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点集拓扑复习题(答案)

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点集拓扑复习题
一、 名词解释
1、同胚映射：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和 都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.
2、不连通空间：设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个不连通空间.
3、拓扑：设X是一个非空集合。X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足：
　　1．X和空集都属于τ
　　2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中
　　3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
4、导集：设是一个拓扑空间，集合的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.
5、度量：设集合X的一个映射.若对于任何，有
　　（I）（正定性）(x,y）≥0，且(x,y)=0当且仅当 x = y；
　　（Ⅱ）（对称性）(x,y)= (y,x）；
　　（Ⅲ）（三角不等式）(x,z）≤(x,y)+ (y,z）
　　则称为集合X的一个度量（或距离）。
二、 证明题（4选3）
1、证明：度量空间中的开集且有以下性质：
（1）集合本身和空集都是开集；
（2）任意两个开集的交是一个开集；
（3）任意一个开集族的并是一个开集。
证明:　
（1）根据定理2.1.1(1)中的每一个元素都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在中，所以满足开集的条件；空集中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
（2）设和是中的两个开集．如果，则存在的一个球形邻域包含于，也存在的一个球形邻域包含于．根据定理2.1.1(2)，有一个球形邻域同时包含于和，因此

由于中的每一点都有一个球形邻域包含于，因此是一个开集．
（3）设是一个由中的开集构成的子集族．如果，则存在使得由于是一个开集，所以有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是中的一个开集．
2、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.
证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 …………………………………………… 3分
于是是的非空子集，并且：

所以是的非空隔离子集，此外
，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. ………………………… 8分
3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者.
证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.
又因中，故 ………………… 4分
由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则………………… 8分
4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.
证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是可数补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得.
于是, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道：

因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.
从而X不满足第一可数性公理. ………………………………8分
三、 填空题
1、设,则的平庸拓扑为 ;答案：
2、每一个球形邻域都是 ；答案：开集
3、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ；答案：可分空间
4、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为 ; 答案：有限可积性质
5、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 ;答案：商映射
四、 选择题
1、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑.
① ②
③ ④ 答案：②
2、已知，拓扑,则=（ ）
①φ ② ③ ④ 答案：④
3、在实数空间中，有理数集的边界是（ ）
① ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
4、在实数空间中，区间的内部是（ ）
① ② ③ ④ 答案：④
5、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ②
③ ④ 答案: ③
6、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
7、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
8、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集 答案：④
9、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为( )
① ②
③ ④ 答案：②
10、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
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