量组能相互线性表示。则它们的秩相等。称为等价向量组。显然，向量集合的最大无关组是两两等价的。例10 如果把两个向量组合并为一个组，则“合并组”的秩不超过各组秩的和。分析 两个向量组各取一个最大无关组，合并到一起，为了说话方便，称为“小合并组”。显然，“合并组” 每一个向量都可以被“小合并组”线性表示。但是两个线性无关组合并后不一定能全组线性无关。故“合并组”的秩 “小合并组” 的秩 原两个向量组秩的和问题本身都不算难。难就难在描述向量的语言。考研数学卷常常会有题目：“已知两个含参数的向量组等价，试确定参数值。”那就求向量组的秩，利用秩相等来判断或建立方程。如果是“试讨论参数为何值时，两个向量组等价或不等价。”难度就高了很多。因为秩相等的两个向量组不一定等价。我们也难以按定义判定等价性。这时候，题上所给的向量组可能都是三个三维向量的组。如果线性无关，则三维空间的两个最大无关组等价。*3向量空间有的线性代数教材上写了一章“线性空间”。非数学专业的学生很难适应那样的理论抽象及其讨论方式。我们不仿将讨论范围限定在 n 维向量内，就可以简明地说：“如果一个 n 维向量集合对于线性运算是封闭的。即集合中任意有限个向量的线性组合仍然是集合中的向量，就称这个集合为向量空间。如果一个 n 维向量集合的秩为 k ，又成功向量空间，就称其为 k 维向量空间。”全体 n 维向量组成的集合叫 n 维向量空间。三维空间中，“平行于某一已知平面的全体向量组成的集合”显然也是一个向量空间。是三维向量空间的一个二维子空间。n个未知量m个方程的齐次线性方程组如果有一个非零的解向量，则对任意实数 c ，向量 c也是该方程组的解向量。进一步还可以验证，齐次线性方程组的任意有限个解向量的线性组合也是该方程组的解向量。（画外音：是不是解向量，代入齐次线性方程组去验算一下嘛。）这就是说，齐次线性方程组如果有一个非零的解向量，它就有无穷多个解向量。一个齐次线性方程组的全体解向量是 n 维向量空间的子集合，但它对于线性运算也是封闭的。因而也可以获得“向量空间”的称号。叫齐次线性方程组的解空间。不要害怕，知道向量集合满足一个运算性质，就给它一个特殊称呼。如此而已！四.向量内积学在前集合上的运算概念再向上提升，就是集合上的“二元关系”。内积正是我们在向量集合上规定的一个“二元关系” 两个n 维向量对应唯一确定的一个数。即对于任意两个n维行向量 =(1, 2, ，n) ,=(1,2 , ，n) , 规定 内积 = 11 + 22 + + nn（ = ）（画外音：喜欢口诀吗？左行右列作内积。对应分量积相加。）正如我们在指导（37）中所述，在一定意义上，内积的创意起自于表示齐次线性方程组的需要。把 n 个未知量记为未知列向量 x =（x1，x 2， ，x n），就可以把齐次线性方程组简化表示为 Ax = 0，即第 k 个方程的左端就是 A 的第 k 行与 x 的内积。数学一的考生学习了空间解析几何基础知识。空解与平解的基本差别在于，平解的基本工具是方程；而空解的基本工具是“向量代数”。其中，向量的“数量积”就是内积。空解中介绍了“数量积”的物理模型背景；用内积描述“向量在轴上的投影”；用内积建立轨迹方程；用内积计算各种交角；。可惜我们的高等数学教材往往在多元微积分部分不再注重引导学生使用“数量积”。同学们学习第二型（关于坐标的）曲线积分，曲面积分感到困难，一定意义上说，就是对“数量积”及其物理模型背景理解得较差。内积的应用之广，远远超越了它的运算本意。1 距离*在空间解析几何中， 向量坐标 = 终点坐标 起点坐标，向量“模长”就是两点间的距离。让 n 维向量 =（1，n）和自己作内积，即 = 2 = = 12 + +n2通常称 的祘术根为向量 的“模长”。记为|。 |是（方向的）单位向量。并由此得到一个小结论：n 维向量 是零向量的充分必要条件是，= 0借助于向量“模长”与内积，可以进一步在集合内抽象定义“距离”。有了“距离”，又可以再引申出特定意义的“逼近”与“收敛”。这是一条深邃的理论链。最简单的一个应用是，对于实践中出现的不相容的线性方程组 A x = ，我们可以求“使模长| A x |最小的 x ”，作为线性方程组的解。即最小二乘解。2向量组线性相关，线性无关的等价条件线性代数教材中通常把 n 维向量设为列向量。这样就可以把 mn 阶矩阵 A 表示为A = (a1，a2，-，a n ) ，又称为矩阵 A 的列分块表达式。其中，列向量 a1 = ( a 11，-，a n 1 )， ， a n = ( a 1n ，- - - ，a n n )如果把每个列块视为一个元素，A = (a1，a2， ，a n) 就是一个“形式向量”。这个观念对学习线性代数大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量 x 作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = 0 改写为(a1，a2， ，a n) （x1，x 2， ，x n）= 0 即 x1 a1+ x 2 a2 +- + x n a n = 0对比一下向量组线性相关的定义，就能产生一个新的描述方式：一个（n维）列向量组线性相关的充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应的齐次线性方程组有非零解。一个（n维）列向量组线性无关的充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应的齐次线性方程组仅有零解。向量语言与方程语言融合，给我们提供了新的讨论方法。最基本的一条是“n个n维向量线性相关的充分必要条件是，它们排成的行列式值为0 ”例13 讨论向量 1 =（1，1，0），2 =（1，3，1），3 =（5，3，t）的线性相关性。分析 三个三维向量线性相关的充分必要条件是，它们排成的三阶行列式值为 0由此列方程可以计算得，当 t=1 时，三向量线性相关。当 t 1 时，三向量线性无关。3线性方程组 A x = 有解的等价条件对于一般的线性方程组 A x = ，即 x1 a1+ x 2 a 2 + + x n a n = ，也有新说法：“线性方程组 A x = 有解的充分必要条件是，向量可以被A的列向量组线性表示。”比如，已知向量可以被向量组 a1，a 2，a 3 线性表示为 = a1 + 2a 2 ，如果有必要，我们可以说，已知表明，线性方程组 (a1，a2，a 3) x = 有非零解 =(1,2,0)4正交概念与齐次线性方程组Ax = 0的解如果内积 = 0，称向量与正交。在三维空间，正交就是垂直。在一般的 n 维空间，正交是垂直概念的推广。利用正交概念，可以给齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量一个新的含意：向量 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量的充分必要条件是， 与 A 的每个行向量都正交。如果a1，a2是两个线性无关的3维向量，（即不平行。）在三维空间内思考齐次线性方程组 (a1，a2) x = 0的解集，是一个很有趣的几何现象。两个互不平行的系数向量平行于同一平面，垂直于平面的每个向量，都是这个方程组的解。显然解集的秩为 1 。向量内积 满足交换律。如果 已知齐次线性方程组 Ax = 0 的 k 个解，1， ，k ， 我们作新的齐次线性方程组（1， ，k）x = 0 ，则原方程组的每个系数行向量转置为列向量，都是这个新方程组的解。例14 非零正交向量组 a1，a 2，-，a k 一定是线性无关组。分析 设有一组数 c1，c2，-，c k，使得 c1a1 + c2a 2 + -+ c k a k = 0（画外音：要记住这个“八股”开场白哦。）等式两端分别和 a1 作内积，得 c1a1a1 = 0 ，只有 c1 = 0 ；如法炮制，得常数全为 0例15 设 n 维行向量组 a1，a 2，-，a k 线性无关，kn ，以它们为系数作有 k 个方程的齐次线性方程组。若向量是这个方程组的非零解。试证向量组 a1，a 2，-，a k， 线性无关。分析 设有一组数 c1，c2，-，c k，s ，使得 c1a1+ c2a 2+ -+ c k a k+ s = 0 是齐次线性方程组的非零解，它必与各系数行向量正交。等式两端分别和作内积，得 s = 0 ，只有 s = 0 ；代回等式去，再利用已知线性无关性可得常数全为 0*例15是原数学四的考题。它可以深化为，“，若这个方程组有s个线性无关的非零解，k + s n ，则系数组与解组的合并组线性无关。”在高级语言中，把向量空间的最大无关组称为空间的坐标基。简称为基（或基底）。齐次线性方程组的基础解系就是其解向量空间的基。无论在理论上或应用中，往往需要选择两两正交，模长皆为1的基向量组。称为“标准正交基”。 空解背靠直角坐标系，以三个坐标轴方向的单位向量 i，j，k 为基向量组，给出了向量的坐标。i，j，k 就是三维向量空间的一组标准正交基。如果需要，可以用斯密特正交化方法，把已知的最大无关组改造为标准正交组。（画外音：教材上介绍的这个古典方法被专家们发现有数值不稳定性，已被改进。）斯密特正交化方法要点不仿以改造三维向量空间里的线性无关组，为例。（1）将单位化。仍记为 1（2）选 1 = c1 +，用1与1正交的条件立方程确定 c，最后单位化，记为 2（画外音：这是在，所确定的二维子空间里挑选“替补队员”。）（3）选 1 = s1 + t2 + ，用 1与1，2 正交的条件确定 s 及 t ，最后单位化，记为 3就这样，在研考范围内已经够用了。向量内积，贯穿线性代数全书。学在前列，很有必要。向量入门，线代入门。基本工具，无法回避。有志考研，愿君努力。五.行列式与矩阵秩行列式是 nn 个元素的一种规定算法。非数学专业的学生学习这一部分时，要重在结论与方法，不要太在意行列式定义及行列式性质证明等细节。代数余子式与行列式展开定理是这部分的重点。1. 代数余子式n 阶行列式划去第 i 行第 j 列后得到的 n1 阶行列式，称为其元素 a i j 的余子式。记为 i j ；添加一个符号，又记 A i j = (1)的(i+j)次方i j ，称为其元素 a i j 的代数余子式。a i j 也有双重身份。既表示位于行列式第案i 行第 j 列交叉处的元素，又代表那个位置。某一行（列）元数的代数余子式有下述两个特点：（1） 它们的“外加符号” (1)的(i+j)次方 是顺次交错的。（2） 即便在行列式中将第i行元素划掉，它们的代数余子式的信息仍然还全部保留着。2. 行列式展开定理代数余子式的基本作用就是给n阶行列式一个展开式。行列式展开定理 已知n阶行列式D，则对第i行，1 i n ，有 a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a i n A i n = D 而 ij 时 a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a i n A j n = 0鉴于逆向思维的困难，我有意把第一个公式的左右端对调。从右向左，叫 n 阶行列式 D 按第 i 行展开。（拉普拉斯展开定理的特殊情形。）从左向右，强调第 i 行与自己的代数余子式行向量作内积，恰是原行列式。定理的后式表明，第 i 行向量与别的任一行的代数余子式行向量正交。思考（1） 连续使用行列式展开定理，最终可以把n阶行列式表示为若干个3阶或2阶行列式的线性组合。如果你能利用行列式的性质，（即把行列式的某行的k倍加到另一行，行列式的值不变。）先将n阶行列式D化为上（下）三角行列式，则D的值等于上（下）三角行列式主对角线上元素的连乘积。思考（2） 已知n阶行列式D，问，线性组合 c1 A i1 + c2 A i2 + - + c n A i n = ？ 与行列式展开定理公式对比，这个线性合相当于用系数行 c1，c2，-，c n 代替了（或说，具体化了）D的第 i 行。逆向思维，它等于D的第i行换成此系数行而得到的新行列式 D i例18 已知四阶行列式D 的第 3 行元数都是 2 ，则 A21 + A22 + A23 + A 24 = 0 , 为什么?分析 A21 + A22 + A23 + A 24 等于将D的第 2 行元数全换为 1而得到的新行列式。显然，这个行列式的第2 行与第 3 行成比例。例19 设A是个n 阶方阵。B是将A的第 1行划去而得到的（n1）n 阶矩阵。作齐次线性方程组 Bx = 0 ，你能用代数余子式概念，给出它的一个解吗？分析 仅仅划去方阵A的第 1 行，那就还保留着|A|的第 1 行元素的代数余子式信息。第 1 行元素的代数余子式组成的向量，与其它各行都正交。因而它就是方程组 Bx = 0 的一个解向量。例20 设 n 阶行列式D 的第 1 行是 n 个可导函数，其它行的元都实数。则 D是这 n个可导函数的线性组合。为什么？你能用行列式表示这个线性组合的导数吗？分析 你能左右运用行列式展开定理，“展开”“回收”自由，这类题就只是个小游戏。对D按第 1 行展开，每个代数余子式就是一个实数。展开式就是那 n个可导函数的线性组合。线性组合的导数，是这 n 个函数的导数的线性组合。系数还是第1 行元素的代数余子式。逆向思维，导数的线性组合就是行列式D的第 1 行各函数，分别换成其导数后得到的 n 阶行列式。（潜台词：自己写个三阶情形，好好想想。）（3）格莱姆法则 _ 利用代数余子式，可以用消元法解有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组 Ax = b 如果 D =|A|0 ，则方程组有唯一的解x =（D1 / D，-，Dn / D） ；D j 是将D 的第 j 列换为常数列 b 而得到的行列式。格莱姆法则的证明过程，是运用代数余子式的“正交消元法”。值得一看。由此推得：n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是 |A|0n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是，它们排成的行列式不为 0思考（4） 设如果 A 是 n 阶方阵，且|A| = 0 ，则由行列式展开定理知，A 的任一行元素的代数余子式，与A的每个行向量都正交。即A的任一行元素的代数余子式，都是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量。遇到n个未知量n个方程的线性方程组的题目，要首先看看(3)与思考(4)能否用上。3n 阶方阵A的伴随阵A*每个 n 阶方阵 A 相应有行列式|A|；|A|有 nn 个代数余子式 ，它们按转置方式排成 n 阶方阵 A*，称为 A 的伴随阵。由 A* 的构造设计得到“基本恒等式” AA* = A*A = |A|E基本恒等式可以将格莱姆法则的证明过程大大简化。即 |A| 0 时 ，有Ax = b A* Ax = A* b |A|x = A* b x = A* b|A|考研试题围绕代数余子式与 A* 形成一个考点。例21 已知三阶方阵A的每一个元素都等于它的代数余子式。且a 33 = 1，|A| = 1，若b =（0，0，1），则方程组Ax = b的解是（A）（3，5，2）；（B）（1，2，3）；（C）（0，0，1）；（D）（1，0，1）分析 由已知条件选第三列来展开 |A|，得到方程 a 13a 13 + a 23a 2 3 + a 33a 3 3 = 1因为 a 33a 33 = 1，所以 a 13 = a 2 3 = 0 ；A的第三列为（0，0，1）Ax = b 是3 个未知量 3个方程的方程组。先用格莱姆法则试试求解。已知|A|的第 3 列（0，0，1）。若把|A|的第 1 或第 2 列分别换成 b =（0，0，1），就会有两列成比列，故D1 = D2 = 0 ，应选（C）。4矩阵的秩从应用角度考虑，行向量组的秩表示齐次线性方程组中相互独立的方程个数。应该就是系数矩阵的秩。从研究矩阵出发，则要兼顾行与列。定义 矩阵A的不为零的子式的最高阶数r ，称为矩阵A的秩。记为 r (A)理解(1) 已知矩阵A的为秩r A至少有一个r阶子式不为0 排成该子式的r个r维的行(或列)向量线性无关 “线性无关，延长无关”。这些r维行(或列)向量所在的，矩阵A的r个行(或列)向量线性无关。 它们是A的行(或列)向量组的一个最大无关组。（等价性原理（不证） 矩阵的秩，即是它的行(或列)向量组的秩。） 齐次线性方程组 Ax = 0 相应的 r 个方程相互独立。 一个方程可以解出一个未知量。r 个相互独立的方程只能解出 r 个未知量。方程组的通解中必定含有 nr个独立未知量。只能把它们取为 nr 个独立常数。这表明：齐次线性方程组Ax = 0 解向量集的秩 = nr (A) （*画外音：我称这个公式为“核心恒等式”。它贯穿全课程，年年必考。）如果系数矩阵的列向量组线性无关，即秩 r = n ，则齐次线性方程组只有唯一的零（零向量）解向量。 nn = 0 ，完全一至理解(2) 已知矩阵A 的秩为 r A的 所有 r + 1 阶子式全为0 如果要计算矩阵内的参数值，选取含有参数的 r + 1 阶子式列方程。理解(3) A 是 mn 阶矩阵，则 秩 r (A) min（m ，n） ；（画外音：可以称为，矩阵秩的第一个“不超过”，“自然不超过”。）若A 是非零阵 ， 则 r (A) 1非零列向量或行向量视为列矩阵或行矩阵，显然其秩为 1如果 n 阶方阵A的秩 r (A) = n，就称 A为满秩方阵。或可逆的，非退化的；非奇异的。*例22 A*是n阶方阵A的伴随阵。试讨论（1）若|A| 0 ，r (A*) = ？ (2) r (A) n1 时 r (A*) = ？ 分析 （1） 若|A| 0，由“基本恒等式” AA* = A*A = |A|E ，即AA* |A|= A*A|A| = E ，A*满秩。 A*|A|与 A互为逆阵。(2) 若 r (A) n1 ，则 A 的 所有 n1 阶子式全为0 ；从而 |A|的代数余子式都为 0 ，A* 是零矩阵。 r (A*) = 0*（3） r (A) = n1 的情形是一个高级问题。（“核心恒等式”用于讨论矩阵的秩。）若 r (A) = n1，则 A 至少有一个 n1 阶子式不为 0，A