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二次根式典型例题

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二次根式典型例题

【知识要点】
1、二次根式的概念：一般地，形如的式子叫做二次根式。
注意：这里被开方数可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中是为二次根式的前提条件。
2、二次根式的性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
即。
4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。
即。
5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。
6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。
分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：
①与；②与；③与；
④与（其中都是最简二次根式）
7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
8、二次根式的加减法
二次根式的加减，就是合并同类二次根式。
二次根式加减法运算的一般步骤：
（1）将每一个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。

【典型例题】
例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
分析：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数不小于0。
解答：（1）∵，
∴是二次根式；
（2）∵，
∴不是二次根式；
（3）∵无论取什么实数，都有，
∴是二次根式；
（4）∵中根指数是3，
∴不是二次根式；
（5）当，即时，是二次根式；
当，即时，不是二次根式；
（6）∵
当时，；当时，。
∴当时，是二次根式；当时，不是二次根式。

例2、是怎样的实数时，下列各式有意义。
（1） （2）
（3） （4）
分析：要使上面各式有意义，必须使二次根号下的被开方数非负。
解答：（1）由，得。
∴当时，有意义。
（2）由，得，即。
当时，有意义。
（3）∵。
当时，，有意义；
当时，，无意义。
（4）∵，
∴为任意实数，都有意义。

例3、（1）计算；
（2）
（3）设为的三边，化简

分析：根据，再由绝对值的意义，化去绝对值的符号。
解答： （1）；
（2）
（3）因为为三角形三边，所以，

例4、化简：
（1） （2）
（3） （4）
分析：运用等式可把二次根式化简。
解答：（1） （2）
（3） （4）。

例5、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。
（1） （2）
（3） （4）
分析：根据算术平方根的定义，根号外的因式移到根号内，要将其平方，同时不能改变其性质符号。
解答：（1）
（2） （3） （4）

例6、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
分析：根据二次根式的乘法法则，除法法则，合并同类二次根式等方法进行计算。
解答：（1） （2） （3）
（4） （5）
【小结】
1、二次根式的意义；二次根式的简单性质．
2、会利用积的算术平方根的性质，化简二次根式；会进行简单的二次根式的乘法运算．
3、会利用商的算术平方根的性质，化简二次根式；会进行简单的二次根式的除法运算．
4、最简二次根式．
5、同类二次根式；能熟练地进行二次根式的加减法运算．

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、填空题：
1、计算：=________；=________；=________；=________。
2、计算：=________；+=_________。
3、计算：－ =__________； =_________.
4、若，则__________；若，则__________。
5、若=0，则=__________。
6、当x_______时，有意义；在中x的取值范围是___________。

二、选择题：
7、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
8、当<－4时，那么|2－|等于（ ）
（A）4+ （B）－ （C）－4－ （D）
9、化简|－2|+的结果是（ ）。
（A）4－2 （B）0 （C）2 （D）4
10、与的关系是（ ）。
（A）互为相反数 （B）互为倒数 （C）相等 （D）互为有理化因式
11、+2倒数是（ ）。
（A）－2 （B）－－2 （C）－+2 （D）
12、下列各组中互为有理化因式的是（ ）。
（A）与 （B）与
（C）与 （D）与
13、如果，则的关系是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
14、把根号外的因式移入根号内，得（ ）。
（A） （B） （C）－ （D）－
15、设4－的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）。
（A）1－ （B） （C） （D）－

三、计算题
16、
17、

四、解答题
18、已知：．

【参考答案】
1、1；；；3；
2、；；
3、；
4、为非负数；为非正数；
5、；
6、且
7、B 8、C 9、A 10、C 11、A
12、C 13、B 14、D 15、A 16、；
17、； 18、1

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