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根轨迹典型习题

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1、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
解：
三个开环极点：,,
① 实轴上的根轨迹：,
② 渐近线：
③ 分离点：

解之得：，(舍去)。

④ 与虚轴的交点：
特征方程为

令
解得
与虚轴的交点（0，）。
根轨迹如图所示。

2、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

解：
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：,
② 分离点：
解之得：。
根轨迹如图所示。

3、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

解：
① 实轴上的根轨迹：,
② 渐近线：
③ 分离点：
用试探法可得 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

解：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2]
②分离点：
求解得：
根轨迹如图所示。
5、系统的开环传递函数为

试证明在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。

解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件

，如图所示。
对于，由相角条件

满足相角条件，因此在根轨迹上。
将代入幅值条件：

解出 ： ，
6、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
解：
① 开环零点开环极点。
② 实轴上的根轨迹区间为
③ 分离点

为分离点，不在根轨迹上，舍去。
分离点K值
④ 出射角

⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，解图所示。
7、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
解：

① 四个极点。
② 渐近线

③ 实轴上的根轨迹区间为。
④ 分离点

得，均为分离点，。
分离角正好与渐近线重合。
⑤ 出射角

⑥ 根轨迹与虚轴的交点
⑦ 系统根轨迹如题解图所示。
8、已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：试绘制由变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的值范围。
解：系统有两对重极点 。
① 渐近线

② 实轴上的根轨迹为两点 ，也为分离点。分离角均为。

题2-4-3解图
③ 根轨迹与虚轴的交点坐标
系统特征方程

即
令代入特征方程，得

令上式实部虚部分别等于0，则有

④ 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知，当时，闭环系统稳定。

9、已知单位负反馈系统的开环传递函数为

试绘制由变化的闭环根轨迹图

。
解：，根据一般根轨迹绘制法则得
① 渐近线与实轴的交点：
渐近线倾角：。
② 实轴上的根轨迹在区间。
③ 分离点：。
④ 根轨迹与虚轴的交点坐标：。
⑤ 该系统根轨迹如题解图所示。
10、已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
解：根轨迹方程为

由变化为一般根轨迹。
① 开环极点。
② 渐近线与实轴的交点：，
渐近线倾角：。
③ 实轴上的根轨迹在区间。题2-4-8解图
④ 分离点

⑤ 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题图所示。

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