基于Gompertz模型对鱼类生态环境研究.doc

2016年中国大学生医药数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生医药数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人(包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们授权中国大学生医药数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等).
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写)：A
我们的参赛编号为:16101002_A
所属学校（请填写完整的全名）：陕西中医药大学
参赛队员 （打印并签名) ：1.张汉林
2.黄聪
3.张亚楠
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名）：胡灵芝
日期：2016年5月20日

全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号)：
2016年中国大学生医药数学建模竞赛论文
论文题目：基于Gompertz模型对鱼类生态环境研究
参赛队序号：16101002_A
参赛队员姓名：张汉林 黄聪 张亚楠

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:
基于Gompertz模型对鱼类生态环境研究
摘要
环境是各种生物赖以生存的必要条件，鱼类所处的水环境直接影响到鱼类的生态平衡。本文针对附件中所给出的浙江省温州市永嘉县境内楠溪江五年内所捕获的各种鱼类生长状况的问题,建立了各种不同因素下对鱼类生长状况影响的肥满度模型［1］、动态模糊评价模型[2]、层次分析模型,以及解决生物种群生长发育规律问题的Gompertz［3]数学模型,并建立了初级和二级数学模型对各种鱼类的生态趋势进行较为准确的预测。
针对问题一,因为鱼类在生长过程中,鱼龄与体重、体长会随着时间成正比的进行变化,所以本文引进肥满度这一概念对其进行描述，肥满度是鱼类在生长过程中体长与体重的另一种表达方式，常用来衡量鱼体肥满程度和营养状况的指标，其数学模型为，然后将五年内各种鱼类的体重和体长的平均数以及标准差制成表格,再利用Matlab软件绘制出其拟合曲线图,最后根据其所绘制出的拟合曲线图和鱼类肥满度表格对各种鱼类的基本生长情况进行描述.
针对问题二，各种鱼类的生态状况受到多种因素的影响,主要因素是人为捕杀率和水域生态程度,设为一级指标.由于水域生态程度受到种内竞争、种间斗争、水中食物、生活垃圾这四个子因素的影响,设为二级指标。利用层次分析法对各级指标的权重进行计算，再基于动态模糊评价模型对鱼类的基本生态状况进行综合评价。通过数学模型计算得各种鱼类的基本生态状况是良好的.
针对问题三，由附件中所给出的楠溪江地图可知，楠溪江分为一条干流和两条支流，并且捕捞地点在三条流域均有分布,所以本文将楠溪江分为三个区域X（捕捞地点1、2、3）,Y（捕捞地点4、6、8），Z（捕捞地点9、10、11、12），对其鱼类的生长过程进行动态监测，将不同流域下得到的鱼类生长实验值用于建立鱼类增殖的初级和二级数学模型。结果表明：大多数鱼种的生态趋势呈稳中上升趋势，极少数鱼种受到种间斗争而呈下降趋势，并且Gompertz数学模型能很好的描述各种鱼类在水环境中增殖的问题，并验证了用此数学模型预测鱼类动态生长的可靠性，为楠溪江未来几年内各种鱼类的生长提供了预测的理论依据。
综上所述，本文通过建立肥满度模型、动态模糊评价模型、层次分析模型和Gompertz模型,以及初级和二级鱼类生长模型,对各种鱼类的生态趋势进行了说明、分析以及预测,并做出了评价，本数学模型对确定全国范围内其他地方的生物生态状况有重要的参考价值.
关键词：鱼类生态 动态模糊评价模型 层次分析模型 Gompertz模型 肥满度
一、问题重述
1。1背景资料与条件
随着工业化的不断进步,对环境的破坏也日趋加剧，对环境中各类生物的生态影响也随之加重.鱼类赖以生存的水环境直接影响到鱼类的生态.其中稀有鱼种处于濒临灭绝的地步，就需要建立数学模型来对其进行分析、评价、预测，以达到保护的目的.
1。2需要解决的问题
(1）统计说明各种鱼类的基本生长情况.
（2）试建立合理的指标，分析评价各种鱼类的基本生态状况.
(3）建立数学模型预测各种鱼类的生态趋势.
二、问题分析
2。1问题一的分析
问题一要求统计说明各种鱼类的基本生长情况,本文将各种鱼类的平均体长和体重描绘成表格和拟合曲线图（见附录1），并选取鱼类的肥满度作为理论依据来说明其生长情况。
针对肥满度这一依据，本文从体长角度和体重角度分别采集鱼类的基本信息,使二者的关系按照肥满度函数关系式发展，从而得到一组鱼类肥满度的理想值.然后再利用Matlab绘制出各种鱼类肥满度的拟合曲线图，最后根据其肥满度的拟合曲线图的趋势，对各种鱼类的基本生长情况进行说明。
2。2问题二的分析
人为捕杀率：一定时期内某种鱼类的被捕杀量在楠溪江内同种鱼类总数中所占的比重.本论文中定义：各种鱼类的人为捕杀率=.
问题二要求建立合理的指标并分析评价各种鱼类的基本生态状况,因为各种鱼类的基本生态状况受到人为捕杀率和水域生态程度这两个因素的影响,本文选取人为捕杀率和水域生态程度作为指标来分析评价其生态状况.
针对人为捕杀率这一指标，本文从某种鱼类被捕杀的数量和楠溪江内该种鱼类的总数量这两个角度求得人为捕杀率的关系式，针对水域生态程度这一指标,我们可以建立层次分析模型来解决，并且水域生态程度又受到种内竞争,种间斗争，水中食物,生活垃圾这四个子因素的影响，将这两个指标抽象为一个权重图，通过生态状况权重图来分析各种因素的影响状况，并引进生态状况评价集，建立模糊优先关系矩阵，最后得出各种的评价。
2。3问题三的分析
针对问题三,为了建立数学模型预测各种鱼类的生态趋势，本文通过Gompertz模型、平方根模型、Linear模型来解决此问题。由附件中所提供的楠溪江地图可知,楠溪江由两条支流和一条干流组成,并且捕捞地点在三条流域均有分布，所以本文将楠溪江分为三个区域X（捕捞地点1、2、3），Y（捕捞地点4、6、8），Z（捕捞地点9、10、11、12）.
针对Gompertz模型，本文先将三个区域鱼类的平均肥满度算出来，再通过迭代法，非线性回归将其他参数求出，得到三个区域鱼类生长的动力学模型。然后进一步计算出生长速率u，生长迟缓期t0,最大鱼类平均肥满度,最后再根据三个区域鱼类的总体生长趋势的拟合曲线图进行预测评估。针对平方根模型和Linear模型，本文先将Gompertz求出的生长速率代入Linear模型表达式中，采用迭代法原理求出其参数，然后得出平方根模型和Linear模型的拟合优度并说明区域与鱼类生长的增长速率的线性相关性。最后对各种鱼类的生态趋势进行预测.
三、模型假设
1．假设楠溪江内的鱼没有因其他原因而发生大规模的变动,例如迁徙。
2．假设外来鱼种数量不会影响到楠溪江内鱼种的生态状况。
3．假设楠溪江内的稀有鱼种对本文的研究影响可忽略.
4．假设楠溪江内鱼种的繁殖是稳定的。
5．假设楠溪江地方政府不会对其进行河道改造。
四、符号说明
符号
说明

鱼的体长

鱼的体重

肥满度

生长速率

鱼类基本生长状况

人为捕杀率

水域生态程度
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
此处将同种鱼类的体长和体重的平均值求出，再通过Matlab绘制出拟合曲线图，然后通过建立肥满度模型：将每年所有鱼类的平均体长和平均体重代入其中得：
，，
,,
表1 各年鱼类平均体重、平均体长和平均肥满度

2007
2008
2009
2010
2011
平均体长
82.3682
81。3639
80.3421
80。5390
147。9333
平均体重
13。4591
11。4670
9。7174
11。2289
81。2767
平均肥满度
0。002408
0。002129
0.001874
0。002149
0.002511
再将得出的平均肥满度随年份的变化描绘成拟合曲线图：
图1平均肥满度随年份变化的拟合曲线图
最后将每年各种鱼类平均体长、平均体重和平均肥满度绘制成如下表：
表2 2007年各鱼类平均体长、平均体重和平均丰满度
名称
体长（）
体重（）
丰满度（）
Can
90.339。5
13.521。4
0。0018
盎堂拟鲿
86.217。0
9。65.6
0。0015
棒花鱼
62.56。8
5.31.7
0。0022
薄鳅
77。412。7
8.24.2
0.0018
唇鱼骨
154。570.7
87.4102。0
0.0024
粗唇鮠
93.016。7
13。27。3
0。0016
大眼华鳊
84。430.9
16。415.6
0。0027
河川沙塘鳢
84。217。2
16。89。4
0.0028
花鱼骨
96。423。1
15。712.6
0。0018
鲫鱼
84。623。5
25。726.1
0。0042
尖头塘鳢
99.927.5
31.830.5
0.0032
宽鳍鱲
79.310。7
9。25。8
0。0018
鲤鱼
301。00.0
595。20。0
0。0022
鲈鱼
258。01。4
259。46.3
0。0015
马口鱼
86.516.1
12。511。2
0.0019
麦穗鱼
98。826。4
21。117。3
0。0022
泥鳅
108。011。5
13。13。1
0.0010
鲶鱼
117.326。5
19.012。1
0。0012
瓯江彩鲤
170。322。5
177.267.4
0。0036
翘嘴鲌
265。00。0
177。50。0
0。0010
似鮈
69.65。5
6.20.7
0。0018
台湾铲颌鱼
76.26。6
8.38002。10861
0。0019
温州光唇鱼
79。819。2
12。210。9
0。0024
鰕虎鱼
41。85.1
1。40。6
0。0020
小鳈
56。76。0
4。31.1
0.0024
原缨口鳅
62。27.0
5。12。1
0.0021
圆吻鲴
206.371。1
189.0202。4
0。0022
中华花鳅
76。64。4
4。81.1
0.0011
子陵吻鰕虎鱼
60。310。7
3。51。0
0.0016
表3 2008年各种鱼类平均体长，平均体重和丰满度
鱼类名称
体长（）
体重（）
丰满度（）
Can
106.428.6
17。414.4
0。0014
盎堂拟鲿
89.218.4
10。89。4
0。0015
棒花鱼
64。26。5
5。23.3
0。0020
薄鳅
84.410.4
8。74。2
0。0014
唇鱼骨
153。553。2
72。678.7
0.0020
粗唇鮠
87。725。4
12.615.4
0.0019
大眼华鳊
93.523.0
17.913.4
0。0022
河川沙塘鳢
85。418。9
16.414.3
0。0026
花鱼骨
88.947.3
10。910。0
0。0015
鲫鱼
99.819.3
34。519。6
0。0035
尖头塘鳢
79。912。5
10。84。6
0.0021
宽鳍鱲
78。424。4
9.05.6
0。0019
鲈鱼
82。742。5
17。221.1
0.0030
马口鱼
95.529.4
18.521。5
0.0021
麦穗鱼
62.911.5
4.73.7
0。0019
泥鳅
113.114。9
16.18。4
0.0011
鲶鱼
158。275。0
63。188。6
0.0016
瓯江彩鲤
134。666。0
156.432.1
0。0062
似鮈
60。23。0
4。60。2
0.0021
台湾铲颌鱼
78。08。8
8。13.0
0.0017
温州光唇鱼
86.822。1
17.224.0
0。0026
鰕虎鱼
60.82。3
3.00。9
0。0013
小鳈
56。07。2
4.41.6
0。0025
原缨口鳅
65.69。6
6。02。7
0。0021
中华花鳅
76.49。8
4。91。5
0。0011
子陵吻鰕虎鱼
63.89。0
5.02.5
0.0019
日本鳗鲡
150。9201.9
62。617。7
0.0018
表4 2009年各鱼类平均体长、平均体重和平均丰满度
名称
体长（）
体重（）
丰满度（)
Can
89。918.5
9。67.8
0。0013
盎堂拟鲿
88.934。1
10.59.2
0.0015
棒花鱼
68。023.0
5。62.8
0。0018
薄鳅
83。810.8
7。33.0
0。0012
唇鱼骨
126。645。6
40.470。7
0。0020
粗唇鮠
84。924。4
10.79。3
0。0018
大眼华鳊
85。522.0
14。013.0
0.0022
寡鳞飘鱼
95.222。2
20.87。6
0.0024
河川沙塘鳢
78。715.6
12。38。2
0。0025
花鱼骨
85.327。4
13。315。2
0。0021
鲫鱼
76.327。0
19。519。5
0。0044
尖头塘鳢
74.79.2
7.32。5
0.0018
宽鳍鱲
76.428。7
7。96.1
0.0018
鲤鱼
247.688.3
584.2588.0
0。0039
马口鱼
96。833。7
21。325.0
0。0024
麦穗鱼
59。318.8
5。52。6
0.0026
泥鳅
104.823。3
12.27.2
0.0011
鲶鱼
150.549。1
39.543.7
0。0012
瓯江彩鲤
134。635。9
81.456.8
0.0033
日本鳗鲡
319.476.0
16。15。8
0。00005
似鮈
72.125。3
6.31。5
0.0017
台湾铲颌鱼
81.39.8
80。32.8
0。0015
温州光唇鱼
76。420。6
10。311。0
0.0023
鰕虎鱼
62。79。9
5。26.8
0。0021
小鳈
52。45。2
3.41。2
0。0024
原缨口鳅
74。850。3
5。92。5
0。0014
圆吻鲴
61。315。0
4。83。4
0。0021
中华花鳅
73。38。5
5。54。6
0。0014
表5 2010年各种鱼类平均体长，平均体重和丰满度
鱼类名称
体长()
体重（）
丰满度（）
Can
121。932.4
24。020。6
0。0013
盎堂拟鲿
87。220.0
12。030.5
0。0018
棒花鱼
70。76。0
6。41。6
0。0018
薄鳅
81.713。8
9.73。5
0。0018
唇鱼骨
183。725。2
98。237。1
0.0016
粗唇鮠
104。736.0
21。323.0
0。0019
大眼华鳊
103。822。2
23。614。2
0.0021
河川沙塘鳢
66.912。2
7。74。9
0。0026
花鱼骨
91。518。5
12。49。0
0.0016
鲫鱼
95.437。4
42.537.8
0。0049
尖头塘鳢
100.630。3
20。618.0
0。0020
宽鳍鱲
80。510。1
9。94.2
0。0019
鲈鱼
212.421。6
171。358。9
0。0018
马口鱼
106.122。7
25。116.7
0。0021
麦穗鱼
77.816.3
10.22.8
0。0022
泥鳅
119.324。6
17。26。6
0。0010
鲶鱼
299。351.0
215.2101。4
0。0009
似鮈
78。69。4
6.73。4
0。0019
台湾铲颌鱼
80.610。8
10.24.2
0。0017
温州光唇鱼
86。224.8
16.617。0
0.0020
鰕虎鱼
61。012.0
4.52。6
0。0016
小鳈
52。84。6
3。71。2
0。0025
原缨口鳅
80.518.5
8.14。0
0.0016
中华花鳅
77。96。3
4.51。3
0。0009
子陵吻鰕虎鱼
71.16。6
7。52.6
0。0021
寡鳞飘鱼
56.217。4
2。62.7
0。0015
圆吻鲴
78。431。6
15。025。9
0。0031
翘嘴鮊
237。821。2
115。947.8
0。0017
表6 2011年各种鱼类平均体长，平均体重和丰满度
鱼类名称
体长（）
体重(）
丰满度()
Can
106。315.0
14.45。6
0.0012
盎堂拟鲿
115。00。0
19。10。0
0。0012
大眼华鳊
107.219。9
26.816.4
0。0022
尖头塘鳢
81.918。9
10。49.0
0。0019
宽鳍鱲
93。30.0
13.10.0
0。0016
鲤鱼
185。00。0
149。50。0
0。0024
鲶鱼
240.00.0
96。94.9
0。0007
日本鳗鲡
357。169。7
68。541。1
0。0002
中华花鳅
7。30。0
3.10。0
0。7969
子陵吻鰕虎鱼
56。514.2
3。32.8
0。0018
寡鳞飘鱼
115。00。0
18。40.0
0。0012
圆吻鲴
125。00。0
32。10。0
0。0016
翘嘴鮊
230。666.7
115.977。3
0。0009
瓯江彩鲤
228。233。2
381。5142。6
0.0032
将2007~2011年各种鱼类平均体长、平均体重和平均肥满度表与各种鱼类平均体长、平均体重和平均肥满度随时间变化的拟合曲线图（见附录1、2）进行对比可知,各种鱼类的基本生长情况是稳重有升的，极个别稀有鱼种除外。
5。2问题二的模型建立与求解
因为各种鱼类的生长状况受到人为捕杀率和水域生态这两个因素的影响，而区域生态又受到种内竞争、种间斗争、水中食物、生活垃圾这四个子因素的影响，故建立层次分析模型。
建立的层次分析如下图:
鱼类的基本生态状况D
人为捕杀率d1
水域生态程度d2
种内竞争d21
种间斗争d22
水中食物d23
生活垃圾d24

图2鱼类的基本生态状况权重图
由于鱼类在不同时空的数量是动态变化的，所以我们采用动态模糊评价法解决此问题.
动态模糊评价法[2］：模糊评价就是利用模糊数学的方法，对受到多个因素影响的事物，按照一定的评判标准，给出事物获得某个评语的可能性.
判断优劣需要考虑多个因素，形成两个层次递减的子因素集,为D=（d1，d2）,d2=（d21,d22，d23，d24)如图1.对应权重集。我们先考虑人为捕杀率的计算，再解决水域生态程度d2的子目标。
1. 人为捕杀率d1
根据前面名词解释中人为捕杀率d1的定义，记n为某种鱼类在X区域的人为捕杀量,为该种鱼类非人为捕杀的总数量，则对于X区域第K种鱼类在第T年的人为捕杀率可表示为：
。 (1）
2. 水域生态程度d2.
设置评价集评语分为差,一般,良好，很好,优秀五个等级.考虑从d2到p的模糊关系，建立模糊关系优先关系矩阵Y.
(2）
其中N代表年份，T代表自然年份,令2007年为第一年。
（为第因素属于等级的频数），表示为第T年对第因素关于第J级评语的隶属度。
为了将不同的因素中评语集的不同等级进行量化分析,引入权重集。
,利用模糊矩阵进行合成运算（先取最小，后取最大），得综合模糊优先关系矩阵。
若则需对Y中的隶属度采取归一化处理。
再设量化分数集,将其与综合模糊优先关系矩阵进行向量内积，得到最终的水域生态程度评价结果,从而得：
（3）
因为鱼类的基本生态状况是由两个子因素集D=(d1，d2)共同决定，但两个子因素的评语集是为软指标，另一个为硬指标，故须对软指标和硬指标进行一个统一的无量纲化处理，让每个指标具有可比性。记原始数据为,标准化处理后的数据记为
对于正向指标,变换为：
（4）
所以，将水域生态程度的最终评价结果和人为捕杀率进行极小化处理,得到新的指标数据为和。
在经过极差变化处理的数据后,只需引入其一级指标的权重集D=（d1,d2）进行加权评价，就可得到第K种鱼类在第T年鱼类的基本生态状况H的量化比较：
. （5)
最后,对不同年份的指标进行平滑处理，引入时间因素，这表明不同年份对于现在或未来的影响是不同的，得某种鱼类的基本生态状况综合评价分为:
（K=1，2,…，60） (6)
附件中所给出的鱼类种数为60种.根据附件中所给的鱼类数据较为庞大,下面仅以宽鳍鱲为例,给出具体的求解过程.
假定附件中的数据是随机抽样捕获得到的，可认为其样本的量具有代表性，根据（1)可得出楠溪江内各种鱼类的人为捕杀率,结果见表(7）。
表7 楠溪江内各种鱼类的人为捕杀率
鱼类名称
捕杀率
鱼类名称
捕杀率
Can
0。。22
泥鳅
0。21
盎堂拟鲿
0。31
鲶鱼
0.33
棒花鱼
0。11
瓯江彩鲤
0。42
薄鳅
0.21
翘嘴鲌
0。41
唇鱼骨
0。10
似鮈
0。34
粗唇鮠
0。14
台湾铲颌鱼
0.29
大眼华鳊
0。45
温州光唇鱼
0.34
河川沙塘鳢
0.39
鰕虎鱼
0。18
花鱼骨
0.45
小鳈
0。15
鲫鱼
0。41
原缨口鳅
0.19
尖头塘鳢
0。23
圆吻鲴
0.47
宽鳍鱲
0。33
中华花鳅
0.37
鲤鱼
0.25
子陵吻鰕虎鱼
0。39
鲈鱼
0。36
日本鳗鲡
0.15
马口鱼
0。43
寡鳞飘鱼
0.42
麦穗鱼
0.42

接着，本文取,（宽鳍鱲）进行基本生态状况模糊评价，
由于问题中没有给出专家对于各个因素的评价集合，为了简化模型的运算，本文取，则有：
根据评价的实际情况和量化分析的要求把评语分为五个等级=：相应各等级的分数集,得出鱼类的基本生态状况指标为.
再取近五年的指标权重。即可求出某类鱼种的基本生态状况评分为:
因为，所以各种鱼类的基本生态状况较好。
5.3问题三的模型建立与求解
为了准确的得到鱼类的基本生长状况我们将捕捞地点1、2、3划分为X区域，将捕捞地点4、6、8划分为Y区域，将捕捞地点9、10、11、12划分为Z区域。
并求得三个区域五年鱼类的平均肥满度为X：0。002087、Y:0.002076、Z：0.001475。
本题通过计算得出楠溪江中鱼类生长速率最低的年份为2009年，然后将楠溪江的三个区域X、Y、Z的各年平均肥满度算出来，得到鱼类生长的数值如表8所示.
表8 楠溪江在三个区域鱼类的平均肥满度
区域
年份
X
Y
Z
鱼类的平均肥满度
lg(N/ N0）
鱼类的平均肥满度
lg（N/ N0）
鱼类的平均肥满度
lg(N/ N0）
2007
0.002147
0
0。003186
0
——
--
2008
0。002155
1.467491
0。002111
1.379613
——
——
2009
0。002032
1。276842
0。001913
1.083976
0。002402
1.867291
2010
0。002010
1.127658
0.002318
1.742165
0.002020
1。296724
2011
——
——
—-
-—
0.001769
0.985213
5。3。1鱼类生长初级数学模型的建立与求解
基本生长初级模型描述了鱼类肥满度与时间变化之间的关系。一级鱼类生长模型一般都是通过S型曲线来描述，那么S型曲线就需要建立Gompertz模型。Gompertz数学模型描述如下：
（7）
其中：lgN为鱼类在年份T时的常用对数值;为随时间无限减小时的渐进对数值(相当于2007年鱼类的平均肥满度)；C为随时间无限增加时鱼类肥满度增量的对数值;B为在年份M时鱼类的相对最大生长速率；M为达到相对最大生长速率时所需要的时间.
根据鱼类平均肥满度的数值采用Matlab拟合得到鱼类生长的曲线如图所示：
图3X、Y、Z区域各年鱼类平均肥满度拟合曲线图
其中表9和表10分别为楠溪江在X、Y、Z三个区域中鱼类生长的Gompertz数学模型的相关参数,回归系数及生物学意义。
表9不同区域下鱼类生长的Gompertz模型的回归系数及生物学意义
区域
相关系数R2
方差
生长速率u
迟滞期
最大平均肥满度
X
0。99653
0.01327
0。891
0.41
0。002155
Y
0。98761
0.02479
0。772
0。57
0.003186
Z
0。99415
0。01468
0.654
0。69
0。002402
表10不同区域鱼类生长的Gompertz模型的相关系数
区域
A
C
B
M
X
0.002087
4。2168
0。36724
35.7681
Y
0。002076
4.1979
0.35418
40。1975
Z
0。001475
3。9685
0。33697
42。6189
由Gompertz方程回归得到鱼类生长在不同区域中的生长动力学模型如下:
X区域 (8）
Y区域 （9)
Z区域（10）
因为Gompertz是一个非线性的生物生长模型，用附件所给出的数据测得的各种条件下鱼类生长的时间T和对应的鱼类平均肥满度E值分别用方程式（7）进行拟合(采用Marquardt迭代法，通过SPSS中的Origin函数进行非线性回归)，求出A、C、B和M 4个参数值(见表10）然后进一步计算出生长速率（),生长迟缓期（）和最大鱼类平均肥满度（)如下表：
表11各区域与生长速率、生长迟缓期、最大鱼类平均肥满度
区域
生长速率
生长迟缓期
最大鱼类平均肥满度
X
0。56971
33。0451
4.2189
Y
0。54698
37。3740
4。2000
Z
0。49197
39.6513
3.9700
注：表11中生长迟缓期是指在第t天的时候出现生长迟缓现象。
5.3.2鱼类生长二级数学模型的建立与求解
此处所建立的是区域对鱼类生长影响的数学模型。
二级数学模型描述的是一级数学模型的参数与区域条件变量之间的函数关系。
本文将三个区域鱼类的平均肥满度算出来,X区域为0。002087、Y区域为0。002076、Z区域为0。001475。因此,二级模型的建立主要是研究鱼类生长速率与区域之间的相关性.常用的二级模型主要包括平方根模型［4］和Linear[5］模型。
其中：
平方根模型表达式为
（11）
Linear模型表达式为
（12)
表达式中：U为一级模型求出的生长速率，平方根模型中和T呈线性关系；b、为模型待求的参数，b为斜率，为理论上的最小生长时间，是鱼类生长的特征时间,它的实际值要低于鱼类在水中停止生长的时间。在Linear模型中,考虑到U和T呈线性关系，将一级模型求出的生长速率U对应的时间点代入方程式（12）,采用Marquardt迭代法原理求出参数和r,将所求得的参数作为已知条件代回方程式(12），完成二级数学模型的建立。
依据平方根模型和Linear模型，对本文的数据进行处理，得到区域与鱼类生长速率U关系的表达式分别为：
（13)
(14）
其中：平方根模型回归拟合参数中=2009，b=0。04091；Linear模型回归拟合参数中=0。60214,r=0.06679.
得出两种模型平方根模型和Linear模型的拟合优度分别为0.8253和0。8963，说明区域与鱼类的生长速率线性相关性不显著。
将平方根模型和Linear模型做时间（T）检验,发现两个模型之间差异不显著（P〉0。05），说明这两个模型在本文条件范围内预测鱼类生长的作用效果是相同的。
平方根模型和Linear模型对鱼类生长速率在不同区域下的预测值与实际值比较见表12。
表12不同区域下平方根模型和linear model中鱼类生长速率预测值与实际值的比较
区域

实际值
预测值
相对误差％
实际值
预测值
相对误差％
X
0。75479
0。72309
4。2
0。56971
0。55376
2.8
Y
0。73958
0。63974
13.5
0.54698
0.40969
25。1
Z
0。70140
0。54288
22.6
0.49197
0.40833
17.0
从表12可见：在X区域楠溪江鱼类生长速率相对较高，预测值与实际值数据较吻合；而在Y、Z区域，鱼类生长速率的模型预测数据与实际值差异性相对较大,均超过了10%,说明模型对Y、Z区域的鱼类生长是不适用的.
综上所述：该模型是针对所有鱼种在楠溪江内生长增殖而言(忽略少数稀有鱼种），由表10中的数据可知，由于区域的不同，鱼类生长速率有所差异，在0.49～0.57之间，差异程度在14.04％～16。33％之间；生长迟缓期均在一个月左右出现,差异程度较小,具有一定的可靠性；最大鱼类平均肥满度均在40左右，差异程度较小,具有一定的参考价值。因此，在第T年的时候我们可预测三个区域中某种鱼类的生长速率为:、生长迟缓期为:、最大鱼类平均肥满度为：。
六、模型评价
6。1模型的优点
1。采用肥满度将鱼类的体长和体重进行统一化数据处理，对鱼类生长程度的描述可靠性较高。
2。采用层次分析法对影响各种鱼类的基本生长状况进行深度剖析,再使用加权分析使得结果更为的可靠。
3。将楠溪江按照地理位置分布划分为三个区域，并建立初级和二级数学模型对不同区域的鱼类生态趋势进行分析计算，使得鱼类生态趋势的预测结果更加的与实际相符合。
6.2模型的缺点
由于数据较为庞大，本文模型的建立和求解都是在模型的假设条件下进行的。但是对现实中的其他影响因素(例如自然环境恶化)无法预料，所以现实中的各种因素对鱼类生存的影响也是难以预料的。样本数据和模型就会产生误差，使得结果不准确。
七、模型的改进与推广
7。1模型的改进
该模型的建立没有将自然灾害等不可控的因素考虑进去，使得该模型在有自然灾害的情况下存在局限性。故在建立相关模型的时候应该将气象局的有关数据考虑进去,使得结果更为准确.
7.2模型的推广
本模型对鱼类的生态状况进行了分析、评价以及预测，我们可以将该模型推广到其他生物种群(例如家畜、蝗虫)的生长发育中去，有很强的实际应用价值.
八、参考文献
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2006—10—25。
[2]动态模糊评价法百度网址链接。http://baike.baidu。com/link？url=DUOU9PUv1
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CitDitKOa。
［3］ Zwietering M H.Jongenbonger I，Rombouts F M,et al.Modeling of the bacterial growth curve[J].Application EnvironmentMicrobiology，1990，56(6）：1875—
1881.
［4]Ratkoweky D A，Lowry R K，Mcmeckin T A,et al。Model for bacterial culturegrowt—h rate throughout the entire bilkinetic temperature range［J］。Jbacte-
riol，1983,154:1222—1226。
［5] Li K Y，Tortes J A。Microbial growth estimation in liquid media expoaed to temperature fluctuations［J］。Food Sci，1993，58:644—648。
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［7] 姜启源,数学建模案例选集，北京：高等教育出版社，2006。7。
[8］ 王炳顺，医学统计学及SAS应用，上海：上海交通大学出版社,2007.
[9］ 陈平雁，SPSS10.0统计软件高级应用教程，北京：人民军医出版社,2004.1.
[10] 薛定宇，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京:清华大学出版社,2008。10。
［11] 刘明芝，中医药统计学与软件应用，北京：中国中医药出版社,2005。8。
[12] 谢季坚，模糊数学方法及其应用，武汉：华中科技大学出版社，2013。2。
11