数学建模期末试卷A及答案.doc

1． （10分)叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求.
（1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
（2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
（3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4）模型求解:利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。
（5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
（6）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想,应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7）模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型.
设生产速率为常数，销售速率为常数，。
在每个生产周期内，开始一段时间（)
边生产边销售，后一段时间(）只销售不
生产，存贮量的变化如图所示。设每次生产开工
费为，每件产品单位时间的存贮费为,以总费用最小为准则确定最优周期，并讨论和的情况。
单位时间总费用,使达到最小的最优周期。当时,，相当于不考虑生产的情况;当时,，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。
3．（10分）设表示时刻的人口,试解释阻滞增长（Logistic）模型
中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。
-—时刻；
--时刻的人口数量；
-—人口的固有增长率；
-—自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因:资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用.
且阻滞作用随人口数量增加而变大,从而人口增长率是人口数量的的减函数。
假设为的线性函数：
,
其中，称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率.
当时人口不再增长,即增长率，代入有，从而有
，
根据Malthus人口模型，有
4．（25分)已知8个城市v0，v1，…，v7之间有一个公路网(如图所示)，
每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（1）设你处在城市v0,那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短?
(1)到其它各点的最短路如下图:
各点的父点如下:
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3
各点的最短路径及最短路长分别为：
v0: 0
v0→v1: 1
v0→v2： 2
v0→v2→v3： 3
v0→v2→v3→v4： 6
v0→v5： 4
v0→v5→v6: 6
v0→v2→→v3→v7： 9
（2）最小生成树如下图：
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。
先把苹果编号1～12，把1~4和5～8放在天平两边：
(1）两边持平：就在9～12中，再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；
（2）两边不平:假设1234重5678轻，则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的， 再称1与2即可;若125轻349重，则坏的是5.
某家具厂生产桌子和椅子两种家具,桌子售价50元/个,椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时,油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时,油漆工1小时.该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时.问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大?（建立模型不计算）(10’)
 解：（1)确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量 
（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2 
(3）确定约束条件: 
4x1+3x2〈120(木工工时限制） 2x1+x2〉50（油漆工工时限制) 
（4)建立的数学模型为： 
max S=50x1+30x2 
s。t。 4x1+3x2〈120
 2x1+ x2>50 
x1， x2 〉0
++=ì
ï+++=ïí+++=