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初三数学下册【证明三角形相似】5种常考方法及例题（含答案）
【方法一】利用平行线判定两三角形相似
1、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
解：△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，
△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
(2)求BP：PQ：QR.
解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形．
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴△BCP∽△BER，
则REPC＝BRBP＝BEBC＝21，∴BP＝PR，REPC＝21.
∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.
又PC∥DR，∴QRPQ＝DRPC＝REPC＝21.
∴QR＝2PQ.
又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：1：2.
【方法二】利用边或角的关系判定两直角三角形相似
2、如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.

解：证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，
∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.
∴CDAC＝1.64.8＝3.
又∵ECBC＝3.19.3＝3，∴CDAC＝ECBC.
又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ABC∽△DEC.
【方法三】利用角判定两三角形相似
3、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.
(1)求证：△ABD∽△CED；
解：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°.∴∠ACF＝120°.
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝21∠ACF＝21×120°＝60°.
∴∠A＝∠ACE.
又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
解：如图，作BM⊥AC于点M，
则AM＝CM＝3，BM＝3.
∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.
在Rt△BDM中，BD＝＝2.
由△ABD∽△CED得EDBD＝CDAD，即ED7＝2，
∴ED＝.∴BE＝BD＋ED＝3.
【方法四】利用边角判定两三角形相似
4、如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE.

解：证明：∵BD∥AC，
点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA＝∠CAE，
又∵ACAB＝AEBD＝3，
∴△ABD∽△CAE.
【方法五】利用三边判定两三角形相似
5、如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.

解：证明：∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BD.
又∵E，F分别是AB，AC的中点．
∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．
∴DE＝21AB，即ABDE＝21.
同理ACDF＝21.
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF＝21BC，即BCEF＝21.
∴ABDE＝BCEF＝ACDF.
∴△DEF∽△ABC.