江西财经大学线性代数历年试卷.doc

江西财经大学
2009－2010学年第二学期期末考试试卷
试卷代码:03043 C 授课课时：48 考试用时：150分钟
课程名称：线性代数适用对象：本科
试卷命题人 何明试卷审核人盛积良
［请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效]
一、填空题(本大题共5个小题,每小题3分，共15分。）不写解答过程。
1。行列式的展开式中的系数是_________；
2。已知3阶矩阵的特征值为0，1，2，则__________;
3。 向量组的秩为______；
4.设,若3阶非零方阵满足，则;
5。设3阶可逆方阵有特征值2，则方阵有一个特征值为_________.
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代号写在答题纸相应位置处。答案错选或未选者,该题不得分。每小题3分，共15分。）
1。是阶方阵,是其伴随矩阵，则下列结论错误的是【　 　】
.若是可逆矩阵，则也是可逆矩阵;
。若不是可逆矩阵，则也不是可逆矩阵；
。若，则是可逆矩阵;
。。
2。设，若,则=【　 　】
. ； . ;
. ; . 。
3。是维向量组线性相关的【　 　】
4．设是的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表示为【　 　】
A．的一个等价向量组；
B.的一个等秩向量组;
C。；
D。。
5.是齐次线性方程组（为矩阵)的基础解系，则【　 　】
A．B．C．D．
三、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果.本题10分）。
计算行列式
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）.
求解矩阵方程
。
五、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。
已知,求及。
六、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果.本题10分）
设向量组的秩为2,求
求该向量组的秩和它的极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果.本题10分）
根据参数的取值，讨论线性方程组解的情况，并求解线性方程组
八、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）
设是矩阵的一个特征向量。
（1） 求参数的值；
（2) 求对应于的所有特征向量。
九、证明题（本大题共2小题，每小题5分,共10分）
（1） 设都是n阶矩阵，且可逆，证明与相似；
（2） 设，证明向量组线性相关。
江西财经大学
2009－2010学年第二学期期末考试试卷答案
试卷代码：03043 C 授课课时:48 考试用时：150分钟
课程名称：线性代数适用对象：本科
试卷命题人 何明试卷审核人盛积良
[请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效］
一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。）不写解答过程.
1。2； 2.21;3. 3； 4。—4；5。1/4。
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代号写在答题纸相应位置处.答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分。)
1。D 2。A 3。 A 4。C 5. B
三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）。
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果.本题10分）。
求解矩阵方程
。
解：由得---———--———————-—--—-—----———————-—-——-—-—————-—-2分
—--———-———--——-—-—-———————-—---—--—-————--———-——-———-—-————-—-—-—4分
做行初等变换———-—-—-——————--—--—————-———-———--———-————-—-——--—---——5分
————--———-———--—-—-———8分
————--———-—-—-————-—-—----——-—-——-——-—-—-——————---—--——--—-—10分
五、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）.
已知，求及。
解：-----—--—————--—-———-—-—-——--—---——--———————---—----—-———--—--————-————---——-—--——2分
=———-——-——----————-—————--——-——-—————-———---———-——----—--—-————-——-—————---—————-—--—--——--——---———5分
———-——--——--——-—-—-———-—--————————-—-——-—-———-—--—-——-———---—-—---—-————-——-—-—--————-——-——-—-———---—--—---—7分
方法二：--——-——--——--—--—--—————————————-—————--—————-—-——————————-—-———---——---——7分
=1———-——---———--—————--—-———-——-—--——--—————-——--—--——-————-——-——-——-—--—————————————--10分
六、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）
设向量组的秩为2，求
求该向量组的秩和它的极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.
解：做行初等变换 ——-——--—-—-——-———-—-—--—----—-——-——---—--——--—-——-—-———-——--————-----——----——2分
———---—-———-—-———-—--———--———————————-———-———-—————--—-—————-———-—4分
R（A)=2,说明最后两行对应成比例,得——---——-—--—-——--———-————---—-———--——-——-—-—-—————--———5分
将代入得
—---——---—-———————--——-—————-———-—--—--——--——8分
所以有极大无关组为-—-—--——-—-—-—---——————-————-—-—-——————————-——————-——---——-————-—--—————-——-—--——-—-—————-9分
且-—-————————-—-——-—-——--—---—-—-——-——-—-—————---————-—-—-—-———-———-———————--—-———————-———-10分
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分)
根据参数的取值,讨论线性方程组解的情况，并求解线性方程组
解：---—-----—-—-—-—-——————-—----————-——-—---————---——————3分
当时,有无穷多解，当时，无解。-—-——-——--———————-—-----—-——-—-—-—-———-———-——-—-————————-———————5分
当时，代入得
—-—-————--——-—-—--——8分
所以通解为
或—————--———---—-——-—-———-———10分
八、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分)
设是矩阵的一个特征值。
（2） 求参数的值；
（2） 求对应于的所有特征向量。
解：是特征值，所以有——-——————--———-———————---————--—-——--——---————-———-—--—-———2分
由于
，所以可取任意实数————-—--—--—-——————-—-—--—————-—-—————-——-—————-—--————-5分
解—--——----—————-——-—————-—————--————-—--—-—-——-—-—---—--———-—--————-——-—————-————-—————-—————-—---————6分
得基础解系——--———————-——————-———-———--—-—————-—-—-—-—-—-—---——--————--——-—--—-----———--—-—-——--—-——-———8分
所以特征向量为———--—-————-—————--———-—-———--—-———--—-——————-—------—-—-—————-—-—---—————10分
九、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分）
（1） 设都是n阶矩阵，且可逆,证明与相似；
证明:要证与相似,即要证存在可逆矩阵,使得-—————-—-——————2分
由题意知,可逆，又有————----——--—-—-—--—---—————-—-———-————---——-----—-——-——-—-—-—-4分
所以有与相似；
（2） 设，证明向量组线性相关。
方法一：观察可得，所以有线性相关。—-———--—-—-—-—--—-————-——--—-——-—5分
方法二:—-—----——--—--—————--———-———————-—-——-————-———-———-———2分
又有————--—----———--—-——————-—--—————————-———————----————-—--——---———-———-———————-——-——————-——-—-3分
根据知,——--—-—-—-—-——-—--—--———-———————————————-4分
所以有线性相关.
江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试试卷
试卷代码:03043A 授课课时：48 考试时长:110分钟
课程名称：线性代数适用对象：全校
试卷命题人 何明试卷审核人：盛积良

一、填空题(将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。每空3分，共21分）
1、设行列式，则。
2、设是三阶方阵,且，则.
3、设是三阶方阵,是三阶单位阵，且，则 _ ____.
4、已知向量，且向量正交,则__________.
5．四阶行列式=_______________。
6。 已知矩阵，则______________。
7. 三阶方阵的特征值为，则的特征值为_____________。
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代号写在答题纸的相应位置。答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分,共24分。)
1．设，均为阶方阵,且，则（　　　）
(A）或(B） 或
（C)或（D)
2.设是阶方阵,且，则（ ）
(A） 0与都不是的特征值；
（B) 0是的特征值，不是的特征值；
（C） 0与都是的特征值;
（D） 0不是的特征值，不能判断是否的特征值。
3。 已知方程组对应的齐次线性方程组为,则( )
(A） 若只有零解，则一定是唯一解;
（B） 若有非零解，则一定有无穷多解;
(C） 若有无穷解，则一定有非零解;
（D） 若有无穷解，则一定只有零解；
4、若是阶方阵,且，则中（ ）
（A） 必有一列元素全为0 （B）必有一列向量是其余列向量的线性组合 (C） 必有两列成比例 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合
5、设为可逆方阵，下列矩阵中必与矩阵有相同的特征值的是( ）
(A) （B)
（C） （D）
6、设是矩阵,是矩阵，则（ )
（A） 当时,必有行列式；
（B） 当时，必有行列式；
(C) 当时，必有行列式；
（D） 当时,必有行列式。
7、向量组线性无关的充要条件是( ）
（A） 均不为零向量；
（B) 中任意两个向量的分量不对应成比例；
（C） 中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示;
（D） 中有一部分向量线性无关。
8、设，则=（ ）
（A) (B）
（C) （D)
三、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题5分)
计算行列式的值。
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解矩阵方程
五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果,本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
六、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解非齐次线性方程组
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果,本题10分）
已知矩阵,求特征值与特征向量。
八、证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程,每小题5分，共10分）
(1)求证：任意个维向量必定线性相关。
（2)证明实对称矩阵的特征值都是实数.
江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试试卷
试卷代码:03043A 授课课时:48 考试时长：110分钟

一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。每空3分,共21分）
1、设行列式，则6。
2、设是三阶方阵，且，则1/9。
3、设是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 _ —4 ____。
4、已知向量，且向量正交，则___—5/3____.
5．四阶行列式=_______________。
6。 已知矩阵，则___5____。
7。 三阶方阵的特征值为，则的特征值为__-5,-1,_4_。
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。答案选错或未选者，该题不得分。每小题3分，共24分.）
1．设，均为阶方阵，且，则（　B )
（A）或（B） 或
（C)或（D）
2.设是阶方阵，且,则（ B ）
（A) 0与都不是的特征值；
（B） 0是的特征值，不是的特征值；
（C) 0与都是的特征值；
（D) 0不是的特征值,不能判断是否的特征值.
3。 已知方程组对应的齐次线性方程组为,则（ C ）
（A） 若只有零解，则一定是唯一解；
(B） 若有非零解，则一定有无穷多解；
（C） 若有无穷解,则一定有非零解；
(D） 若有无穷解,则一定只有零解；
4、若是阶方阵，且,则中（ B ）
（A） 必有一列元素全为0 （B)必有一列向量是其余列向量的线性组合 （C) 必有两列成比例 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合
5、设为可逆方阵，下列矩阵中必与矩阵有相同的特征值的是（ D )
(A) （B)
（C） （D)
6、设是矩阵，是矩阵，则（ B ）
（A) 当时,必有行列式;
（B) 当时，必有行列式；
（C） 当时,必有行列式；
(D） 当时，必有行列式.
7、向量组线性无关的充要条件是（ C ）
（A） 均不为零向量;
(B） 中任意两个向量的分量不对应成比例;
(C） 中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示；
（D） 中有一部分向量线性无关。
8、设，则=（ A C ）
（A） (B)
（C） （D）
三、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果,本题5分）
计算行列式的值。
四、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分)
求解矩阵方程
五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组,并用极大无关组表示其余向量
六、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解非齐次线性方程组
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分)
已知矩阵，求特征值与特征向量。
八、证明题(要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程，每小题5分，共10分)
（1)求证：任意个维向量必定线性相关。
（2)证明实对称矩阵的特征值都是实数。
江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试试卷
试卷代码:03043C 授课课时：48 考试时长：110分钟
课程名称：线性代数 适用对象：全校
试卷命题人 何明试卷审核人：盛积良

一、填空题(将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程.每空3分，共21分）
1、设都是4维列向量,且4阶行列式，则4阶行列式。
2、设是阶方阵，为其伴随矩阵，则。
3、齐次线性方程组只有零解，则满足的条件是 ____。
4、已知向量,且向量正交，则__________。
5、维单位向量组均可由向量组线性表出，则向量个数和满足关系_________。
6、设阶矩阵及阶矩阵都可逆，则___________。
7、是矩阵，，则___________.
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。答案选错或未选者，该题不得分。每小题3分，共24分。）
1．设是可逆矩阵A的一个特征值，则必有一个特征值是(　　　）
(A)（B）
(C)(D）
2.设都是线性方程组的解,则=（ ）
(A）(B)(C)(D)
3。设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的秩（ ）
（A)（B)(C）（D）
4、当=（ ）时，矩阵的秩为1
（A) 1 （B) 2 （C） 3 (D） 4
5、阶方阵与对角矩阵相似的充要条件是（ ）
（A) 矩阵有个特征值 (B） 矩阵的行列式
（C） 矩阵有个线性无关的特征向量(D) 矩阵的秩等于
6、设为阶方阵，且，则未必有( ）
(A）可逆(B)可逆(C）可逆（D）可逆
7、若是等价的阶矩阵，则矩阵一定满足（ ）
（A） 特征值相等(B）秩相等（C） 行列式相等（D) 逆矩阵相等
8、阶矩阵有个不同的特征值，是矩阵与对角矩阵相似的（ ）
（A） 充分必要条件(B)充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件
三、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题5分）
计算行列式的值。
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解矩阵方程
五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果,本题10分）
求解非齐次线性方程组
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分)
已知矩阵求矩阵的特征值与特征向量.
八、证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程，每小题5分，共10分)
（1)已知阶矩阵满足，求证可逆，并求。
（2）设为实对称矩阵，则对应于互异特征值的特征向量必定正交。
江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试答案
试卷代码：03043C 授课课时:48 考试时长：110分钟
课程名称：线性代数 适用对象:全校
试卷命题人 何明试卷审核人：盛积良

一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。每空3分，共21分）
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
二、选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分，共24分。)
1．B 2. A 3. D 4。 D 5. C 6。 A C 7。 B 8.B
三、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果,本题5分)
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果,本题10分）
求解矩阵方程
解：由于可逆，所以有
-—-—-——----——————--—----————-—--4分
计算得--————8分
所以得 ——-———10分
五、计算题(要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
—--——4分
——-———8分
最大无关组为.且有 ———-———10分
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分)
求解非齐次线性方程组
解： —-——--—-——-3分
—-—-----—---7分
通解为 ——-————-—--10分
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
已知矩阵求矩阵的特征值与特征向量.
解: —————-——————5分
所以矩阵的特征值为 --——-—-—---—-6分
对应于的特征向量是 ——--—-——-———-7分
对应于的特征向量是 ————————-—--—8分
对应于的特征向量是 ———---——-——-—9分
对应于的特征向量是 —————-—--——--10分
八、证明题(要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程,每小题5分,共10分）
（1）已知阶矩阵满足，求证可逆，并求。
证明： —-—-————-——-—3分
所以可逆,且 ————--——-————5分
（2)设为实对称矩阵,则对应于互异特征值的特征向量必定正交。
证明：设不同特征值为，对应特征向量为
-—---—--———-—-2分
所以有 -—————--——-———4分
即，正交 —-———-—-----—--—5分