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《信号处理原理》思考题四
《信号处理原理》思考题四
1．根据信号绘图
（1）原信号减去，绘出差信号的时域图。
（2)信号的频谱为,通过理想低通滤波器，频谱只剩下了主瓣
（3)将滤波器滤波后的信号与相乘得,绘出的频谱。
（4）原频谱以为周期进行周期重复。
解：（1)差信号是一个矩形信号，即。可参见教材第9页的内容.
（2）的频谱函数为,在通过如题的理想低通滤波器后，频谱只剩下了主瓣（范围为)，可参见教材第60页和83页的内容。
（3)因为，而，所以
的频谱是原先的频谱在和处分别重复，但幅度缩小到原先的0.5倍。可参见教材第63页到64页的内容.
(4）新的抽样信号的频谱是原频谱以为周期进行周期重复，幅度是原先频谱的分之一。可参见教材第74页的内容.
2．，有，求.
解：根据FT变换的`线性性、频域卷积定理,卷积的分配律，函数频移特性，的FT（由直流信号的FT,FT的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出)
]
]
3．证明： ,
证明： [］
［]+［]］
[[]
4．证明：奇周期信号的傅立叶级数是否含有余弦项。
解:不会含有余弦项，因为:
根据傅立叶级数的定义,余弦分量的系数为：
由于f（t）是奇函数，所以还是奇函数，于是0-
即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项.
5．设是偶序列，用Z变换的定义证明：是的零点，则也是的零点。
证明：因为x（n）=x （—n),由z变换的定义有：
令,得
所以有：，即也是X（z）的一个零点。
6．设一个有限频率信号的最高频率为，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率。
(1) （2） （3） （4）
解1）:信号时域压缩则频域扩展，所以的最高频率是原来的3倍，即3,于是
2)信号时域相乘则频域卷积，因此有: [］=
由图解法可知 的最高频率成分为,所以
3）信号时域卷积则频域相乘
［］［ ］
由信号（函数)的乘法运算性质知,这相当于在频域进行一种加窗作用，所以
［]的最高频率成分为即的最高频率,所以
4)由信号（函数）的加法运算性质与FT变换的线形性知，的最高频率为，所以
7．已知差分方程，
(1）求
（2），求的Z变换。
（3）画出Y（z)的极点分布图。
解:1）将差分方程两边取Z变换，并利用位移特性，得到
所以，
2） 差分方程可化为， 于是对方程两边分别取Z变换，可得
即
3）由上可知,Y(z）有两个一阶极点:,
8．设的双边Z变换,用ZT的定义求下列变换.
(1）
（2）
(3）,其中，
解：1)根据双边Z变换的定义，可得
Z ［x（n+m)]
2)根据双边Z变换的定义可得
所以，
3）根据双边Z变换的定义 ，可得：
9．一连续信号，求下列信号与原信号有何不同.
(1)
(2）
（3)
(4)
（5）
（6）
解：(1） 截取在0 ～ T之间的波形,得到一个片段(表示为新信号。
（2）将信号搬移到nT处，即得。
（3)将信号以T为周期进行重复（或者延拓）
（4)对信号以T为周期进行理想采样,得到一系列冲击值。
（5)筛选出信号在nT的值
(6）把 信号在所有时间值为T的整数倍处的取值加起来,即
10．下列说法不正确的是：（ 8 ）
(1)
(2）信号的时移只会改变相位谱，不会改变幅度谱。
（3）
（4）
(5)时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩，因此不可能同时压缩等效脉宽和等效带宽。
(6）工程上，将信号与三角函数相乘
(7）时域周期离散，频域周期离散;时域连续非周期，频域连续非周期。
（8），a为非零整数。
11．求在不同收敛域情况下的Z变换.
解：上式可化为：
得：
可求出:
于是,可以将展开为：
由于序列是因果的（），所以
12．用长除法求，，收敛域为。
解：由于X （z)的收敛域是，所以必然是因果序列，此时X （z）按z的降幂列成下列形式,,然后进行长除
得：
所以
13．,求收敛域及各种序列收敛域的可能性.
解：
有4个极点—1,1，—2，2。
当收敛域,对应左边序列（非因果序列），n可以取很小的负值.
当收敛域,对应右边序列(因果序列），n不可能为负值.
当收敛域，对应双边序列，n可以取.
注意：双边Z变换：，Z的收敛域确定后,序列下标n的取值范围可确定，可以根据n判断序列的因果性。