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辅助圆——重要的辅助线

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辅助圆——不太熟悉但很重要的辅助线

添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．
一、根据圆的定义作辅助圆
例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．

解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A．因为AB＝AC＝AD，所以B、C、D三点在⊙A上．
延长BA交⊙A于点E，连结DE．因为DC∥EB，所以弧ED＝弧BC，所以ED＝BC＝q．
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD＝．
例2 如图， PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．

解析：以点P为圆心、PＢ为半径的作⊙P．因为PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以点Ａ、B、C在⊙P上．此时⊙P的直径BE＝10，DE＝8，DB＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16
二、作三角形的外接圆
例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC．

解析：作△ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE．
因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAE＝∠CAE+∠DAE，即∠NAD＝∠MAE．因为∠BDM＝∠MAE，∠CEN＝∠NAD，所以∠BDM＝∠CEN．
又BD＝CE，DM＝EN，所以△BDM≌△CEN，所以∠B＝∠C，即AB＝AC．

例4 如图，△ABC中，BF、CE交于点D，BD＝CD，∠BDE＝∠A，求证：BE＝CF．

解析：作△ABC的外接⊙O，延长CE交⊙O于G，连接BG．
因为∠G＝∠A，∠BDE＝∠A，所以∠G＝∠BDE，所以BG=BD．又BD＝CD，所以BG＝CD.
又因为∠G＝∠CDF，∠GBE＝∠DCF，所以△GBE≌△DCF．
所以BE＝CF．

例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：BC＝BD＋AD．

解析：作△ABD的外接圆交BC于E，连结DE．
因为BD是∠ABC的平分线，所以弧AD＝弧DE，所以AD＝DE．
在△BDE中，∠DBE＝20°，∠BED＝180°―100°＝80°，所以∠BDE＝80°，
所以BE＝BD．
在△DEC中，∠EDC＝80°―40°＝40°，所以EC＝DE．
所以BC＝BE＋EC＝BD＋AD．

三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC＝，D是边BC上的一点，且AＤ＝１，求BD·DC的值．

解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A，交直线AD于点E、F，则点C在⊙A上，DE＝，DF＝．
由相交弦定理，得BD·DC＝DE·DF＝＝2．

例7 如图，在△ABC中，∠DAB＝∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：（1）AM＝AN；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN．

解析：（1）略；（2）由（1），得AM＝AN．以点A为圆心、AM为半径作⊙A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在⊙A 上，且AE＝AF＝AN．
由割线定理，得
BM·BN＝BE·BF＝(AB－AE)(AB＋AF)＝(AB―AN)(AB＋AN)＝AB 2－AN 2，
即AB 2－AN 2＝BM·BN．

四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆
例8 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

解析：以AD为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．因为⊙O的半径r＝，圆心O到直线BC的距离d＝．所以，当d≤r，即a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．

例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

解析：经过A、B、C三点作⊙M，设⊙M的半径为R，由正弦定理，得．
由此可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值．而当点⊙M与x轴的相切于点C时，R取得最小值．
根据切割线定理，得OC2＝OB·OA，所以OC＝4．
故当点C的坐标为 (4，0)时，∠ACB取得最大值．

例10 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围．

解析：以CQ为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角．
当⊙O与AB相切时，直径CQ最小．由切线长定理，得AP＝AC＝5，所以BP＝13―5＝8．再根据切割线定理，得BP2＝BQ·BC，所以 BQ＝，CQ＝．
当点Q与点B重合时，直径CQ最大，此时ＣＱ＝１２．
综上所述，≤CQ≤12．
五、四点共圆
判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆．判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题．

例11 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE．

解析：连接DB、DF．因为∠CBF＝45°，∠DBC＝45°，所以∠DBF＝90°．
又∠DEF＝90°，所以D、E、B、F四点共圆，所以∠DFE＝∠DBE＝45°，所以FE＝DE．

例12 如图等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点．

解析：连接PM、AM、DM，因为M是QR的中点，所以∠PMQ＝90°．又∠PAQ＝90°，所以A、Q、M、P四点共圆，所以∠MAP＝∠MQP＝60°．同理，∠MDP＝60°．所以△MAD是等边三角形，即点M为不动点．

例13 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14，求PB的长．　

解析：连接OA、OB．因为∠OPB＝∠OAB＝45°，所以A、B、O、P四点共圆，所以∠APB＝∠AOB＝90°．
在Rt△APB中，设PA＝5x，PB＝14x，根据勾股定理，得(5x)2＋(14x)2＝1989，解得x＝3，所以PB＝42．

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