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水准网Baarda粗差探测方法分析

摘要：水准网是工程实践中构建高程控制网常用形式，由于人为或其他因素，造成水准网高差观测值中含有粗差，若平差过程中没有剔除粗差，将严重影响水准点成果的精度。为此，采用Baarda粗差探测方法对水准网观测数据进行粗差探测与剔除，平差计算得到高精度的可靠成果。同时，针对Baarda粗差探测方法的局限性，提出采用独立闭合环的闭合差作为粗差检验预处理，增强了该方法的适用性。
关键词：水准网；粗差探测；高差观测值；Baarda；多余观测值
0 引 言
目前，一般精度要求高的高程控制网采用水准网的形式，它比附合水准路线或闭合水准路线形式具有较高的精度和可靠性。因为，水准网要比闭合或附合水准路线拥有更多的高差多余观测值，经过最小二乘平差计算后得到精度较高和可靠性较强的高程成果，但这一切都以高差观测值正确为前提。
最小二乘平差对观测误差仅有均摊作用，一旦观测值中存在粗差，平差结果的可靠性和精度会大大降低。当观测值中存在少量粗差时，可采用粗差探测法搜索观测值中的粗差，并将粗差剔除，用“纯净”的观测值进行最小二乘平差，获得正确可靠的平差成果。水准网要比单一水准路线拥有更多的高差观测值，因而存在粗差的可能性也要比其他形式要大，一旦含有粗差的观测值没有被发现，就会影响到整个网络中水准点的成果精度。考虑到目前水准网粗差探测研究领域有待发展的情况，作者就此展开了相关的研究分析。
1 Baarda粗差探测原理
粗差探测的方法很多，包括：假设检验、抗差估计、拟准检定和抗差最小二乘估计等 ，这几种方法各有优缺点，在不同条件下具有不同的适用性。本文介绍的Baarda粗差探测法 其实是假设检验的一种，它诞生于1968年，荷兰巴尔达（W.Baarda）教授利用数理统计方法建立来的测量粗差“数据探测”和可靠性理论。利用该方法进行粗差探测，其具体实现过程如下：
1.1 粗差探测统计量
数据探测法将标准化残差作为检验粗差的统计量，标准化残差是观测值的最小二乘残差与残差的中误差之比，即
(1)
式中： 是最小二乘残差； 是残差的中误差。当观测值没有粗差时， 服从标准正态分布，设 是双尾概率为α的标准正态分布的分位数，当
(2)
时，认为观测值 存在粗差，须将 删除重新平差。式中α称为显著水平。按测量上的习惯叫法，我们把上式称为标准化残差的限差公式。
1.2 计算
设 对应的观测值 是 、 两点之间的观测高差，可得 的权倒数：
(3)
式 中： ， , 是法方程系数矩阵的逆阵中的元素。中误差 为 (4)
其中， 是给定的单位权中误差，从数据文件中读取。
1.3 粗差探索
由于最小二乘残差具有牵连效应，某一个观测值存在粗差时，可能引起多个观测值的标准化残差都超出限差，若机械地按式（2）将超限的观测值全部删除，就可能将没有粗差的观测值剔除，为防止误删观测值，可能够逐次逐个搜索法进行粗差搜索。搜索步骤如下：
（1）最小二乘平差。
（2）计算观测值的标准化残差，并从中挑出绝对值最大的标准化残差。
（3）绝对值最大的标准化残差进行检验，若小于 ，则认为观测值不再有粗差，结束搜索，转到第（4）步。反之，将绝对值最大的标准化残差对应的观测值从全部观测值中剔除，转第（1）步。
（4）输出提出粗差之后的平差成果。由于被剔除的观测值未参加平差，平差结果即消除了粗差的影响，而被剔除的观测值其残差就是粗差的估值。
根据上述粗差探测步骤，搜索过程中要频繁地剔除观测值，这意味着观测值的总数以及与观测值有关的数组都要发生改变，这样不方便编程，也不便于进行粗差估值的计算。平差时若将某个观测值的权取值为0，就相当于剔除了该观测值，所以当需要剔除某个观测值时，就将该观测值的权直接赋值为0。
为 了实现上述过程在实际数据计算处理中的应用，必须要编写相关程序软件。在这里，作者以C语言作为编程语言，进行计算应用程序的设计和开发，研制了水准网粗差探测平差软件 ，实现了水准网观测数据的粗差剔除及平差处理。
2 水准网粗差探测实验与分析
为了验证水准网Baarda粗差探测法的有效性，作者这里采用一组水准网观测数据对其进行测试，并对实验结果进行相关分析。

图1 水准网观测示意图
Fig.1 Schematic diagram of levelling network
水准网（图1）中，共有7个高程点、10段观测高差，观测值的每千米观测中误差为±0.001m,已知A点高程为0.000m、B点高程为11.414m,高差观测值如表1所示：
表1 观测高差与路线长度
Tab.1 Observation of height difference and distance of line
编号
起点
终点
高差/m
距离/km

编号
起点
终点
高差/m
距离/km
1
A
B
73.795
20.4
6
C
D
12.159
12.8
2
A
D
14.005
18.8
7
C
E
15.364
9.8
3
A
G
14.167
15.4
8
F
E
5.797
19.6
4
C
B
71.949
8.9
9
G
E
3.044
15.1
5
D
B
59.780
14.2
10
D
G
0.169
10.0
2.1 试验一
上述水准网高差观测值中不含粗差，作者以此数据为原始数据，导入到水准网粗差探测平差软件中，进行高差观测数据的粗差探测及平差计算。在此之前，还要设定一个关键的参数“显著水平”，它其实就是Baarda探测法发现粗差灵敏度。显著水平的值越小，较小的粗差就越容易发现，同样，该值越大，只有较大的粗差才能发现，实验中设定该值为0.003。
经过软件的计算，可以得到如下结果：粗差探测未发现粗差，μ=±0.001228。高程平差后的成果见表2，计算结果中误差数值小，精度高。
表2 高程平差值及其精度
Tab.2 Adjustment value and accuracy of height
点名
近似高程
改正数
高程平差值
中误差
A
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
F
11.4140
0.0000
11.4140
0.0000
B
73.7950
-0.0036
73.7914
0.0035
D
14.0050
-0.0001
14.0049
0.0032
G
14.1670
0.0029
14.1699
0.0033
C
1.846
-0.0011
1.8449
0.0036
E
17.2100
0.0009
17.2109
0.0035
2.2 试验二
试验一中未探测出粗差，是因为观测值中本身就未包含粗差，在此，我们将AB段和CD段的高差人为地加上0.15m和-0.05m的模拟粗差，然后再进行粗差探测。将修改后包含粗差的高差观测数据导入到水准网粗差探测平差软件中，经过计算得到如下结果：粗差总数：2；粗差估值：1 A B -0.1565,6 C D 0.0526；μ=±0.001436。高程平差后的成果见表3，计算结果中误差仍然较小，但有变化。
表3 高程平差值及其精度
Tab.3 Adjustment value and accuracy of height
点名
近似高程
改正数
高程平差值
中误差
A
0.0000
0.0000
-0.0000
0.0000
F
11.4140
0.0000
11.414
0.0000
B
73.7970
-0.0085
73.7885
0.0055
D
13.9968
0.0071
14.0039
0.0043
G
14.1684
0.0007
14.1691
0.0040
C
1.8606
-0.0183
1.8423
0.0054
E
17.2178
-0.0083
17.2095
0.0045
根据计算结果，人为粗差已经被探测出来，说明利用Baarda探测法进行水准网粗差探测是有效的。
由以上两组试验的得到的高程中误差成果，作者做了一下对比分析，如表4所示：
表4 两组试验精度对比表
Tab.4 Comparison table of accuracy of the two tests
点名
中误差（试验一）
中误差（试验二）
差值
A
0.0000
0.0000
0.0000
B
0.0035
0.0055
0.0020
C
0.0036
0.0054
0.0018
D
0.0032
0.0043
0.0011
E
0.0035
0.0045
0.0010
F
0.0000
0.0000
0.0000
G
0.0033
0.0040
0.0007
从表4中可以发现，除已知点外，含有粗差的观测值的中误差要比不含粗差的观测值的中误差要大。原因是含有粗差的观测值在软件数据处理过程中已经被剔除，实验二中的多余观测值要比试验一中的多余观测值少了两个，平差后的观测值的精度有所下降。观测值的中误差与多余观测值的关系如图2所示，多余观测值越多，中误差越小，精度越高。实践中，我们对含有粗差的观测值进行剔除和观测值精度不理想的情况下，可以通过增加外业观测数据来增加多余观测值的方法提高精度并满足要求。

图2 多余观测值与中误差关系图
Fig.2 Relationship diagram of redundant observations and mean square error
上 述实验证明了Baarda粗差探测算法的有效性，但该算法也有一定的局限性，当观测值中粗差数目较多或者粗差分布集中于某局部区域时，粗差探测可能失效 。作者提出利用水准网中独立的闭合环的闭合差作为辅助分析，原理就是相邻两个独立环的闭合差都超限时，那么这两个独立环的公共边极有可能就是包含粗差的观测值，对此做进一步的相关性分析，来确定包含粗差的观测值。通过利用环闭合差分析来辅助Baarda粗差探测法，可以大大提高探测结果的可靠性和准确性。
在 实践中，当水准网与平面控制网共用时，或者部分水准点与平面控制点共用时，可以利用平面控制点的GPS拟合高程来做辅助分析 。通过两点间的GPS拟合高程之差与两点间的水准高差做比较，如果差值较大，则判定该观测值含有粗差。GPS拟合高程的精度比水准测量的精度低，辅助Baarda粗差探测法时，粗差数值相对较大的情况下效果明显。GPS拟合高程辅助分析法一般应用在测区范围不是很大的情况下，因为大地水准面与椭球面的不平行在大范围内呈现的差异性较大，会影响到GPS拟合高差和水准高差比较的可靠性。通过GPS拟合高程辅助Baarda粗差探测分析可以将含有较大粗差的观测值先剔除，再用Baarda探测法进行进一步的粗差探测，提高了Baarda探测法的适用性。
4 结束语
针对水准网中含有粗差的问题，作者通过对Baarda粗差探测法进行研究与分析,根据其原理研制软件来实现数据的计算处理，通过两组对比试验来验证该方法的有效性。对于Baarda粗差探测法局限性的问题，作者提出利用水准环闭合差分析和GPS拟合高程分析的方法来辅助Baarda粗差探测法进行粗差探测，进一步提高该方法在水准网中进行粗差探测的可靠性和适用性。Baarda粗差探测法和其他粗差探测法在不同条件下的具体应用，仍是需要研究的方向，以后作者会进行进一步探索。

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