三垂线定理及其逆定理教学文稿.doc

三垂线定理及其逆定理

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三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】
一. 知识与技能目标
理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二. 过程与方法目标
1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三．情感、态度和价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】
一. 教学重点
定理的理解和运用
二．教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。
【教学方法】
以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。
【教学过程】
一 复习引入：
1. 复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；

设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。）

2.有意设疑，引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？
学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：
平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）

设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）

二、新课讲授：
由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

P
PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO⊥a，问PA与a所成的角；
显然PO⊥α PO
OA a平面POA PA
O
A
POOA=O PA平面POA
即：PA与a所成的角为900

三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO，
才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书）
设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。）
剖析命题
（1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。
　（2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结：
　一找垂面：即先确定平面及平面的垂线：
二找斜线：接着确定平面的斜线：
　三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；
　四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书）
设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。）
三 讲解例题
例1.已知：点是的垂心，，垂足为，求证：．
证明：∵点是的垂心，
∴
又∵，垂足为，

所以，由三垂线定理知，．
例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠BAC在α内，PÏa，PE^AB于E，PF^AC于F且PE=PF，PO^a
求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）
证明：连接OE，OF ∵PO^a
∴EO，FO分别为PE，PF在a上的射影
∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE^AB，PF^AC
∴OE^AB，OF^AC(三垂线定理的逆定理 )
∴O到∠BAC两边距离相等
∴O在∠BAC的平分线上
变式：
已知：在平面内，点，垂足分别为，求证：．
证明：∵，
∴（三垂线定理逆定理）
∵，∴，
∴，又∵，∴
∴．
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
求证:(1)PH^底面ABC (2)△ABC是锐角三角形.
证明: (1)略
(2)设AH与直线BC的交点为E，连接PE由(1)知PH^底面ABC
∴AE为PE在平面ABC的射影，
由三垂线定理：PE^BC
∵PB^PC即△BPC是直角三角形，BC为斜边
∴E在BC边上 由于AE^BC，故B∠C都是锐角
同理可证：∠A也是锐角 ∴△ABC为锐角三角形
设计意图（为了培养学生灵活应用定理的能力，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面”，然后，由学生板书解答后，我再较正学生的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。）
四 小结：
知识：三垂线定理以及逆定理
问题：平面中斜线和射影的垂直问题
方法：空间垂直与平面垂直互相转化
思想：转化思想
五 作业：
1.边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PA⊥a，PA=a，则P到CD的距离为 ，P
到BC的距离为 .
2.AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60º角，OCÌa，AA＇⊥a于A＇，∠OC=45º，
则A到直线OC的距离是 ，∠AOC的余弦值是 .
答案：1.; 2.
3.如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD= b，PA^平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点．
H
E
Q
P
D
C
B
A
A
A′
C
O
求（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离．

六 板书设计：
七 教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式，学生反映较好，定理记得牢，理解深刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。从学生的课后作业看，书写规范，推理正确，取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。

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