职业高中数学笔记总结.doc

+d
+d
高一下册
1、 等差数列 （a1、a2、a3、···)
an+1=an+d （d为公差）
通项公式:an=a1+(n-1)d
前n项和的公式：sn= ， sn=na1+d
等差数列｛an｝中,对任意的m,n，p，q,只要m+n=p+q，那么am+an=ap+aq
×q
×q

等差中项：2a2=a1+a3
2、等比数列 (a1、a2、a3、···)
an+1=anq （q为公比）
通项公式：an=a1qn-1
前n项和的公式：sn= (q1), sn= (q1）， 当q=1时sn=na1
等比中项：=a1a3
3、 平面向量
A

B

C

a

b

a-b

C

平面向量的加（减)法:

a

b

B

A

a+b

图（1） 图（2）
图(1） a+b=AB+BC=AC 图(2） a-b=CA—CB=CA+BC=BA
向量a+b的画法:向量a的头(箭头端）指向 向量a—b的画法：向量a的尾对向量b
向量b的尾，向量a+b则指向被加的那一方。 的尾,向量a-b则指向减数那一方。
平面向量的数乘运算：例 （a+b)=a+b
平面向量的坐标：A（x1,y1)， B（x2，y2）, AB=(x2-x1,y2-y1）
线性运算的坐标:a+b=（x1+x2 , y1+y2）
a—b=(x1-x2 ， y1—y2）
共线向量的坐标:óx1y2 - x2y1= 0
相交 ó x1y2 + x2y1= 0
向量内积：〈a，b>
A

(|a||b｜为向量a，b的模，<a,b〉为向量a,b的夹角）
a

b

O

B

0° <a，b> 180°
内极坐标表示：a=(x1，y1)， b=(x2,y2)
a·b=x1x2+y1y2
｜a|=
Cos〈a,b>==
4、 直线和圆的方程
两点间的距离：|P1P2｜=
A(x1,y1)
B(x2,y2)
M(x0,y0)
线段中点坐标：x0=， y0=
斜率：k=tan ， k= (x1x2)
点斜式方程：y—y0=k（x—x0）
斜截式方程：y=kx+b (b为截距）
一般式方程：Ax+By+C=0 （其中A，B不全为零）
两个方程的系数关系
K1k2
K1=k2
两直线的位置关系
相交
b1b2
b1=b2
L2

平行
重合
两直线平行:
L1

L1

L2

两直线相交：

(1)

(2)

图(1) L1 L2ók1·k2=-1
图（2） 斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直
点到直线的距离：d=
圆的标准方程：(x — a)2+（y - b）2=r2 圆心C（ a , b )
圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 （其中D2+E2-4F>0) , 圆心(） ， 半径（）
直线与圆的位置：d>r （相离） , d=r （相切) ， d〈r （相交）
圆心C(a , b)到直线Ax+By+C=0的距离 d=
5、 平面
平面性质1：如果直线L上的两个点都在平面内，那么直线L上的所有点都在平面内。此时称直线L在平面内或平面经过直线L，记作L 。
性质2:如果两个平面有一个公共点,那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的集合是这个点的一条直线.此时称这两个平面相交,平面与平面相交，交线为L，记作 。
性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。
三个结论：（1) 直线与这条直线外的一点可以确定一个平面.
（2) 两条相交直线可以确定一个平面。
(3) 两条平行直线可以确定一个平面。
直线与直线的位置关系：平行、相交、异面
在同一个平面内的直线叫做共面直线,不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。
D1

平行直线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行。
ADC向上折成AD1C
此时ABCD1不在同一平面内
这时的四边形叫做空间四边形
C

D

B

A

直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
判定直线与平面平行的方法：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面
和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
判定平面与平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
如果直线L和平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线L与平面垂直，记作L 。直线L叫做平面的垂线，垂线L与平面的交点叫做垂足。
A

两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行.

A

B

L

L1

P

斜线L与它在平面内的射影L1的夹角，叫做直线L与平面所成的角。

直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直.
平面与平面垂直的性质:如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
6、 几何图形
棱柱
正棱柱的侧面积：S正棱柱侧=ch （c表示正棱柱底面周长 , h表示高)
全面积(表面积)：S正棱柱全=ch+2S底
体积：V正棱柱=S底h
棱锥 图（1）
h1

正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=ch1 （h1表示斜高）
全面积（表面积)：S正棱锥全=ch1+S底
(1)
体积：V正棱锥=S底h
母线L

圆柱
h

S圆柱侧=2rh S圆柱全=2r（h+r） V圆柱=r2h
圆锥 图（2)
(2)
S圆锥侧=rL S圆锥全=r (L+r） V圆锥=r2h
球 图（3)
d为球心到截面的距离，R为球的半径，r为截面上圆的半径。
O

R

d

r=
(3)
r

O1

S球=4R2 V球=R2
7、 概率初步
分类计数原理：N=k1+k2+ …+kn (种)
分步计数原理：N=k1·k2·…·kn （种)
随机事件;必然事件,用表示；不可能事件，用表示。
基本事件：不能再分的最简单的随机事件。
复合事件：可以用基本事件来描绘的随机事件。
频率: (m为频数) n次重复试验中,事件A发生了m次 ()
概率：P（A)= （古典概型)
概率加法公式：P(AB)=P（A)+ P(B)
高二
1、 三角公式及应用
两角和与差的余弦公式：cos（）=coscossinsin
cos（）=coscossinsin
两角和与差的余弦公式：sin（)=sinsincos
sin()=sinsincos
两角和与差的余弦公式：tan（)=
tan()=
二倍角公式：sin2=2sincos , cos2=cos2sin2
cos2=2cos21 或 cos2=12sin2
sin2= 或 cos2=
tan2=
正弦型函数：y=Asin(） （A〉0 , 〉0) , 定义域为R,周期为T=
y
正弦型曲线： 利用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的图像。
1
(1) Y=sinx , T=2
x
0

O
x
2
Y=sinx
0
1
0
-1
0
-1
(2) Y=sin2x ， T=
x
0

y
1

2x
0

x
O

2
Y=sin2x
0
1
0
—1
-1
0
所谓“五点法”是指将sin内的数值取0, , , , 2这五个点,然后求出x与y的值即可。
y=Asin() (x［0,+),A〉0 , >0)
A为振动的振幅
振动的周期：T =
振动的频率:f = =
相位: 当x=0时的相位叫初相
将函数y=asinx+bcosx （a〉0 , b〉0） ,转化为y=Asin（）的形式
A= ， =
正弦定理：==
余弦定理：a2=b2+c22bccosA ó cosA=
b2=a2+c22accosA ó cosB=
c2=a2+a22abcosA ó cosC=
注：

0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°

0

1

0

1

0

—1

0

1

—

—1

0
F1 , F2是椭圆的焦点
F1到F2的距离叫做焦距 2c (c > 0)
F1 , F2距离之和为2a (a > 0) (长轴)
2b (短轴)
离心率：e= (0 < e < 1)
a2c2=b2
y

y
2、 椭圆
M
F2

M

x
O
F2

x
F1
O

F1

(1)

(2)
椭圆标准方程: (1) （a > b 〉 c 〉 0）
F1 , F2是双曲线的焦点
F1到F2的距离叫做焦距 2c (c > 0)
|MF1||MF2|= 2a (a > 0) (实轴)
2b (虚轴)
虚线部分为渐近线
图(1)渐近线为 y=
图(1)渐近线为 y=
离心率：e= ( e > 1)
c2a2=b2 ( c > a , c > b )
（2） (a 〉 b > c 〉 0)
y
3、 双曲线
y
F2

M

O

F2
F1
x
x
O

F1

M

(1)
(2)

双曲线标准方程： （1） (a 〉 0 ， b > 0)
(2） （a 〉 0 , b > 0)
|EF|=P , 焦点F的坐标为( , 0 )
直线L为抛物线的准线
|MF|=M到准线L的距离
(抛物线上任意一点到焦点的距离等于此点到准线的距离)
离心率：e=1
抛物线的标准方程：y2=2px ( p > 0 )
y
x
F
O

P
M
E
4、 抛物线
5、 排列与组合
表示从n个不同元素中，取出m （ mn )个元素的所有排列的个数
=n（n1) （n2） … (nm1） (mn） 例:=5（51）=20
=n(n1) （n2) … 321 (m=n） 例:=4321=24
=n!
= （m〈n) 例:===12
n！叫做n的阶乘 （1到n的正整数连乘积） ( 0！=1 ） 例：5!= 54321=120
表示从n个不同元素中取m （ mn ）个不同元素的所有组合的个数
== 或 =
性质1 ： = ( mn ) 例：=
性质1 ： = （ mn ） 例：=
组合（）与排列(）的区别：组合中m个元素不用排序，排列中m个元素需要排序
6、 二项式
二项式定理：(a+b)n=（二项展开式)
为二项式系数
二项式的通项公式：=
(1) 每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的。
(2) 每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等。
(3) 如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项式展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等。
(a+b)1 … 1 1
(a+b)2 … 1 2 1
(a+b)3 … 1 3 3 1
(a+b)4 … 1 4 6 4 1
……
杨辉三角
二项式系数的性质：
高一上册（剩下部分）
1、 运算法则
(1）= (2)= (3)=
当a > 0 ,p ，q为有理数时
= = =
2、 幂函数
叫做幂函数，为常数，为自变量
当〉0时，函数图像经过原点（ 0 ， 0 )与点( 1 ， 1 ）；当<0时，函数图像不经过原点( 0 , 0 ），但经过（ 1 ， 1 ）点.
3、 指数函数
, 值域（0,) , D=R
性质：当x=0时，函数值y=1;
当a>1时，函数在（）内是增函数;当0〈a〈1时，函数在（）内是减函数。
4、 对数
b=logaN (以a为底N的对数等于b)；a叫做对数的底，N叫做真数
ab=N 叫做指数式 logaN=b 叫做对数式
当时
（1) loga1=0 （2) logaa=1 （3) N〉0， 即零和负数没有对数
以10为底的对数叫做常用对数,log10N简记为lgN，如log102简记为lg2
以无理数e(e=2。71828…)为底的对数叫做自然对数，logeN简记为lnN,如loge5简记为ln5
Lg（MN）=lgM+lgN ( M〉0 , N>0 ）
当M〉0 ， N>0时 lg= lgM-lgN lgMn=nlgM
5、 对数函数
, D=(0,) ， 值域为()
性质：当x=1时，函数值y=0；
当a>1时，函数在（)内是增函数；当0〈a<1时，函数在（）内是减函数。
提示：求函数定义域时要注意“对数的真数大于零"的条件。
6、 角
OA是始边，OB为终边，端点O叫做角的顶点
(1) 顺时针方向旋转所形成的角为负角
(2) 逆时针方向旋转所形成的角为正角
(3) 当射线没有任何旋转时，也认为形成了一个角，叫做零角
角的概念
B

O
A

终边相同的角 {｝
与角终边相同的角有无限多个，所以组成的集合如上所示
终边在y轴上的角的集合是｛｝
当角用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长L与半径r的比，即||=
弧长公式： 扇形面积公式：
j (rad) k (rad)
l (rad) m1(rad)
终边在x轴上的角的集合是｛}
B
弧度制
2r

2rad

r
O

7、 三角函数

y

y
由图得知：

x

B

r

y

x
C
O(A)

y
y

O
O
O
x
x
x

三角函数值

0/0°
/90°
/180°
/270°
2

0
1
0
-1
0

1
0
-1
0
1

0
不存在
0
不存在
0
8、 同角三角函数的基本关系式

例:已知， 且是第四象限角， 求和
解： 由
得
又 是第四象限角

则 ,
9、 诱导公式
j当时，

k l m