数学建模期末试卷A及答案.doc

1 （10分)叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求.（1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。（2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。（3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。4）模型求解:利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。（5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。（6）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想,应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。(7）模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。2（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数，销售速率为常数，。在每个生产周期内，开始一段时间（)边生产边销售，后一段时间(）只销售不生产，存贮量的变化如图所示。设每次生产开工费为，每件产品单位时间的存贮费为,以总费用最小为准则确定最优周期，并讨论和的情况。单位时间总费用,使达到最小的最优周期。当时,，相当于不考虑生产的情况;当时,，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。3（10分）设表示时刻的人口,试解释阻滞增长（Logistic）模型中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。-时刻；-时刻的人口数量；-人口的固有增长率；-自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；初始时刻的人口数量人口增长到一定数量后，增长率下降的原因:资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用.且阻滞作用随人口数量增加而变大,从而人口增长率是人口数量的的减函数。假设为的线性函数：,其中，称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率.当时人口不再增长,即增长率，代入有，从而有，根据Malthus人口模型，有4（25分)已知8个城市v0，v1，v7之间有一个公路网(如图所示)，每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间（1）设你处在城市v0,那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短?(1)到其它各点的最短路如下图:各点的父点如下:v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3各点的最短路径及最短路长分别为：v0: 0v0v1: 1v0v2： 2v0v2v3： 3v0v2v3v4： 6v0v5： 4v0v5v6: 6v0v2v3v7： 9（2）最小生成树如下图：7（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。先把苹果编号112，把14和58放在天平两边：(1）两边持平：就在912中，再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；（2）两边不平:假设1234重5678轻，则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的， 再称1与2即可;若125轻349重，则坏的是5.某家具厂生产桌子和椅子两种家具,桌子售价50元/个,椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时.该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大?（建立模型不计算）(10)解：（1)确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大maxz=50x1+30x2(3）确定约束条件:4x1+3x2120(木工工时限制）2x1+x250（油漆工工时限制)（4)建立的数学模型为：maxS=50x1+30x2s。t。4x1+3x21202x1+x250x1，x20+=+=+=