辅助圆——重要的辅助线教学内容.doc

辅助圆重要的辅助线精品文档辅助圆不太熟悉但很重要的辅助线添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果 一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，ABCD，ABACADp，BCq，求BD的长解析：以点A为圆心、AB为半径作A因为ABACAD，所以B、C、D三点在A上延长BA交A于点E，连结DE因为DCEB，所以弧ED弧BC，所以EDBCq在RtBDE中，根据勾股定理，得BD例2 如图， PAPB，APB2ACB，AC与PB交于点D，且PB5，PD3，求ADDC的值 解析：以点P为圆心、P为半径的作P因为PAPB，APB2ACB，所以点、B、C在P上此时P的直径BE10，DE8，DB2，由相交弦定理，得ADDCDEDB16 二、作三角形的外接圆例3 如图，D、E为ABC边BC上的两点，且BD=CE，BAD=CAE，求证：AB=AC解析：作ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE因为BADCAE，所以BADDAECAE+DAE，即NADMAE因为BDMMAE，CENNAD，所以BDMCEN又BDCE，DMEN，所以BDMCEN，所以BC，即ABAC例4 如图，ABC中，BF、CE交于点D，BDCD，BDEA，求证：BECF 解析：作ABC的外接O，延长CE交O于G，连接BG因为GA，BDEA，所以GBDE，所以BG=BD又BDCD，所以BGCD.又因为GCDF，GBEDCF，所以GBEDCF所以BECF例5 如图，在ABC中，ABAC，BAC100，B的平分线交AC于D，求证：BCBDAD解析：作ABD的外接圆交BC于E，连结DE因为BD是ABC的平分线，所以弧AD弧DE，所以ADDE在BDE中，DBE20，BED18010080，所以BDE80，所以BEBD在DEC中，EDC804040，所以ECDE所以BCBEECBDAD三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在ABC中，ABAC，D是边BC上的一点，且A，求BDDC的值解析：以点A为圆心、AB为半径作A，交直线AD于点E、F，则点C在A上，DE，DF由相交弦定理，得BDDCDEDF2例7 如图，在ABC中，DABC，B的平分线BN交AD于M求证：（1）AMAN；（2）AB 2AN 2BMBN解析：（1）略；（2）由（1），得AMAN以点A为圆心、AM为半径作A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在A 上，且AEAFAN由割线定理，得BMBNBEBF(ABAE)(ABAF)(ABAN)(ABAN)AB 2AN 2，即AB 2AN 2BMBN四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，B90，设ABa，DCb，ADc，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使APPD？ 解析：以AD为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，当O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使APPD因为O的半径r，圆心O到直线BC的距离d所以，当dr，即abc时，在直线BC上存在点P，使APPD例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使ACB取得最大值。解析：经过A、B、C三点作M，设M的半径为R，由正弦定理，得由此可见，当R取得最小值时，ACB取得最大值而当点M与x轴的相切于点C时，R取得最小值根据切割线定理，得OC2OBOA，所以OC4故当点C的坐标为 (4，0)时，ACB取得最大值 例10 已知RtABC中，AC5，BC12，ACB90，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且CPQ90，求线段CQ的取值范围解析：以CQ为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，CPQ就为直角当O与AB相切时，直径CQ最小由切线长定理，得APAC5，所以BP1358再根据切割线定理，得BP2BQBC，所以 BQ，CQ当点Q与点B重合时，直径CQ最大，此时综上所述，CQ12 五、四点共圆判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题例11 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FEDE解析：连接DB、DF因为CBF45，DBC45，所以DBF90又DEF90，所以D、E、B、F四点共圆，所以DFEDBE45，所以FEDE例12 如图等边PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边PQR怎样运动，点M为不动点解析：连接PM、AM、DM，因为M是QR的中点，所以PMQ90又PAQ90，所以A、Q、M、P四点共圆，所以MAPMQP60同理，MDP60所以MAD是等边三角形，即点M为不动点例13 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且OPB45，PAPB514，求PB的长解析：连接OA、OB因为OPBOAB45，所以A、B、O、P四点共圆，所以APBAOB90在RtAPB中，设PA5x，PB14x，根据勾股定理，得(5x)2(14x)21989，解得x3，所以PB42收集于网络，如有侵权请联系管理员删除