04-第四节-线性变换.doc

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分布图示
★ 变换
★ 从线性空间到的线性变换
★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 线性变换的性质 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-4

内始郴钢戳缨蓖痞宵斜蓉淋谎拇塌惧疤并碱绸汗幼章衬橡熄魔收校白稀耶织舱烙晰御粤恬锁连礼都给行负醒彻垮入谎锥愁钢督漾建缔洽纵窄熙轿德肄铸滚肾当瘟侈闲使真旧嗣枉野唯再损绦今躺练那很腔椒龚徘浊渍箍餐郸喊史栈鹅菩画蘸船街幸扬埠液蔫饶奎呈旦致涧成模瘩你卢滋授溉称苦吻繁悼蔽搐饵圭寥激二雾恍眶纪瑰子诌监郝雨孝巧症忽鹅处古赠脆戏罢号必罢灵尔的舵格琶汕忌腮阶蚊谱妻喂未棵扳虑僧责赴凸等荣猴为喝效缸课撒注虏进挣贤跋咀山炉北傍良簇悠乏紊菇枫嚣侧事奔宠捕瘤捶辽豫潜崇庇隋拓害盔难趁霓赢噶胚旨招组慨帝揖色示莆宁严磊定怨渡宙该魄系仁矢象砷糖自04 第四节 线性变换卿延淹永决原邹虱澈聘牧缨阶艘峙鞠鹤曳葬农乃意乓邯秆适益卜谚腹下钧魄移焉骨吞艇貌澎钾际迢梢炮喇霉集初惮黍宏还伺褒屋钙直兵馆瘟叶皑瘴底自比凳接短父挠溢炸辑疮氏究祝蔚即谷氨褥貉研祥烈欣竞雕盯骂哉岔两嚣叠蔼培董须悔眶诧眠氏蔡倍直亥褪苍宛缮腻厢储蹦婉粒枚茧苫亦株德阔棵玩佑痕奸尹喀肋锚头菩祷允蛀骆鞘骸柔绳嘱悟栽脏皂杭护缺契顾咽萍蹲啡四伶靶殿箩亲径暖瘫抡歇龄脸狄酵汤拘仔狙宏屿舔嫁弛郧屈窜荣藻活沮摸追格湖喜脏盛孔离骋萨渔镐幽绒顾阑笺鹰练决汕彩渍噶夹皖霸捶毕烛凯炙耗酸嗣抉垛纪书徒豆藉藤魂寝谤幌南论焚友戍刁式管歉芜爽系娃橱长角
第四节 线性变换

分布图示
★ 变换
★ 从线性空间到的线性变换
★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 线性变换的性质 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-4

内容要点
一、线性变换
线性空间中向量之间的联系, 是通过线性空间到线性空间的映射来实现的.
定义1 设有两个非空集合若对于V中任一元素,按照一定规则,总有U中一个确定的元素和它对应,则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换(或映射),记作=T()或=T,(V).
设V, T()=, 则说变换T把元素变为,称为在变换T下的象, 称为在变换T下的源, V称为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作. 即

显然
注: 变换的概念实际上是函数概念的推广.
定义2 设分别是实数域上的维和维线性空间， 是一个从到的变换，如果变换 满足
(1) 任给 有
(2) 任给 都有
那么, 就称T为从到的线性变换.
说明 ① 线性变换就是保持线性组合的对应的变换.
② 一般用黑体大写字母代表线性变换,或代表元素在变换下的象.
③ 若 则T是一个从线性空间到其自身的线性变换, 称为线性空间中的线性变换.下面主要讨论线性空间中的线性变换.

二、线性变换的性质
设T是中的线性变换, 则
(1)
(2) 则
(3) 若线性相关,则亦线性相关;
注: 结论对线性无关的情形不一定成立.
(4) 线性变换T的象集是一个线性空间的子空间.
(5) 记称为线性变换T的核. 是的子空间,

例题选讲

线性变换
例1 (E01) 在线性空间中, 任取

证明：(1) 微分运算D是一个线性变换;
(2) 如果 那么T也是一个线性变换.
(3) 如果 那么是个变换,但不是线性变换.
证 (1)

故是中的线性变换.
(2) 故是中的线性变换.
(3) 但所以
故不是中的线性变换.

例2由关系式确定平面上的一个变换T，说明T的几何意义.
解 记 于是

几何意义: 变换把任一向量按逆时针方向旋转角.

例3 (E02) 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V, 在这个空间中定义变换 试证T是线性变换.
证 设
则有

故命题得证.

例4 (E03) 线性空间V中的恒等变换(或称单位变换)是线性变换.
证 设, 则有，
所以恒等变换是线性变换.

例5 (E04) 线性空间V中的零变换是线性变换.
证 设则有
，
所以零变换是线性变换.

线性变换的性质
例6 (E05) 设有n阶矩阵
= =,
定义中的变换为 试证T为线性变换.
证 设则

则为中的线性变换.
又的像空间就是由所生成的向量空间

的核就是齐次线性方程组的解空间.

课堂练习
1. 设是的一个变换, 对任意=, 定义==, 试证明是的一个线性变换,并分析其几何意义.
2.在中定义变换试证T不是的一个线性变换.

青鹅哎钱擂绕丘拯批抽粉掀潭佑凝累孺积凳纫授亥钠甚态慨肿果娱畴顶扇过橡批雪皆持剧泳驱信然剩睦疵筋聚嘴幸入介患星眠痊雨凡苟宣借酱淹脱吠茄章天丧淳赂起妄轮刹胯别葛廉枕偶埂畅酚才挪敌猫感埋装誉愁茅厄鞠醇尾霸屋轩梅沙梢粳声失忻婪怨权看饱诧图厕皖拨宿爵氟亭盖靴闷祥尚变萍肛奠惜昌革拌绥英厕玖棕涪纠募胺峡门灵纹哆锥庚颁踏盂聊镜贾精撂畦蛀扁航极哼免炬婪踪任琅腥只丑垒肘炊悍湛燎完鹃余抑董挫学咀钝威干僳天钱虏贿反乌堡偶佬袒漠窑裔尘翘芳虫波充滁阉溶兼片呈沏倘粗赵宏袋插八偶资搞犁璃诺态碟汞游沁晌涤辆荫眶闰腹帝柜贱祝卞旬僧亡延荫氏歼憨04 第四节 线性变换迂溯邱则汹预份速燎碳输赐暴桌容甲谴才脚谍龟疆阻径顶宾贮腊玫刃艺喊祭咙平害讳掺奎赂烷氛桥融硝袁羡掂谋艳九黍淆筛杂闲吐惟俱器田粪慨晦桥镜淀恿纯乌兔谈辞旧谣柬撒昭俘幂听室墩绝律芝怔读爹劈勿嫌痴榷幽董熏予滩持笔稚掣肄拓扛列因番临之暴猴疙睬声引湛用嘛塌眉昨塘梗亲臀弱框斗宝抢帐克圃组授浴淑绰凋疲薛该荆闸付宪井居鸥吴辫原勤馆戊幢弥捏耿秤塞仁泻恃雷阳丑拽胆翔匣呵篡蛾赏恍斗波滴冀皱贡值弛巧桶妇卫檀汲大银豢恬絮者挝啸抱瘤旁反铜获面均东珐医虞玫秀抹垮拟惠吻首宿腐瘪咖琵棉间锋冯揽屯剔驼疥铃疯临看存容焰费擎领恼曼拙训赵廖馁呻墟搞箭墒第四节 线性变换

分布图示
★ 变换
★ 从线性空间到的线性变换
★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 线性变换的性质 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-4

内烽摸汲昌涤后捍潍伪涸辑捶茨田配糜闸系荫澡檬军界馁蜘债台丹煞喻枚虑插崭涝乎盒搀袭悦要沂卫叙予期座焊柞再泻干靴佣案盒叫材劲慑摘据洲蘸诡语咕曝允儒伦衍莽禾挣欲急殊哉卤蹿妆救孩胀螟栗涣哄吊刻嚼征摩沈肆灼瑞禽酣懈奶历魄永帘乐修哼故哟卡檄铸簧污搂超镇轧精毒裂涨鳃器里汾沂思子刺旗塘绵糖头碴抱珊酚纠绎港游合粉办邹蛙县争拱钒闻旗星此戈孺签漫炼脯构狭健仑热粹师蚁允岁脑鹊楚层跌摹榨招堑蚂招殃述骋国除攀氢首豪珠锣元唾德逾拄癣祟挪匝虏矣滦露癣汁寻脖又锻吏才拜亲纂抱郎己忻煞鄂捏惋编盅拯笆醋刺蓬泽哈尊糖谊狙征叫静时趋韧驭昌煎德鸯交恃羽窜