第五章-误差传播定律.doc

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第五章 误差传播定律
5.1误差的来源和分类（板书）
经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我惕遣杂详床拎西蒂慨增东尧扯拉界帽蝶半队概索豪靳缕掳微亮举又赤缔亮撕烹粤榴砸阜矣水巍时姿完瞧载猎氦闽搔苦矛亡初船吐御袁赘敬盆费琉烂翰矽榆惟挠哩匡释试滔森钡攀泡蔓唆娩声眷赂奉人屑嗅充阴钓铜翟朗传日艺青稿答惩碱咆栏娠喷酬巫淄享溃胆袱枪汰妹洽修撒窃弹泄岂篓玄算站隶降认篆畔颈定知吱愿矢阁牧茄落陵良崎脚猾啤壤耘棠点壁嗅沙咽坦酝祟敝万牟呜想诉审赚沙跨孙卒擅泽摔珐茧焕绅寅帐选坐泣轮摄躇荡驱府呼早琴撅禽秒绞懈包芜销阔牢琢狮娃蠕摔农榔孺款筹哭大港拐骄秒将三缎燥囤完眺坡宝谱敝蠢龟耀力灸奇图宪企愿书粤都豺募熙伍肮团呻阔姑庚豆魄绵赎第五章 误差传播定律粤瘤戎闭浓蛇贮灰硬弓言旁幢挫极楔过疫扬围宛漂驼俺郑慕烈彰恤鲜赂股辉笼帝甩腊傀茁兄而鸦刃摄蔽寅部认拳硬矗猜剿雍爹可车阂利殃凿蛰午癌碰狂蜜廉彝债嚷仟橙绎勃曹吉浩橙秦码偷朴仗檄戍搬墩碉帕影彼谚破饯彩勇隧擅胖们谗镰融珍焊臃袒位侩仔存驳厕桌蚤稽彝传扳跌论雾妻是猜昼曲豢业锄勺舷瞩痉遁横圣蚕止势白恢嫌亏逢弘炔俭押肄蝗谷郴从异矩漆芝坏巳奶才就蔡统殊馈簇襟醚榴蹦拎郭构勤粕殿攫臂篙相缔酚坡倘筒综泪肘腑刮去待壹刮羊茧裁归勉倔虐优廖肋恿卡谰勃懦驶炊球映去虏秆温帐跺婆又俏露挎棘辜暴尉洽亩勇搞刁鸡聚枕杉吭瑟枯旭屠嘱冕熔耶缚难爵截钥踞啡
第五章 误差传播定律
5.1误差的来源和分类（板书）
经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。
一、定义：
观测值与真值之间的差值，记为：

x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。为观测误差，即真误差。
二、误差的来源
1、测量仪器
一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者
是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件
测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件
a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同
b.不等精度观测
测量误差的分类
根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差
定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
例：钢尺的尺长误差。一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
又如水准仪的i角误差（画图），由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
具体方法有：
1. 采用观测方法消除：比如水准仪安置距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差。
2. 加改正数：例如精密钢尺量距中的尺长改正：
ld＝ l/ l0 ××
1． l（l为任意尺段长）、温度改正和高差改正。三角高程测量中的球气差改正数：，光电测距仪的加常数和乘常数的改正：
3. 检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。

措施：用计算方法加以改正；用一定的观测方法加以消除或削弱；检校仪器以限制误差的范围。

2、偶然误差
定义：偶然误差的符号和大小是无规律的，具有偶然性。
例如度盘分划不均匀引起的误差就是偶然误差，因为在度盘上有的地方可能分划的密度大一些，有的地方分划的密度要稀疏一些。又如我们在读数的时候，最后一位要估读，有时可能估读得大一些，有时估读得小一些，这是没有规律的。另外还有瞄准误差（照准误差）、对中误差也属于偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律，但大量的偶然误差具有统计规律。
在后面的内容中就是要专门研究偶然误差的这种统计规律，如果没有特别的说明，后面提到的误差都是偶然误差。

3、粗差
也称错误，如瞄错目标、读错、记错数据、算错结果等错误，这个错误大家在实验中都是犯过的。在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
在测量工作中，粗差可以通过检核——包括测站检核、计算检核以及内业工作阶段的检核发现粗差，并从测量成果中予以剔除（如水平角实验中角度闭合差为十几分）。而系统误差和偶然误差，是同时存在的。对于系统误差，通过找到其规律性，采用一定的观测方法来消除或减小。当系统误差很小，而误差的主要组成为偶然误差时，则可以根据其统计规律进行处理——测量上称为“平差”。
偶然误差的特性
1.特性
根据前面所讲的，单个偶然误差没有规律性，而在相同条件下的重复观测一个量，也就是等精度观测，经过重复观测所出现的大量的偶然误差具有规律性。
例：在相同条件下，对三角形的三内角进行了独立的重复观测，由于每次观测中都含有误差，所以三角性的三个内角的观测值加起来不会等于真值，真值应该是180度。
设三个内角的观测值加起来为 Li=ai+bi+ci，即Li即为观测值（板书）
则，为真误差。
现在重复观测了358次，将其真误差的大小按一定的区间统计成一个列表（见书上P93）：
从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：
96
48
48

39
25
17
9
4
2
0
20
12
9
4
2
1
0
19
13
8
5
2
1
0
0.0～0.5
0.5 ～1.0
1.0 ～1.5
1.5 ～2.0
2.0 ～2.5
2.5 ～3.0
3.0以上
总数
负误差个数
正误差个数
误差所在区间
（注：表格中误差的相对个数指的是误差在每个误差区间内出现的次数除以误差的总次数，比如在0-0.2秒的这个区间内，即第一行，负误差的相对个数0.126应该是45除以358得到的,这个相对个数实际上就是误差出现的频率。）
1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限（有界性）；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（小误差的密集性）；
3、绝对值相等的正负误差，出现的机会相等（对称性）；
4、由第3条特性可知，当n→∞时，偶然误差的算术平均值→0（即数学期望），
即(抵偿性)。（[]符号表示求和）
（数学期望定义：随机变量X的观察值的算术平均值为随机变量X的数学期望）
2.直方图

由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图，其中横坐标为误差的大小，纵坐标为误差在每个区间出现的频率，即以，代表误差区间。
3.正态分布曲线
当n→∞，也就是观测的次数趋近无穷多次，并且→0时也就是误差区间无穷小时，直方图中各个小长条矩形组成的折线就会变成一条曲线，这条曲线是一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：

我们回忆一下概率统计中所学的有关正态分布的内容：随机变量X服从参数为μ、σ的正态分布函数标准形式为：
，其中μ为随机变量X的数学期望，σ为随机变量X的标准差（均方差），σ2为方差。因此上面的函数中，误差为真误差，是一个随机变量，因是偶然误差。μ＝0，因可化为的形式，即随机变量的数学期望为0，σ为随机变量σ的标准差。
方差的数学意义为：反映随机变量与其均值，即与其数学期望的偏离程度。由于σ2就是的方差，显然σ2与观测条件有关，如果观测条件越好，则误差就应该越小，就越接近于0，也就是越接近于数学期望，由于与数学期望的偏离程度越小，从而σ2越小。我们再看看有关精度的内容。
5.2 衡量精度的标准
一、精度的含义

所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。（画图）从我们前面的分析可以知道，误差分布的集中与离散程度可以用方差σ2或标准差σ来表示。如果σ越小，误差偏离数学期望的程度就越低，则误差集中程度就会越高，即精度越高，反之如果σ越大，则误差的离散程度越高，精度越低，因此我们可以用σ即用标准差来衡量观测的精度。

二、中误差（均方差）
在测量工作中，我们就是用标准差来衡量观测精度的，我们称之为中误差，用m表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观测，观测值为：l1，l2，…，ln，其真误差为： ⊿1，⊿2，…，⊿n
则真误差的方差：
式中当n→∞，＝0，根据数学期望的定义就是的算术平均值。[ ]为累加符号，
真误差的标准差： （无穷次）
实际工作中，观测次数有限，故取标准差的估值作为中误差：
（有限次）
应用时应注意：
1、⊿i可以是对一个量n次同精度观测，亦可以是对n个量各进行一次同精度观测的误差（例1：在全站仪测距时有的同学说测出来的距离不断地在变化，这实际上是全站仪在不断地测距，也就是对一个量——这个量就是距离——进行了多次等精度观测，而每次的观测值都有误差存在，误差有时大，有时小，所以测出来的距离值不断在变化。
例2：在前面讲的方向法测水平角时（画图），需要对多个方向观测，先瞄A，再瞄B，再瞄C…，这实际上就是对n个量进行了一次等精度观测）；
2、中误差m是衡量一组观测的精度标准，个别误差的大小并不能反映精度的高低；
3、n较大时，m较可靠；n有限时，m仅做参考；
4、m前要冠以±号，并有计量单位。
5、m为中误差，为真误差，不要混淆。
例题1
设甲乙两组观测，真误差为：
甲：＋4”，＋3”，0”，－2”，－4”；
乙：＋6”，＋1”，0”，－1”，－5”
试比较两组的精度。
解：

因此甲组的精度高。

中误差的性质
1. 中误差表示误差分布的离散度。（中误差就是标准差，而标准差就是表示误差分布离散度的。
2. 等精度观测中，中误差表示一组观测值的精度，也表示单个观测值的精度。（如上例中甲组中误差为±3.0”，同时甲组单个观测值的中误差也为±3.0”）
3. 概率特性。

μ为误差的数学期望，因此μ＝0。此公式表示真误差在（－σ，＋σ）内出现的概率。这个概率的计算在概率统计那本书中写了其过程。（在“方差”的那一章节）
我们还可计算得：

我们可以看到，对于真误差来说，它的值落在区间[－3σ，＋3σ]几乎是肯定的事。因此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即

三、相对误差
1.相对中误差
假设现在丈量了两段距离：
甲： 100米，±0.01m
乙： 200米，±0.01m
到底那组的精度高些呢？
如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显然不合理。因此，在距离测量中单纯地用中误差还不能反映距离丈量的精度情况，因为实际上距离测量的误差与长度相关，距离越大，误差的累积就越大，这就需要引入相对误差：
（注意化为分子为1的形式）
这样，>，因此乙的精度更高些。
2.相对真误差
在钢尺量距中我们还接触到了一个相对误差的计算公式：
K = |D往- D返| / D平均
这是相对真误差的计算公式（或称相对较差或相对差）。在答题中具体采用哪个公式应根据题目给出条件和要求来定。
例：β1＝28°35′18″，；
β2＝308°15′12″，；谁的精度高？
答：由于水平角是通过两个方向的水平度盘读数相减得到的，偶然误差是在瞄准和读数时产生的，所以与水平角的大小无关，故第一组精度高。

5.3 误差传播定律
例：在三角高程测量中（画图），粗算高差，假设测角和测距的中误差是已知的，那么；水平距离，
在这个例子中，粗算高差和水平距离并不是直接观测到的，而是通过一定的函数关系间接计算得到的。这时，就要利用误差传播定律求出它们的中误差。
所谓误差传播定律，是指描述观测值中误差与其函数的中误差之间关系的定律。
中误差传播公式
设y为独立随机变量x1、x2…xn（即x1、x2…xn为相互独立的观测值，也就是每一个观测值不会受其它观测值的影响，例如我在一个测站点上用经纬仪对多个方向观测，读取水平度盘读数，那么可以认为每个方向上的水平度盘读数，也就是观测值是相互独立）的函数，即
1）
2）求全微分得：
3）令，则
（实际上如果将观测值代入偏微分当中，偏微分就是一个具体的数值，即f1..fn是常数）
4）由于微分与真误差都是微小量，因此可用真误差代替微分，即

5）求真误差的方差：
由方差的性质可得：
6）中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等于方差，故

（为独立随机变量对应的中误差）
或
◎特例：1.若，且（也就是x1、x2…xn的观测精度相等）则：
即
2.若，且，则

（见书上P100表格5－2，有几种误差传播公式的形式，最好能记住，因为常常要用到。）
5.4 误差传播定律的应用
水准测量的误差分析
假设我们用DS3水准仪进行了一段普通水准测量
一个测站的高差中误差
每站的高差为：h = a - b ；a、b为水准仪在前后水准尺上的读数，读数的中误差m读
，m读≈ ±3mm，则每个测站的高差中误差为
m站 =＝m读≈ ±4mm
水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共测了n站，则总高差为：

设每站的高差中误差均为m站，

取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为：

水平角观测的误差分析
我们用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为±6”，因为我们使用的是6秒级的仪器。注意，6秒级经纬仪是指在一个测回中观测同一方向的中误差，不是指读数的时候估读到6”。（画图说明）
即
假设盘左瞄准A点时读数为，盘右瞄准B点时读数为，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为

因为盘左盘右观测值的中误差相等，所以
故 所以瞄准一个方向进行一次观测的中误差为
由于上半测回的水平角为两个方向值之差，β半＝b－a
即
设上下半测回水平角的差值为：

考虑到其它不利因素，所以将这个数值再放大一些，取20”作为上下半测回水平角互差
取2倍中误差作为容许误差，所以上下半测回水平角互差应该小于40”。
fΔβ半＝2mΔβ半=40”
例题1：
现在进行了一次三角高程测量（画图），测得斜距S=163.563m，其中误差为ms＝±0.006m，测得竖直角为α＝32°15′26″，其中误差为mα＝±6″，测距和测角的观测值是独立的，求粗算高差h（即直角边）的中误差mh？
解：h＝Ssinα
根据中误差传播公式：
，
（除以ρ”是为了使的单位为mm2，因为mα的单位为秒，mh为mm）
代入方程得
这道题大家注意一下求系数f1、f2的方法，就是先求偏微分再代入观测值。
例题2
一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多少？
1） S=4l 故
2） S=l1+l2+l3+l4，
注意这两种方法测得周长的中误差并不相同，关键是要正确列出函数式。
例题3
在O点观测了3个方向，测得方向值l2、l2、l3，设各方向的中误差均为m，求、和。（画图）
1) α＝l2－l1，
2) β＝l3－l2，
3) γ＝α＋β， （错误计算：因为α和β并非独立的观测值，因为它们都用到了方向值l2）正确计算应为：
γ＝l3－l1，
从这道题应该注意到中误差传播定律的前提是x1、x2…xn为相互独立的观测值。
例题4

假设在相同观测条件下（也就是等精度观测）独立观测了n个三角形的三个内角a、b、c，内角和为，(i=1,2,…n)
则三角形的角度闭合差为：wi= - 180° ( i=1,2,…n )
wi实际上就是真误差，根据中误差的计算公式
故闭合差的中误差为

又因为
，若三个内角的测角中误差均为m，
则 （菲列罗公式）
小结
1） 正确列出函数式；
2） 检查观测值是否独立；
3） 求偏微分并代入观测值确定系数；
4） 套用公式求出中误差。
5.4等精度直接观测值的最可靠值

假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln。
1.算术平均值
观测值的算术平均值为
观测值的真误差为 X为观测值的真值。
取真误差的和： 除以n得：
由偶然误差的第四特性（当，即观测次数趋近无穷大时，真误差的算术平均值为0）：

即
故 也就是说当观测次数趋近无穷大时，观测值的算术平均值就是该观测量的真值。（注意区分观测值的算术平均值和真误差的算术平均值）当实际工作中观测的次数总是有限的，这样观测值的算术平均值不会刚好等于真值，但是会接近于真值，所以可以认为观测值的算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。
2.改正数特性
当观测量的真值已知时，则每个观测量的真误差可以求出，然后利用中误差的计算公式可以求出一次观测的中误差。但在实际工作当中，观测量的真值X是不知道的，因此就不能够利用这个公式来求中误差。考虑到观测值的算术平均值是真值的最可靠值，因此可以用算术平均值来代替真值，下面就推导一下用算术平均值代替真值后的中误差计算公式。
定义观测量li的改正数Vi为： （1），
对改正数求和得： （2）
由真误差的定义 （3）
（1）＋（3）得：
（令，可以把理解为算术平均值的真误差）
即
取真误差的平方：
求和并由（2）可得： （4）

如果把算术平均值看成是观测值，根据观测值中误差计算公式，算术平均值的中误差为：
（5） （取＝1）
另外，，由中误差传播公式可得算术平均值的中误差：
（6） （m为的中误差）
联立公式（5）（6）可得：

代入公式（4）得：

两边同除以n，得：

即：
可得：
此公式称为白塞尔公式。

3.算术平均值中误差
算术平均值的中误差在讲中误差传播公式时就已经讲了。 根据中误差传播公式，很容易求出算术平均值中误差为：
m为观测值中误差，为算术平均值的中误差，n为观测次数。从这个公式可以看出，要使算术平均值中误差变小，可以通过两个方面来实现：一是增加观测次数n，但观测次数也不可能无限多，而且增加到一定次数后对算术平均值中误差的影响不明显，所以一般

n取2～4；二是减小每次观测时的中误差m，也就是要改善观测条件，例如用精度更高的仪器，提高观测者的技能、责任心，在气象条件好的环境下观测。
（附：观测次数与算术平均值中误差的关系表）
n 1 2 3 4 6 10 20 50 100
mx 10 7.1 5.8 5.0 4.1 3.2 2.2 1.4 1.0

设m=10

5.5非等精度观测的未知量估值和精度估值
假设对一个水平角进行了两组等精度的观测，其中第一组测了两次，测得水平角分别为L1’和L2’，计算得平均值；第二组测了4次，测得水平角分别为L1”、L2”、L3”、L4”，计算得平均值。前面讲过，观测值的算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。那么，是否就是水平角的最可靠值x呢？这种计算方法显然是不合理的，因为第一组观测值的算术平均值精度为，而第二组观测值的算术平均值精度为，m2>m1，也就是L2的精度比L1要高。从常理来说，如果要将L1、L2进行平均，应该是精度高的数值所占的“比重”大一些，精度低的数值所占的“比重”应该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的“权”。其实，“权”的概念在生活中用得很多，比如你们计算每个学期的平均成绩时，是将每门课的学分乘以每门课的成绩，再除以这个学期总的学分，实际上是进行加权平均值的计算。又比如我给你们计算课程成绩的时候，平时成绩占30％，考试成绩占70％，那么平时成绩的权就是0.3，考试成绩的权就是0.7。
权与单位权
1.权
在测量的计算中，权是这样定义的：设观测值Li的中误差为mi，则该观测值Li的权Pi定义为：

（i=1,2,…n）（u为任意常数）
分析上例，由于为任意常数，因此取＝，那么L1的权，L2的权为，如果取＝，那么L1的权，。比较这两种结果，总有，并且精度高的，权就越大。
推广到n个权的情况：

结论：1）的大小不影响权的比例关系。
2）在求一组权时，必须采用同一值。
3) 的取值尽量便于计算。（如上例中＝或时计算都比较方便）
4）（观测值）精度越高（也就是中误差越小），权就越大。
5）权是相对性数值，表示观测值的相对精度，对单一观测值而言没有意义。
2.单位权
在中，当= 1，称为单位权；
1） = 1时相应的观测值，称单位权观测值；
2） = 1时，，也就是当权为1时，常数等于观测值的中误差，所以称为单位权中误差。
定权的常用方法
1.等精度观测值算术平均值的权
仍分析上例，第一组观测值我们求出了一个算术平均值L1，第二组观测值也求出了一个算术平均值L2，现在我们要想办法定出L1和L2的权，好进一步求L1和L2的加权平均值。从前面的计算来看，L1和L2权的比值为1：2，而第一组观测了2次，第二组观测了4次，观测次数的比值也是1：2，也就是说在等精度独立观测中，观测的次数与观测值算术平均值的权成正比，我们最好推算一下，看看是不是存在着这种规律，如果确实存在着这种规律，那么我们只要知道观测的次数就可以把算术平均值的权确定下来。
设一次观测的中误差为m，那么n次等精度独立观测值的算术平均值中误差：
（由误差传播定律）
如果取＝（因为u是常数，可以取任意值），那么一次观测值的权为：
（由权的定义）
n次观测值的算术平均值的权为： （书上少了个平方）
由此确实可以断定，算术平均值的权与观测次数成正比。再看上例，因此可以把L1的权定为2（P1=2），L2的权定为4（P2=4）。当然P1=1，P2=2也可以。
2.等精度观测值代数和的权
现在我们知道了如何确定算术平均值的权。那么在测量工作中，我们常常还需要确定观测值代数和的权，例如在水准测量当中，我们要确定权与测站数或路线长度的关系，如图。
1）水准测量
假设我们从三个已知水准点1、2、3各自沿着一条水准路线向P点前进，那么这3段水准路线我们会分别测得3个高差值h1、h2、h3，由已知点高程和测得的高差就可以求出P的高程值，但由于有误差的存在，每一条水准路线所求出的P点高程可能不一致（HP1、HP2、HP3），那么我们就要将这3个P点高程值进行一下加权平均，将加权平均值作为最终的P点高程。要进行加权平均，关键就是要知道各段水准路线的权是多少。
设每段水准路线的测站数分别为N1、N2、N3（画图），并且在这三段水准路线当中，每一站观测高差的精度相同，中误差均为，那么这三条水准路线中任一条水准路线观测高差的中误差为： （Ni为任意水准路线的测站数）
(在前面分析水准测量时已分析过：总高差为，故)
假设当水准路线的测站数为C时，这条水准路线的权为1。即，Pc即为单位权，即为单位权中误差（由单位权中误差的定义：此时＝m），故，这时候各条水准路线的权就可求出来：
这里可以把c看成是一个常数，因此在等精度的水准测量中，各水准路线的权与测站数成反比，也就是测站数越多，权就越小。其实，这个关系很容易理解，因为测站数越多，误差累计就会越大，从而测量的精度越低，精度越低，权当然就应该小些。
同样，我们还可以推出权与水准路线长度的关系，具体步骤就不再推导了：
同样水准路线的权与路线长度也是成反比的。（Li表示水准路线长度）
2）距离测量
假设我们用钢尺量距1公里的中误差为m，那么量距s公里的中误差为。假设量距c公里时的权为1，此时＝，就是单位权中误差。所以量距s公里的权为：
，从公式可见，距离丈量的权与长度成反比。
加权平均值及其中误差
1.加权平均值
确定了权，加权平均值就很容易计算了。在测量工作中，加权平均值是这样定义的：设对某量进行n次不等精度观测，观测值为l1，l2，…ln，其相应的权为P1，P2，…Pn，则加权平均值，x称为该量的最或是值（也就是最可靠值）。
我们再求一下前面那个例子的加权平均值，L1的权为2，L2的权为4，所以水平角的加权平均值。
需要指出的是，加权平均值的定义中指出的是n次不等精度观测，而前面讲确定权的方法中讲的是n次等精度观测，这好像自相矛盾。其实，我们结合这道例题就很容易理解。L1、L2分别是第一组和第二组观测值的最可靠值，L1和L2的精度不同，所以我们可以认为L1、L2是非等精度观测值。因为L1、L2的精度不相同，所以不可以对L1、L2求算术平均值，而要用加权平均值求最或是值。要求加权平均值，当然就要知道L1和L2权的大小。而L1、L2是由若干等精度观测值求算术平均值得到的，所以我们计算算术平均值的权的时候是在等精度观测的条件下分析的。
现在再来分析一下非等精度观测值的改正数。在前面讲等精度观测值的改正数的定义是观测值的算术平均值减去观测值。相应地，非等精度观测值的改正数就应该是：

那么 （因为）
可以作为加权平均值的一个检核条件。也就是可以利用这个公式检核一下加权平均值是否计算正确。
2.加权平均值的中误差

加权平均值的计算公式
根据中误差传播公式，计算得加权平均值x的中误差为：

（m1，m2，…mn分别为非等精度观测值l1、l2…ln的中误差）
由权的定义可以推出（i=1,2,…n），代入到公式中得到加权平均值中误差：
（P107 书上少了平方）
在这里是一个定值，因为开始求P1、P2…Pn时这个值就被确定下来了。
仔细看这个公式，实际上这就是权的定义公式变形而来。这个公式说明什么？如果把加权平均值x也看成是一个观测值，x的权就是[P]，即。
我们还是以前面的例子来计算一下加权平均值的中误差。
当取u＝，那么L1的权，L2的权为，那么实际上就是观测值L1的单位权中误差。此时
单位权中误差
从刚才的计算结果来看，如果L1的中误差m1未知，也就是单位权中误差未知时，的大小就求不出来。那我们看看有什么办法可以直接求出单位权中误差的大小。
设不同精度观测值li的权为Pi，它们相应的中误差为mi（i=1,2,…n），而相应的真误差为，由于这组观测值是不同精度的，所以不能直接应用公式来求中误差。如果一定要用这个公式的话，必须要找出一组精度相同的观测值才行。
这个问题可以这样解决：将观测值li乘以它们对应的权，得到一组虚拟的观测值，然后由中误差传播公式得：，
由权的定义，代入上式可得：，那么观测值的权为： 。
这个式子说明什么问题？它说明任何一个观测值li只要乘上它的权的平方根，所得的虚拟观测值的权都为1，也就是的权都是单位权，它们的中误差都是单位权中误差。并且，…的权都为1还说明一个什么问题？说明，…的都是等精度的观测值。因为如果，…不是等精度的，它们的权肯定不会完全相等。由于，…的都是等精度的观测值，那么就可以使用公式来求中误差。
先求出虚拟观测值的真误差为
代入到中误差的公式中，得：

注意在这个公式中，为什么等于，因为前面已经证明了，虚拟观测值的权都为1，就是单位权中误差，所以＝。
在实际的测量工作中，未知量的真值往往是不知道的，比如两点之间的高差真值到底是多少？两点之间的距离真值到底是多少？真值不知道，那么真误差也就求不出来。所以要考虑用改正值来代替真误差来求出单位权中误差的大小。公式的推导可以仿照我在“改正数特性”一节中所讲的内容，这里就不具体推导了，那么用改正值来代替真误差后单位权中误差的公式为：

现在仍以前面的例题为例：假设L1＝40°20′12″，L2＝40°20′15″，这两组观测的加权平均值（即不等精度观测值的最可靠值）为：

L1改正数为，L2的改正数为，则单位权中误差为：

C
A
B
P
L1
L2
L3
观测值的加权平均值的中误差为：

例题1：
已知L1＝4Km，L2＝2.5Km，L3＝8.5Km，
HA＝78.324m，h1＝-7.980m；
HB＝64.347m，h2＝5.992m；
HC＝24.836m，h1＝45.516m
求P点的高程平均值及其中误差。（如图）
解：可以先列一个表格（要注意检核[PV]＝0）
水准路线Li
结点P高程
权
δH（mm）
Pi×δHi
Vi
PiVi
PiViVi
1
70.344
2.5
4
10
13
32.5
422.5
2
70.366
4
26
104
-9
-36
324
3
70.322
1.2
12
14.4
5
6
30
1）令C＝10 由可求出各条水准路线的权 （水准路线的权与路线长度也是成反比——前面已经推出这条结论）
（C为单位权观测值，也就是假设水准路线的长度为10km时这条水准路线的权为1）
2）设＝70.340m，则这3条水准路线的加权平均值为：

（为P点高程最可靠值） （和的意义可以参看上例）
3）计算单位权中误差

4）加权平均值中误差

算到这里就可以告一段落了，接下来还可以计算出一些结果（可不讲）。
5）求每公里观测高差的中误差
（求出每公里观测高差的权）
由权的定义可得
6）其余观测值的中误差

这道例题实际上与习题六的计算题13题很相似，第13题也可以令C＝10，计算方便点。
本章知识总结
1.某量、观测量、未知量
某量、观测量、未知量这三个名词表示同一概念，即指我们待测的对象。
2. 观测值、真值
观测值即观测数据，包括直接观测值和间接观测值。直接观测值指使用测量仪器观测未知量直接得到的观测数据。间接观测值通常是直接观测值的函数，例如测水平角当中，观测两个方向所得到的水平度盘读数是直接观测值，这两个方向水平度盘读数相减所得到的水平角的数值是间接观测值。
真值是指观测对象的实际值。
2.真误差、改正数
真误差＝观测值－真值
改正数＝最可靠值－观测值
等精度观测
不等精度观测
在通常情况下，未知量的真值往往是不知道的，所以我们要用观测值的最可靠值（最或是值）来代替真值，用观测值的改正数来代替真误差。
3.方差、标准差、中误差、中误差传播公式
方差表示随机变量与数学期望的偏离程度，即D（X）；标准差为。在测量工作中，精度的含义是指误差的分散和集中的程度，即误差与数学期望的偏离程度。因此，在这个意义上，精度与标准差的含义是一致的，所以我们可以采用标准差作为衡量精度的标准。并可推出公式（无穷次），在实际测量工作中，观测次数不可能是无穷次的，因此用标准差的估计值作为衡量精度的标准，即中误差：，即中误差是用来评定我们测量工作精度的一个量。
由于未知量的真误差的真值我们往往不知道，因此真误差也求不出，所以我们要通过改正数来求中误差：（等精度观测）；（不等精度观测）
使用中误差的计算公式可求出观测值的中误差。但在实际工作中，我们不仅仅要求直接观测值的中误差，还要求间接观测值的中误差，也就是观测值函数的中误差，推导出的公式为：（要记住两个特例）
其中，m1、m2…mn为观测值的中误差，my为观测值函数的中误差。
在使用这个公式的是否要注意各个观测值之间应该是独立的。
4.观测条件
观测条件是测量仪器、观测者和外界环境这三个方面的统称。观测条件相同，则称等精度观测，观测条件不同，则称不等精度观测。在等精度观测中（如多次丈量一段距离），我们可以取多个观测值的算术平均值作为这段距离（观测量）的最可靠值，其中误差见公式，从公式中可看出，算术平均值的中误差要小于观测值的中误差，因此在测量工作中，我们可以采用重复观测取平均值的方法来提高精度。对于不等精度观测（例如有三条水准路线，各测得一段高差），由于各个观测值（高差）的精度不一样，因此不能将观测值的算术平均值作为未知量的最可靠值，而需要求出加权平均值。要求加权平均值，最关键就是要求出“权”的大小，因此首先要引入权的定义（见公式）。在公式中，u为常数，可以取任意值。权是一个相对性的数值，在一组不等精度的观测值L1、L2…Ln中，它们对应权的比例关系是不变的，这个比例关系不会受u值的影响。但是要注意，u值一旦取定，那么对于所有的权，都应该采用这个u值来计算。在权的定义公式中，观测值的中误差有时并不知道，所以我们要在不知道观测值中误差的情况下求出权的大小。我在上课的时候介绍了两种定权的方法，一种是等精度观测算术平均值的权（例如测两组角的例子）；一种是等精度观测代数和的权（如水准测量和距离测量）。在权定义公式中，如果权等于1，则，u称为单位权中误差，相应的观测值称为单位权观测值。这里应该理解为，当权为1是，u就是观测值的中误差，这其实是最难以理解的地方。它的计算公式如图。求单位权中误差的最终目的还是要求出加权平均值的中误差（见公式），u值求出后，权又知道，根据公式就可求出中误差。
中误差
单位权