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《“类圆锥曲线”性质的探究》

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“图形计算器与高中数学教学整合研究”课题教学设计案例、论文评选
“类圆锥曲线”性质的探究
上海南汇中学 李志 凤杰
一、问题的提出
学习解析几何，我们知道曲线的图像是圆，曲线的图像是等轴双曲线，而对于一般情况，曲线的图像是什么？它们有什么性质？图形计算器对于我们研究这样的数学问题，具体会有什么帮助呢？在思维方式上又会产生怎样影响？这些都是本文主要探讨的问题.
二、探究过程
（一）我们先来考查的情形
探究1：当时，
（1）用图形计算器作出、和图像.

（2）性质
对称性：分别关于直线、和对称；
顶点：和（曲线与对称轴的交点）；
范围：.
因为此类曲线和圆的性质类似，我们不妨称之为“圆型曲线”.
探究2：当时，
（1）用图形计算器作出、和图像.

（2）性质
对称性：分别关于直线和对称；
顶点：（曲线与对称轴的交点）；
范围：
渐近线：
因为此类曲线和等轴双曲线的性质类似，我们不妨称之为“双曲线型曲线”.
探究3：当时，
（1）用图形计算器作出、和图像.

（2）（猜想）性质
对称性：关于直线对称（把与互换方程的形式不变）；
顶点： （曲线与对称轴的交点）；
范围：；
渐近线：.
下面我们证明曲线的渐进线是直线
证明：设直线和曲线、直线分别交于两点，则
并且，当 再根据图像的对称性，我们知道是曲线的渐近线.
因为此类曲线形状像 “弓”，为了方便，我们把这类曲线叫“弓型曲线”，它们都有一条渐近线.
探究4：当时，
用图形计算器作出、和图像.

从图像可以看出此类曲线和的性质类似，也是“弓型曲线”，它们都有一条渐近线.
事实上，因为曲线 所以和的图像关于轴对称.
探究5：当时，
（1）用图形计算器作出、和图像.

（2）用图形计算器做出、和图像.

可以看出此时曲线图像是“抛物线型曲线”，开口方向取决于前面的符号.
（3）性质
对称性：关于 轴对称（把换成，方程的形式不变）；
顶点： （开口向下）；（开口向上）；
范围：（开口向下）；（开口向上）.
探究6：当时，
（1）用图形计算器作出、和图像.

（2）用图形计算器做出、和图像.

可以看出此时曲线是 “抛物线型曲线”，开口方向取决于前面的符号，它们的性质与前面探究5中“抛物线型曲线”的性质类似.
（二）我们再来考查的情形
探究7：当时，研究的性质.
用图形计算器作出和 的图像.

可以看出此时曲线的图像是部分“类圆型曲线”.
探究8：当时，研究的性质.
用图形计算器作出和 的图像.

可以看出此时曲线的图像是部分 “类圆型曲线”.
探究9：当时，研究的性质.
用图形计算器作出、、和的图像.

可以看出此时曲线的图像是 “类抛物线型曲线”.
探究10：当时，研究的性质.
用图形计算器作出、、和的图像.

可以看出此时曲线的图像部分 “类圆型曲线”.
三、研究结果
探究：当时，我们研究更一般的曲线的性质.
用图形计算器分别作出下列几组曲线的图像.
（1）和

（2）和

（3）和

（4）和

可以看到，每一组的两个图像，除了弯曲程度、走向不同之外，其实他们的结构是相同的.所以当幂指数取一般的正有理数时，曲线具有的性质，与前面十次探究的结果类似.
我们发现：除去1的特殊性之外，偶数指数（包括分子是偶数的分数）类同幂指数2；奇数指数（包括分子和分母都是奇数的分数）类同幂指数3；开偶次方的指数（包括分母是偶数的分数）类同幂指数 这样我们关心的，有区分度的幂指数的取值集合为.因此有理指数幂的两元曲线的图像和性质可以归结为下表中的十八类，并且第二行每格中的两个图像关于轴对称，第三行每格中的两个图像是同一图像的不同部分.

定理：设，若，则在第一象限，曲线的图像总在曲线图像的上方，并且
当时，；
当时，.
分析：用图形计算器分别画出、、、、和等曲线的图像.

证明：（1）在第一象限，曲线的图像在曲线图像的上方当时，恒成立.
因为当且时， 恒成立，所以在第一象限，曲线的图像在曲线图像的上方.
（2）记，则对任意 因为，，所以. 即当时，.类似地可以证明当时，也成立.
推论：当为偶数时，曲线所围成图形的面积为，则
说明：本文所用图形计算器为卡西欧型，进入图形模块或圆锥曲线模块可以方便地绘制所需的函数图像及二次方程曲线，但考虑到该计算器尚不具备直接绘制高次方程曲线的功能，笔者选择将方程转化为函数进行处理，这一环节本身需要等价性转化，从而为问题研究造成了一定阻碍，好在结合简单的代数分析可以顺利解决.比如，由可得，所以该方程曲线可以由两函数图像拼接获得；又如，由易知，且，所以必须给出相应函数的自变量范围.“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，这里稍加变通使图形计算器的核心功能再次凸显，建议计算器开发者考虑增设“任意方程曲线”的绘制功能，则更显完美.
生产工具决定生产能力，而数学是一种思维方式，任何一种新的数学硬件工具的介入，必将引起数学思维意识和思维方法的变化，数学产能的升级。那么图形计算器的使用到底会对数学思维方式产生怎样的影响？它到底能给我们的数学教学，学生的学习和研究带来什么？
事实上，从激发学生的学习兴趣着手，培养中学生的探究能力和研究精神，图形计算器是目前比较好的一种载体和工具.以上几个问题的研究说明图形计算器可以高效能、批量解决问题，可以帮助我们从特殊到一般归纳猜想出问题的结论，尽管结论的正确性最终还需要严格的理论证明.图形计算器是数学学习和研究的有力工具，它可以形象，具体地帮助我们实验性地介入问题，可以检验我们猜想和结论正确性，把握好研究的方向.

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