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第四章：定量资料的参数估计与假设检验基础
1抽样与抽样误差
抽样方法本身所引起的误差。当由总体中随机地抽取样本时，哪个样本被抽到是随机的，由所抽到的样本得到的样本指标x与总体指标μ之间偏差，称为实际抽样误差。当总体相当大时，可能被抽取的样本非常多，不可能列出所有的实际抽样误差，而用平均抽样误差来表征各样本实际抽样误差的平均水平。
σ x=σ/
S x=S/

2 t分布
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度v）大小有关。与标准正态分布曲线相比，自由度v越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
t = X-u/Sx=X-u/(S/),V=N-1

正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称u分布。
根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定n，抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N（μ，σ）。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)
由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从χ2（n）分布，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z～t(n)。
特征：
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；
2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图.

t(n)分布与标准正态N(0,1)的密度函数
对应于每一个自由度ν，就有一条t分布曲线，每条曲线都有其曲线下统计量t的分布规律，计算较复杂。
学生的t分布（或也t分布） ，在概率统计中，在置信区间估计、显著性检验等问题的计算中发挥重要作用。
t分布情况出现时（如在几乎所有实际的统计工作）的总体标准偏差是未知的，并要从数据估算。教科书问题的处理标准偏差，因为如果它被称为是两类：（ 1 ）那些在该样本规模是如此之大的一个可处理的数据为基础估计的差异，就好像它是一定的（ 2 ）这些说明数学推理，在其中的问题，估计标准偏差是暂时忽略的，因为这不是一点，这是作者或导师当时的解释。
3.均数的参数估计
可信区间
按一定的概率或可信度 (1-α)用一个区间来估计总体参数所在的范围，该范围通常称为参数的可信区间或者置信区间，预先给定的概率(1-α)称为可信度或者置信度,常取95%或99%。
1. 点估计 用样本统计量直接作为总体参数的估计值。其方法简单，易于理解，但为考虑抽样误差的大小。
2. 区间估计 既按照预先给定的概率（1-a），确定的包含总体参数的可能范围。该范围被称为总体参数的可信区间或置信区间。
假设检验基础
假设检验的基本思想是小概率反证法思想。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小，则认为假设不成立，若可能性大，则还不能认为不假设成立。[2] 
假设检验
假设是否正确，要用从总体中抽出的样本进行检验，与此有关的理论和方法，构成假设检验的内容。设A是关于总体分布的一项命题，所有使命题A成立的总体分布构成一个集合h0，称为原假设(常简称假设)。使命题A不成立的所有总体分布构成另一个集合h1，称为备择假设。如果h0可以通过有限个实参数来描述，则称为参数假设，否则称为非参数假设(见非参数结果)。如果h0(或h1)只包含一个分布，则称原假设(或备择假设)为简单假设，否则为复合假设。对一个假设h0进行检验，就是要制定一个规则，使得有了样本以后，根据这规则可以决定是接受它（承认命题A正确），还是拒绝它（否认命题A正确）。这样，所有可能的样本所组成的空间（称样本空间）被划分为两部分HA和HR(HA的补集)，当样本x∈HA时，接受假设h0；当x∈HR时，拒绝h0。集合HR常称为检验的拒绝域，HA称为接受域。因此选定一个检验法，也就是选定一个拒绝域，故常把检验法本身与拒绝域HR
基本步骤

1、提出检验假设又称无效假设，符号是H0；备择假设的符号是H1。
H0：样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起的；
H1：样本与总体或样本与样本间存在本质差异；
预先设定的检验水准为0.05；当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记作α，通常取α=0.05或α=0.01。
2、选定统计方法，由样本观察值按相应的公式计算出统计量的大小，如X2值、t值等。根据资料的类型和特点，可分别选用Z检验，T检验，
3、根据统计量的大小及其分布确定检验假设成立的可能性P的大小并判断结果。若P>α，结论为按α所取水准不显著，不拒绝H0，即认为差别很可能是由于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果P≤α，结论为按所取α水准显著，拒绝H0，接受H1，则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致，很可能是实验因素不同造成的，故在统计上成立。P值的大小一般可通过查阅相应的界值表得到。
t检验 　若总体服从正态分布N(μ，σ)，但σ未知，记，，则t=遵从自由度为n-1的t分布，可对μ有以下的水平为α的检验，其中tα为自由度为n-1的t分布的上α分位数。这些检验称为t检验。

第五章：定量资料的t检验

前言：T检验 主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
 t检验是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。
一、t检验分为单总体检验和双总体检验。
1.单总体t检验是检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量小于30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。
单总体t检验统计量为：

t:为样本平均数与总体平均数的离差统计量
：为样本平均数
μ：为总体平均数
σx:为样本标准差
n：为样本容量
2.双总体t检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显著。双总体t检验又分为两种情况，一是独立样本t检验，一是配对样本t检验。
独立样本t检验统计量为：

S1 和 S2 为两、样本方差；n1 和n2 为两样本容量。（上面的公式是1/n1 + 1/n2 不是减！）
1/n1 -1/n2的话无法计算相同的样本空间
配对样本t检验统计量为：

二、适用条件
(1) 已知一个总体均数；
(2) 可得到一个样本均数及该样本标准差；
(3) 样本来自正态或近似正态总体。
三、t检验步骤
以单总体t检验为例说明:
问题：难产儿出生体重n=35，=3.42，S =0.40，一般婴儿出生体重μ0=3.30（大规模调查获得），问相同否？
解：1.建立假设、确定检验水准α
H0：μ = μ0 （零假设，null hypothesis）
H1：μ ≠ μ0（备择假设, alternative hypothesis，）
双侧检验，检验水准:α=0.05
2.计算检验统计量

3.查相应界值表，确定P值，下结论
查附表1，t0.05 / 2.34 = 2.032,t < t0.05 / 2.34,P >0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0，两者的差别无统计学意义

当总体呈正态分布，如果总体标准差未知，而且样本容量 <30，那么这时一切可能的样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。
检验是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。 检验分为单总体t检验和双总体t检验。
四、t检验注意事项
1、选用的检验方法必须符合其适用条件(注意：t检验的前提是资料服从正态分布) 。理论上，即使样本量很小时，也可以进行t检验。（如样本量为10，一些学者声称甚至更小的样本也行），只要每组中变量呈正态分布，两组方差不会明显不同。如上所述，可以通过观察数据的分布或进行正态性检验估计数据的正态假设。方差齐性的假设可进行F检验，或进行更有效的Levene's检验。如果不满足这些条件，只好使用非参数检验代替t检验进行两组间均值的比较。
2、区分单侧检验和双侧检验。单侧检验的界值小于双侧检验的界值，因此更容易拒绝，犯第Ⅰ错误的可能性大。t检验中的p值是接受两均值存在差异这个假设可能犯错的概率。在统计学上上，当两组观察对象总体中的确不存在差别时，这个概率与我们拒绝了该假设有关。一些学者认为如果差异具有特定的方向性，我们只要考虑单侧概率分布，将所得到t-检验的P值分为两半。另一些学者则认为无论何种情况下都要报告标准的双侧t检验概率。
3、假设检验的结论不能绝对化。当一个统计量的值落在临界域内，这个统计量是统计上显著的，这时拒绝虚拟假设。当一个统计量的值落在接受域中，这个检验是统计上不显著的，这是不拒绝虚拟假设H0。因为，其不显著结果的原因有可能是样本数量不够拒绝H0 ，有可能犯第Ⅰ类错误。
4、正确理解P值与差别有无统计学意义。P越小，不是说明实际差别越大，而是说越有理由拒绝H0 ，越有理由说明两者有差异，差别有无统计学意义和有无专业上的实际意义并不完全相同。
5、假设检验和可信区间的关系结论具有一致性差异：提供的信息不同区间估计给出总体均值可能取值范围，但不给出确切的概率值，假设检验可以给出H0成立与否的概率。
6、涉及多组间比较时，慎用t检验。
科研实践中，经常需要进行两组以上比较，或含有多个自变量并控制各个自变量单独效应后的各组间的比较，（如性别、药物类型与剂量），此时，需要用方差分析进行数据分析，方差分析被认为是T检验的推广。在较为复杂的设计时，方差分析具有许多t-检验所不具备的优点。（进行多次的T检验进行比较设计中不同格子均值时）。

第六章 定量资料的方差分析
6.1 方差分析的基本思想和应用条件
6.1.1方差分析的基本思想
1. 总变异
各样本数值与总均数不同。总变异反映所有观察值的变异，量化值所有数据的均方MS总 来表示。
SS总=Σ（X-Ẋ）2 MS总=SS总/v总 v总=N-1
2. 组间变异
各组别间的均数不相同。包括了变量影响和随机误差。
SS组间=Σni (Ẋi -Ẋ)2 MS组间=SS组间/v组间 v组间=k-1
3.组内变异
组内的个数值不同。反映随机误差，又称误差变异。
SS组内=SS总-SS组间
MS组内=SS组内/v组内
V组内=N-k
F=MS组间/MS组内
6.1.2方差分析的应用条件
1、各样本相互独立切随机，服从正态分布。
2、总体方差相等，即方差齐性。
6.2完全随机设计资料的方差分析
6.2.1离均差平方和与自由度分解
（见6.1.1公式）
6.2.2完全随机设计资料方差分析的基本步骤
（1）建立假设检验，确定检验水准。
（2）计算检验统计量。
变异来源
SS
v
MS
F
P
总变异

——

组间变异

组内变异

（3）确定P值，做出推断结论。
6.3随机区组设计资料的方差分析
6.3.1离均差平方和与自由度的分解
SS总=SS处理+SS区组+SS误差
v总=v处理+v区组+v误差
变异来源
SS
v
MS
F
总变异
Σ（X-Ẋ）2
N-1
——
——
处理组
Σni (Ẋi -Ẋ)2
k-1
SS处理/v处理
MS处理/MS误差
区组
Σnj (Ẋj -Ẋ)2
b-1
SS区组/v区组
MS区组/MS误差
误差
SS总-SS处理-SS区组
v总-v处理-v区组
SS误差/v误差
——
6.3.2随机区组设计资料方差分析的基本步骤
同6.2.2表格见上
6.4多个样本均数的两两比较
6.4.1SNK法
又称q检验
q=(ẊA-ẊB)/(S[ẊA-ẊB])= (ẊA-ẊB)/√(MSe/2[1/nA+1/nB])
分子为任意两个对比组A、B的样本均数之差，分母是差值的标准误，n是样本的例数，MSe为前述方差分析中算的MS组内或MS误差。
6.4.2Dunnett法
又称Dunnett-t检验
TD=(ẊT-ẊC)/(S[ẊT-ẊC])= (ẊT-ẊC)/√(MSe/2[1/nT+1/nC])
T代表多个处理组，C为对照组。
t检验练习题
一、单项选择题
1. 两样本均数比较,检验结果说明
A. 两总体均数的差别较小 B. 两总体均数的差别较大
C. 支持两总体无差别的结论 D. 不支持两总体有差别的结论
E. 可以确认两总体无差别
2. 由两样本均数的差别推断两总体均数的差别, 其差别有统计学意义是指
A. 两样本均数的差别具有实际意义
B. 两总体均数的差别具有实际意义
C. 两样本和两总体均数的差别都具有实际意义
D. 有理由认为两样本均数有差别
E. 有理由认为两总体均数有差别
3. 两样本均数比较,差别具有统计学意义时,P值越小说明
A. 两样本均数差别越大 B. 两总体均数差别越大
C. 越有理由认为两样本均数不同 D. 越有理由认为两总体均数不同
E. 越有理由认为两样本均数相同
4. 减少假设检验的Ⅱ类误差，应该使用的方法是
A. 减少Ⅰ类错误 B. 减少测量的系统误差
C. 减少测量的随机误差 D. 提高检验界值
E. 增加样本含量
5．两样本均数比较的t检验和u检验的主要差别是
A. t检验只能用于小样本资料 B. u检验要求方差已知或大样本资料
C. t检验要求数据方差相同 D. t检验的检验效能更高
E. u检验能用于两大样本均数比较
答案：D E D E B
二、计算与分析
1. 已知正常成年男子血红蛋白均值为140g/L，今随机调查某厂成年男子60人，测其血红蛋白均值为125g/L，标准差15g/L。问该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子是否不同？
[参考答案]
因样本含量n>50（n＝60），故采用样本均数与总体均数比较的u检验。
（1）建立检验假设, 确定检验水平
，该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子相同
，该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子不同
a=0.05
（2） 计算检验统计量
==7.75
（3） 确定P值，做出推断结论
7.75>1.96,故P<0.05,按α=0.05水准，拒绝,接受,可以认为该厂成年男子血红蛋白均值与一般成年男子不同，该厂成年男子血红蛋白均值低于一般成年男子。
2. 某研究者为比较耳垂血和手指血的白细胞数，调查12名成年人，同时采取耳垂血和手指血见下表，试比较两者的白细胞数有无不同。
表 成人耳垂血和手指血白细胞数(10g/L)
编号
耳垂血
手指血
1
9.7
6.7
2
6.2
5.4
3
7.0
5.7
4
5.3
5.0
5
8.1
7.5
6
9.9
8.3
7
4.7
4.6
8
5.8
4.2
9
7.8
7.5
10
8.6
7.0
11
6.1
5.3
12
9.9
10.3

[参考答案]
本题为配对设计资料，采用配对检验进行分析
（1）建立检验假设, 确定检验水平
H0：md=0，成人耳垂血和手指血白细胞数差异为零
H1：md¹0，成人耳垂血和手指血白细胞数差异不为零
a=0.05
（2） 计算检验统计量
20.36

=
＝3.672>，P < 0.05，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可以认为两者的白细胞数不同。
3. 分别测得15名健康人和13名Ⅲ度肺气肿病人痰中抗胰蛋白酶含量(g/L)如下表，问健康人与Ⅲ度肺气肿病人抗胰蛋白酶含量是否不同？
表 健康人与Ⅲ度肺气肿患者α1抗胰蛋白酶含量(g/L)
健康人
Ⅲ度肺气肿患者
2.7
3.6
2.2
3.4
4.1
3.7
4.3
5.4
2.6
3.6
1.9
6.8
1.7
4.7
0.6
2.9
1.9
4.8
1.3
5.6
1.5
4.1
1.7
3.3
1.3
4.3
1.3

1.9

[参考答案]
由题意得，
本题是两个小样本均数比较，可用成组设计t检验，首先检验两总体方差是否相等。
H0:s12＝s22，即两总体方差相等
H1:s12≠s22，即两总体方差不等
a＝0.05
F ===1.19
=2.53>1.19，F<，故P>0.05，按α＝0.05水准，不拒绝H0，差别无统计学意义。故认为健康人与Ⅲ度肺气肿病人α1抗胰蛋白酶含量总体方差相等，可直接用两独立样本均数比较的t检验。
（1）建立检验假设, 确定检验水平
，健康人与Ⅲ度肺气肿病人抗胰蛋白酶含量相同
，健康人与Ⅲ度肺气肿病人抗胰蛋白酶含量不同
a=0.05
（2） 计算检验统计量
=1.12
=5.63
（3） 确定P值，做出推断结论
t＝5.63> ，P < 0.001，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为健康人与Ⅲ度肺气肿病人α1抗胰蛋白酶含量不同。
4.某地对241例正常成年男性面部上颌间隙进行了测定，得其结果如下表，问不同身高正常男性其上颌间隙是否不同？
表 某地241名正常男性上颌间隙（cm）
身高 (cm)
例数
均数
标准差
161～
116
0.2189
0.2351
172～
125
0.2280
0.2561

[参考答案]
本题属于大样本均数比较，采用两独立样本均数比较的u检验。
由上表可知，
=116 ， =0.2189 , =0.2351
=125 ， =0.2280 , =0.2561
（1）建立检验假设, 确定检验水平
，不同身高正常男性其上颌间隙均值相同
，不同身高正常男性其上颌间隙均值不同
a=0.05
（2） 计算检验统计量
=0.91
（3） 确定P值，做出推断结论
u＝0.91<1.96,故P>0.05,按α=0.05水准，不拒绝H0, 差别无统计学意义，尚不能认为不同身高正常男性其上颌间隙不同。
5.将钩端螺旋体病人的血清分别用标准株和水生株作凝溶试验，测得稀释倍数如下表，问两组的平均效价有无差别？
表 钩端螺旋体病患者凝溶试验的稀释倍数
标准株
100
200
400
400
400
400
800
1600
1600
1600
3200
3200
3200
水生株
100
100
100
200
200
200
200
400
400
800
1600

[参考答案]
本题采用两独立样本几何均数比较的t检验。
t＝2.689>t0.05/2,22，P<0.05，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为两组的平均效价有差别。
6.为比较男、女大学生的血清谷胱甘肽过氧化物酶(GSH-Px)的活力是否相同，某医生对某大学18～22岁大学生随机抽查男生48名，女生46名，测定其血清谷胱甘肽过氧化酶含量（活力单位），男、女性的均数分别为96.53和93.73，男、女性标准差分别为7.66和14.97。问男女性的GSH-Px是否相同？
[参考答案]
由题意得 =48， 96.53， =7.66
=46， =93.73， =14.97
本题是两个小样本均数比较，可用成组设计t检验或t’检验，首先检验两总体方差是否相等。
H0:s12＝s22，即两总体方差相等
H1:s12≠s22，即两总体方差不等
a＝0.05
F ===3.82
F =3.82>，故P<0.05，差别有统计学意义，按a＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，故认为男、女大学生的血清谷胱甘肽过氧化物酶的活力总体方差不等，不能直接用两独立样本均数比较的t检验，而应用两独立样本均数比较的t’检验。
=1.53， t’0.05/2＝2.009，t’<t’0.05/2，P>0.05，按α=0.05水准，不拒绝H0, 差别无统计学意义，尚不能认为男性与女性的GSH-Px有差别。

分工：
第四章的资料：段磊
第五章的资料：张天翼
第六章的资料：陈菲
t检验练习题：杨吉程
整理资料与查缺补漏：董永涛

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