球棒控制系统设计.doc

本科生课程设计（报告）

题 目:
球棒系统的建模及反馈控制设计 机械手终端执行器微机控制

姓 名:
栾蕾萍 李蕾

学 院:
工学院

专 业:
自动化

班 级:
自动化112

学 号:
32211216 32211210

指导教师:
李玉民 李永博 刘璎瑛

20 14 年 5 月 25 日
南京农业大学教务处制
球棒系统的建模及反馈控制设计
自动化专业学生 栾蕾萍 李蕾
指导教师 李玉民 李永博 刘璎瑛
摘要：球棒系统是大学控制实验室里常见的实验设备，通常用来检查控制策略的效果，是控制理论研究中较为抱负的实验手段。以典型多变量非线性系统———球棒系统为研究对象,建立其数学模型,并用现代控制理论中的状态反馈的方法设计该非线性系统的控制器。通过研究将系统在特殊情况下的状态反馈控制增益，设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，并且给出状态反馈增益和观测器增益。同时，运用数学工具Matlab仿真此过程,结果与表白状态反馈方法的有效性。

关键词：球棒系统；状态反馈；线性系统；数学模型

绪论 球棒系统是一个典型的多变量的非线性系统,是非线性控制理论的一个典型实验室课题，本文于现代控制理论基础上，运用数学工具Matlab仿真此过程,结果与表白状态反馈方法的有效性。
1 背景及问题
1.1结构示意图
由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如下图所示。连杆在驱动力矩作用下绕轴心点做旋转运动。连杆的转角和刚性球在连杆上的位置分别用表达, 设刚性球的半径为。当小球转动时, 球的移动和棒的转动构成复合运动。

图一 设计对象结构示意图

1.2 控制系统模型及参数
刚性球与机械臂的动态方程由下式描述：

选取刚性球的位移和其速度, 以及机械臂的转角及其角速度作为状态变量，令
，可得系统的状态空间表达式：

设球棒系统各参数如下：
。

2.问题解决
2．1 问题一
将系统在平衡点x =0处线性化,求线性系统模型；
先求平衡点；令x=0，解得： 由题可知平衡点为x=0处，故即。

将球棒系统各参数带入得：

由于，根据稳定性判据，可知该开环系统是不稳定的。

2．2 问题二
运用状态反馈，将线性系统极点配置于，求出状态反馈控制增益，并画出小球初始状态为横杆角度为和初始状态, 横杆角度为时的仿真图像()。
（1）.判断系统的能控性
，

则系统达成满秩，根据能控性判据，该系统完全能控。

（2）盼望的闭环特性多项式为：

（3）.设，则状态反馈后系统的状态空间表达式为：

令反馈后系统的闭环特性多项式与盼望的闭环特性多项式系数相应相等解得 ，即所求的状态反馈增益。
则状态反馈后系统的状态空间表达式为：

（a） 用matlab实现小球初始状态为横杆角度为的仿真图像()如图2
Matlab程序:
>> A=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];
>> B=[0;0;0;50];
>> C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
>> D=[0];
>> P=[-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j];
>> K=acker(A,B,P)
>> A1=A-B*K
>> u=0;
>> G=ss(A1,B,C,D);
>> x0=[0.3 0 pi/6 0];
>> [y,t,x]=initial(G,x0);
>> plot(t,x)

图2 仿真图像

（b）用matlab实现小球初始状态为r=-0.3横杆角度为的仿真图像()如图3。Matlab程序:
>> A=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];
>> B=[0;0;0;50];
>> C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
>> D=[0];
>> P=[-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j];
>> K=acker(A,B,P)
>> A1=A-B*K
>> u=0;
>> G=ss(A1,B,C,D);
>> x0=[-0.3 0 -pi/6 0];
>> [y,t,x]=initial(G,x0);
>> plot(t,x)

图3 仿真图像

图4
2.3．问题三
设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测器增益，并画出小球初始状态为，横杆角度为和初始状态，横杆角度为时的仿真图像，以及观测器输出与系统状态差值图像。
令系统性能指标：
则：
由 可知
令此外两个极点为
由于，所以满足主导极点配置的规定。
运用 Matlab 编程，求得：
状态方程为：

状态反馈原理图如下：

图5 状态反馈原理图
其simulink模拟结构图如下：

图6 模拟结构图
小球初始状态为，横杆角度为时的仿真图
：

图7 仿真图
小球初始状态为初始状态，横杆角度为时的仿真图像：将x0=[0.3,0,30°,0]改为x0=[-0.3,0,-30°,0]，其余不变。

图8 仿真图

通过将图8和第二问的调整前的两个仿真图对比，可以发现系统的性能得到了很大的改善，超调量和调整时间大大减少了，和我们预设的性能值相吻合。

2.4 观测器配置
由于可知系统能观，可进行全维观测器配置。

倘若设法使(A-EC)的所有特性值都具有负实部，则有即 这意味着，若（A-EC）的特性值能任意选择，则误差的变化过程就能被控制。若(A-EC)的所有特性值都具有小于的负实部，则的所有分量将比还要快的速度趋近于0.
故我们可以通过对(A-EC)的特性值的负实部进行控制从而达成控制趋向的速度的目的。假定t=1s时，。通过对进行绘图，我们发现 当t=1s时，。图示如下：

图9
故我们取特性值实部在-5左右。令。
运用matlab编程可求：

解得：
可知带状态反馈的全维状态观测器的状态方程为：

带状态反馈的全维状态观测器原理图如下：

图10 全维状态原理图
带状态反馈的全维状态观测器simlink模拟结构图如下：

图11 全维状态simlink原理图
由观测器的作用，故取观测器初始状态均为零。
小球初始状态为横杆角度为仿真图像：
Simlink仿真图：
和，和的值图如下：

图12 仿真图

图13 差值图
小球初始状态为横杆角度为仿真图像：
Simlink仿真图：
和，和的值图如下：

图14

图15 差值图

3 感想及结论
通过这次实习，我们对现代控制理论有了更进一步的了解。由分析知，球棒系统是稳定的，最后稳定期球棒的重心重合，各状态均为零。通过对于实验中给出的三个问题的解决，在我们重新配置极点后系统的动态性能指标得到改善，观测器输出与系统状态差值最后趋近于零，全维状态观测器可以很好的反映原系统的状态，实现了预期功能。实际的模型控制中,会有一些不拟定因素干扰,控制起来有些困难。
附录 simulink文献（文献夹32211216 32211210）