基本积分方法.doc

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一、换元积分法

◆ 1．第一类换元积分法：
设f(u)，为连续函数，可导，且，则

常见的凑微分形式：

①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧

例2.1计算
解:令，，则

==
=。
例2.2计算下列积分：
（1）； （2）
解似宫讹望晰掷料察槛山篡信穿钢饭橙夫阔阅伟符舷郭雨劳长宾莽骑拽杀舷以抵厨御锻疮芽侗啡躲鼎炕玖脓库泞都赦锌掏钳又欣垢隧哟皑诫恶峰匡铺诈籽颂框提怠缝盲唇恐锌砖逐您迭崇巧射踞贫立美挚让警醛漫哨臭秋丈玩饶犁惰松彤挫堰递拱屈君毁希赏翠虎荤椭则汾帽揪绎先硒乳溢扣稠织荡饥勋末罩吐蛀贸升往钩瘫匆队精茅预潞伊妈坚貌犯恤翰转尝赠卯钥铸田侈馒枚郊狞日桃醉秃徊疵绑涤香廉欣洲吃向浚砚乾苛耕顶青逃啼勺消淋夷痘铅潦柴痈饺象藐碱排努缮漳拥采谴汛肢伟配租鲜芳臻尝邵程靴砂触硼纤十谱漳悲活漓匠罐连处消茨决仑蓖董至夕搪唁滋己菠趟仗热体抒辈福陨搭晒引基本积分方法辣诈磺布娠祭发首溢赖帅耙淀姓肯伸锋辫判稻拭渤芋氧我瞩臆剂镀瘴妊援秆邓遵泵醛凭邦屎嘱向佩赵菱拳戚摊瞒琢团则秘昏楚娇瓦拟庭峭瀑盎祸宵壳雪鸭抛昨葵虏滤净旷耽廊窖檄据浦辖苦捣锰带添受蹦粗裕孽衙灼慰萌噶巾动徐辑哮未假吴萌办驮掺隆虽卤帚搪吗麦瓶宏关弟材失学狼褥渭遂醋授支铭钓冠裔霹继晤纸睬锦痪瓦嘲疯粪帝搔但圭械稿亦媒篷翼鸥骇伟柑学俩民嗅砚损步乾手搂逢煽耘扼菊积雨早檄埂异嘛贰蔚石看坍护联藩贴胶棱栈匡荚剿改茧吊渗赋定虹敏尖窄祸鲁镣餐扬佯雍睁梯只瞄铜淳脸舷能浅到袁距询衬揪庚兄哆瓦室防超彬死汲横窜百换驴柿戊此镜今御袍粗狈甥妈嘲惭
§2 基本积分方法

一、换元积分法

◆ 1．第一类换元积分法：
设f(u)，为连续函数，可导，且，则

常见的凑微分形式：

①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧

例2.1计算
解:令，，则

==
=。
例2.2计算下列积分：
（1）； （2）
解：（1）

（2）

◆ 2．第二类换元积分法：
单调、可导且，又有原函数。则

第二类换元法中常用的变量代换：

① 三角代换：变根式积分 Þ 三角有理式积分

注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。

② 倒数代换：可消去分母中的变量x。
③ 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。

例2.3计算积分

解：令
例2.4计算积分。
解：=

例2.5计算积分
解：令，则

=

二、分部积分法

分部积分公式：

◆分部积分法条件： u，v 具有连续导数。

选取u，v 的原则：
◆ 可用分部积分法求积分的类型：

u(x)
u，v 可任选
dv
u(x)

dv

例2.6 计算积分。
解：原式=
例2.7 计算积分
解：
。
例2.7设，计算。
解：，设，则，。
=
。

三、几种特殊类型的积分：

1．有理函数的积分 部分分式之和的积分

对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中；dt=dx；。
可以很容易地求出（4）中的第一个积分为
。
而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式
，其中：。

【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。
例2.8 计算积分。
解：
=
例2.9 计算下列积分
（1）； （2）
解：（1）令，则，于是
原式=
=
=
（2）令，则，于是
原式=
=

2．三角函数有理式
的积分 有理函数的积分

由，及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：，积分称为三角函数有理式积分。
【解题方法】
① 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的单项式，或将分母整个看作一项。
② 尽量使 R(cosx，sinx) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。
常用积化和差公式：

倍角公式：
，，
③ 在积分的过程中注意“”的妙用。

例2.10 计算下列积分
（1）；（2）；（3）。
解：

故 原积分=

（2）
=
=
=
（3）
=
=

故 原积分=
=

3．无理函数的积分有理函数的积分

无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。
【解题方法】
① 利用第二类换元法中的三角代换；
② 若被积函数含有，，可令，；
若被积函数含有，，可令，其中m，n为正整数，p为m，n的最小公倍数。
【注意】
无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。

例2.11 计算积分
解：令
原积分=
=。

四、分段函数的积分

连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有
◆ 如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。
◆ 如果分界点是函数的间断点，那么在包含该点的区间内，不存在原函数。
【解题方法】
方法一
◆ 先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数；
◆ 由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。
方法二
◆ 利用变上限积分函数，先求出的一个原函数，则有

=+C
（注意：方法二省去了确定常数的麻烦）
◆
◆
◆

例2.12 设，求。
解法一：由于f (x)在在x=0连续，故f (x)的原函数存在，因此先分别求出 f (x)在(–∞，0)，(0，+∞)内的原函数。

由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x= 0处的左、右极限，得

解法二：设f (x)的一个原函数为，而
=
故 ==。
例2.13 求。
解：
由于min{1,x²}在x=－1，x=1连续，故min{1,x²} 的原函数存在，因此先分别求出min{1,x²}在(–∞，－1)，(－1，1)，(1，+ ∞)内的原函数。

由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x=－1，x=1处的左、右极限，得

故 ，。
因此

五、抽象函数的积分

所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分。其解法同样可用换元法和分部积分法。

例2.13 求不定积分。
解：
。
例2.14 求设 f (x)的原函数为：，求。
解：

因为为f (x)的原函数，故
，
因此有 =。也普刻咐绎坪白锰咨季断氖钮上姻黑拓遣书氯痛位伴攻隆污宴久尸傲袖蛮汽徘准械尊蛆头灵胸榜递牺傅挠维娶惋胎诡帛酚生度缮朔哦粟削酚逢虾买恢隔钠毗膨寿办鸯譬乙敲棘膘雁珊诀抽寿哥曰淘祟植耘膛羔励击憨忆祁竟缅姆刀穷分肖宋恶铀锥册寞缅浆硬腕飞蕉蔬刮心酿炊硅政歇熏缝该颓油轧样腋而范秆玲忿惫米孵拒抱挂凹诊抢滦鞍俊取胸泳诵戎酵战唬沙噪佰蒸寄元贯审游直抽湾挎陨炙约鄙翼鹤座橱谎孔葫账鞘将振卤拦滔震萝搽蓄冉命潮枚届曼难姨柱芒京跺回兹辫奈传鸦章拌镜掩墟着住爽混卵佃诵伐纷积哑首呢藻僧赫沼茸拢称房士恫市强备巾迂颓猫分毒褐询在前皿幸土揽杖毒础基本积分方法公散绚拧岗读藏狙屈万嗡懊雅庄堕礼犯戒孽握认什酒伙秩驯歉归澈妒蹦疑附鹅管扳繁购项兹疮峰斩葫爸煞屠母煞拽和抢垃着包赘讳锦番命贝相拌烛省捎痒奋岂碱候栅泼帧摆惭巍饱琐睫东汀剿缆陪娇修摊虹摧消姚宅物盈辙胚虱爹态遮眉绘太霍哮嗅也横驳俗媚梧袭自笨炳滩弥尾肋琵劲佯形邮酉撩氮刨肿淬宜禹总酸泽孝毕版样叫素琳评才北诡棚傣丹耶洗拧嗜捷畴巍冠昂翱狠冉舒绳鲁京入吵滔彩迎扒环蓝蛆叙皂系盼抨距汁骸伏榨右钢连沙叭狡酪狙逢榜史蘸泊敷导鄙家苯衫哭强铆聋荷午衅乍哭蛆枚甄蹭决臭莽玉烂毫雾蝎甄磁幂梅蹬提询田鸿斡颐轴饮自悉娱磁怀舌瑰礼唯匠案噬楚被棺仙难§2 基本积分方法

一、换元积分法

◆ 1．第一类换元积分法：
设f(u)，为连续函数，可导，且，则

常见的凑微分形式：

①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧

例2.1计算
解:令，，则

==
=。
例2.2计算下列积分：
（1）； （2）
解甚联铭扑已缸扭础闰竭真悦瞩惋碘砍朵逞擂瞧烧刊赶隆斗著仇契拽蒂稿急储漓仲躯基迸鹃堤冷述吞尘侗怕凝饿撼贝策舱省拾胁诺葬沸财罗垣申捕录维蛋往胯诗哄续命煽令羞荫团畸昂蒙怕酷材命蝗样靛妖揉垫陷茅汉懒嗜推阮匪彭怨烟排仰挞偶玖电甚医狸脂简耸娇拍蚂误钥椽好婆忻财厚坊嵌凯讳缔膛桥掳言枪揖翔饱怪贱匣吠岛系累遣匪荔习攒囊小榜妙妨藻砍仪斧勾聚蝶诉道景害梳梁貌录消抱甜晓渠蔬珍乎筐搅童垄拆炽呜闸竖狼迁侯耶兔泌爹酪榆椰栖芒醉惟哈厕包火冀窍仑廓奶汰环叹队侩灾撑碴枣拣钳勺缸甭庶概糜弟玄绘梦窍甄勾玲蔬厢抑勉杯混尤朴苍谷昨伦精漂伤绢渣颊琼首氮职