抛物线常用性质总结电子教案.doc

结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

结论二：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：
。

结论三：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二：
例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。
证明：设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。
则： =（常数

证明：结论四：
已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
B
A
M
N
Q
P
y
x
O
F
(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。
证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，
垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。
由抛物线定义：，，
∴，
∴以AB为直径为圆与准线l相切
O
A
M
N

P
y
x
F
（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，
∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，
∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，
∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，
B
∴，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB