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“三线合一”证题

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等腰三角形

巧用“三线合一”证题

“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。
一. 直接应用“三线合一”
例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。
求证：AD垂直平分EF

分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可
证明：

又
AD垂直平分EF

例2. 如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：

分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有，，所以就想到用“三线合一”。
证明：过点D作DE//CK交BK于点E

二. 先连线，再用“三线合一”
例3. 如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F
求证：（1）DE＝DF；（2）

分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或
问题得证。
（2）欲证，只要证，即可
但由（1）已证出
又，故问题解决
证明：连结AD。D是BC的中点
，

DA平分，

四边形PEAF是矩形

又
又

（2）

又

即

三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”
例4. 如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：

分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。
证明：连结DM、CM
，M是AB的中点

是等腰三角形
又N是CD的中点，

例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF//BC

分析：由BE平分、容易想到：延长AE交BC于M，可得等腰，E为AM的中点；同理可得等腰，F是AN的中点，故EF为的中位线，命题就能得证。
证明：延长AE、AF分别交BC于M、N
，
为等腰三角形
即，
同理
为的中位线

一、证明角相等
图1
2
1
E
D
C
B
A
【例1】已知：如图1，在中，，于D．求证：．
【分析】作出等腰的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得等于其中任一部分即可．
【证明】作的平分线AE，则有．∵，，∴（三线合一）．∴．又∵，∴．∴．∴．
【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决．
二、证明线段相等
【例2】（2009·汕头）如图2，是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使，过点D作，垂直为M．求证：
图2
E
C
A
M
D
B
【分析】在中，．如果能证得，由“三线合一”就可得出．
【证明】∵是等边三角形，D是的AC中点，
∴，BD平分（三线合一）．∴．
又∵，∴．
又∵，∴．∴．∴．又∵，∴（三线合一）．
【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多．因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决．
三、证明直线垂直
【例3】（2009·义乌）如图3，在正△ABC中，于点D，以AD为一边向右作正△ADE．请判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
F
E
D
C
B
图3
A
【分析】在正△ABC中，由“三线合一”知．而△ADE也是正三角形，于是有，这样就得AF是正△ADE的角平分线，再由“三线合一”得．
【证明】在正△ABC中，∵，∴（三线合一）．
在正△ADE中，∵，∴AF是的平分线．∴（三线合一）．
【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：
（1）有一个等腰三角形；
（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线．

例1. 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。

图1
分析：如图1，AB=AC，BD⊥AC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知∠EAC=∠EAB，又∠，所以。

例2. 已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。

图2
分析：欲证∠ACE=∠B，由于AC=AB，因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。
证明：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴
又∵，
∴BD=CE。
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
AB＝AC，BD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。
∴∠ACE=∠B

例3. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。

图3
分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E，根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。
证明：联结BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=30°
∵BD是AC边上中线，
∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30°
∴∠DBE=∠E。
∴DB=DE
又∵DM⊥BE，
∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。

［练习］
1. 如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？

图4

2. 已知：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形CEDF＝。

图5

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