立体几何综合测试卷.doc

立体几何
一、选择、填空题
1、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表
面积为
A。 87
B．16
C．32
D．64
2、如图，在正四棱柱中，,点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为( ）
A．1 B．2 C． D．
第2题　　　 第3题
3、若某几何体的三视图（单位：cm）如右上图所示，则此几何体的表面积是（ ）cm2
A。12π B。24π C。15π+12 D。12π+12
4、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为
（A) (B)2 （C)3 （D）4
5、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P—ABCD的高为
A.2 B.3 C。 D.
6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A)8－2
（B) 8－
(C) 8－
（D)8－
7、已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为　　　　．
8、若m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是
A．若，则 B．，则
C．若,则 D．，则
9、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
10、若、、是互不相同的空间三条直线,是不重合的两个平面，下列结论正确的是( ）
A、α∥β，α，nβl∥n；        B、⊥α,∥βα⊥β
C、⊥n，m⊥n∥m；              　D、α⊥β，α⊥β;
11、甲几何体(上）与乙几何体（下)的组合体的三视图如下图所示,甲、乙几何体的体积分别为、,则等于( ）
A． B． C． D．
12、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示.则该几何体的表面积等于
A．
B．
C．
D．
13、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ）
A。若，则 B. 若,则
C。 若，则 D. 若,则
14、右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为　▲　．
第14题　　　　　第15题
15、)已知一个几何体的三视图如右上图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图均为正方形，那么,该几何体的外接球的表面积为　　　　
二、解答题
1、
已知四棱台ABCD- A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且
AA1⊥底面ABCD,点P为DD1的中点．
(I)求证:AB1⊥面PBC；
(Ⅱ）在BC边上找一点Q,使PQ∥面A1ABB1,并求三
棱锥Q-PBB1的体积。
2、
C
M
F
E
D
B
A
如图，空间几何体中,四边形是梯形，四边形是矩形，且平面⊥平面，，，是线段上的动点．
（1）试确定点的位置，使//平面,并说明理由；
(2）在(1)的条件下，平面将几何体分成两部分，求空间几何体与空间几何体的体积之比
3、如图1,在直角梯形EFBC中，FB∥⊥EC，BF⊥_EF，且EF=FB=EC =1,A为线段
FB的中点，AD⊥EC于D,沿边AD将四边形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD
垂直，M为ED的中点，如图2．
（I）求证：BC⊥平面EDB；
（Ⅱ) 求点M到平面BEF的距离．
4、 如图，一个侧棱长为，的直三棱柱ABC — A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度）．
若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1,A1Cl的中点D,E，F，G．
（I）求证：平面DEFG∥平面ABB1A；
(II）当底面ABC水平放置时，求液面的高．
5、在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AC=,ACBC.
（I）求点B到平面PAC的距离;
（Ⅱ）求异面直线PA与BC 所成角的余弦值.
6、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD ,PD∥MA，E，
G,F 分别为MB，PB，PC 的中点,且AD = PD = 2MA．
(Ⅰ)求证：平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ）求三棱锥P -MAB与四棱锥P - ABCD的体积之比．
7、在四棱锥P－ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC = 90°，AB = AD = PD = 2，CD = 4．
（1）求证:BC⊥平面PBD；
(2）设E是侧棱PC上一点,且CE = 2PE，求四面体P－BDE的体积．
8、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证： （Ⅰ）平面PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．
9、在如图所示的四棱锥中,底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝2，点E为PC的中点，连接DE，BD，BE。
（1）证明:PA∥平面DBE；
（2）若直线BD与平面PBC所成角的为30°，求点E到平面PDB的距离。
10、如图,在三棱锥中，△是正三角形，在△中,,且、分别为、的中点．
（1)求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
11、如图，已知长方形中，,，为的中点．将沿折起，使得平面平面．
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ)若点是线段上的一动点，问点在何位置时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1:3？
12、如图，在四棱锥中,底面ABCD是正方形，侧棱，E是PC的中点。
（1）证明：；
（2）证明:。
参考答案：
1、C　　2、B　　3、D　　4、B　　5、C
6、D　　7、25　　8、D　　9、　　10、D
11、B　　12、A　　13、D　　14、　　15、12π
1、.解（1）∵⊥面ABCD，BC面ABCD ∴⊥BC
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC ∴BC⊥面
∵面 ∴⊥BC ………………2分
取中点M连结BM,PM
∴PM∥AD,∴PM∥BC ∴PMBC四点共面
由△ABM≌△,可证得⊥BM………………4分
∵BM∩BC=B,∴⊥面PBC……………………6分
（2)在BC边上取一点Q,使PQ//BM，则PQ//面
∵PQBM为平行四边形，∴BQ=PM=…………8分
∵PM∥平面
∴
…………12分
2、（Ⅰ)当M是线段AE的中点时,AC//平面MDF，证明如下： 1分
连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，
所以MN//AC,又MN在平面MDF内， 4分
所以AC//平面MDF 6分
（Ⅱ）将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－,
三棱柱ADE－的体积为△ADE·CD= 8分
则几何体ADE－BCF的体积 10分
又 三棱锥F－DEM的体积 11分
∴ 两几何体的体积之比为：(）= 12分
3、
4、
5、
7、(1)证:∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD与平面ABCD相交于CD
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC 2分
在△ABD中，∠A = 90°，AB = AD = 2，∴,∠ADB = 45°
在△ABD中,∠BDC = 45°，，DC = 4
∴
由BD2 + BC2 = 16 = DC2知BD⊥BC 4分
∵PD⊥BC，BD、PD相交于D，∴BC⊥平面PBD 6分
(2）解：过E作EF∥PD交DC于F,由（1)知EF⊥平面ABCD
由CE = 2PE得：,∴ 8分
10分

∴ 12分
8、解: 证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP,又∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．…………………6分
（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE…………………12分
9、（1）证明:连AC，交BD于O，连OE，则PA∥OE，
又，∴PA∥平面DBE. ………………4分
(2）解:∵侧棱底面，∴PD⊥BC．
底面是矩形,∴BC⊥DC，且PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴BC⊥DE．
PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC．
又PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC． ………………8分
故若直线BD与平面PBC所成的角即∠DBE=30°．
由已知可求出∴BC=2． ………………9分
， ……11分
解得 ………………12分
(注：本小题可直接过点作平面的垂线）
10、证明：（I）在△中,
平面，平面。。..。。。。......。.。。。。..。..4分(少一个条件扣1分）
平面 ...。。. ..。.。.。。。。。..。..。..5分
（II)连接,在正△中，为中点，，...。。。。.。。..........。。。.。7分
，,，.。。.。.。.。 .。.。。.。。.。.。..。.9分
与是平面内的两相交直线，平面,..。..。。.。.。。。。.。.。。.。。。。.10分
，故异面直线与所成角为。。。.。..。.。....。。。..。。..。..12分
（通过平移直线至点后与相交于点，连接，在△内用余弦定理求解亦可）
11、（Ⅰ） 证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2,∴BM⊥AM。 ………………2分
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM ∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM ………………6分
(Ⅱ）E为DB的中点． ………………7分
………………12分
12、解:(1）设与相交于点
则为的中点
是的中点
又平面，平面
平面
(2） 平面
又四边形为正方形
从而平面，平面平面