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第九章欧氏空间习题答案精品资料第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. ，；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ，；8. ；9. ；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0，；12. 它们的维数相同；13. ，1；14. ；15. 正交；16. ；17. 正定的。二、判断题 1-5 6-10 11-15 16-20 三、选择题 1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB四、计算题1. 由，故特征值为。当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为。则令，为正交阵，有。2. （1），由于二次型正定，则，即。（2）当时，则。由，特征值为。故标准形为。3. 二次型矩阵为。由于正交变换得到的标准形为，则的特征值为，故，可得。当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为。则令，为正交阵，有。4. 设属于特征值的特征向量为，则，即，基础解系为，。把，单位化为，。单位化为。令，为正交阵，有。进一步得到。5. 当时，则故对于任何整数，该集合均为正交向量组。6. 令的一组基为，则有，可得在这组基下的度量矩阵为。由，特征值为。当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为令为正交阵，使得 。则对角阵不是单位阵。7. 令对应的二次型矩阵为（1）正交变换：由，故特征值为。当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为。则令，为正交阵，有，则标准形为。（2）平移变换：即，作非退化线性替换，即。8. 。不妨设，则，其中设的一组标准正交基为，则。因为是对称矩阵，则是对称变换。由，故特征值为。当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为。则令，为正交阵，则存在一组标准正交基使得，则有。9. 设且，则，即可取。把正交单位化如下，。，。为的一组标准正交基。10. 由，故特征值为。当时，有，则特征向量为，属于特征值0的全部的特征向量为，其中为任意常数。单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为。则令为正交阵，则存在一组标准正交基使得，则有。五、证明题1. ，即。2. 令，则，。则，即，则是一个对称变换。3. 必要性是显然的。下面来证明充分性。由于，即，因此，从而是单射，又由于存在双射，并且有。因此欧氏空间与一个同构映射。4. 不妨设是向量组的一个极大线性无关组，下证是向量组的一个极大线性无关组。令，则有则，由于线性无关，则，即线性无关。根据的极大性，则，即。故，也即是说是向量组的一个极大线性无关组，即，从而。5. （1）左边（2）右边6. ，则。又因为都是对称变换。则上式可化为，故是对称变换。7. 令，则有解秩秩秩秩与同解。8. 设实对称矩阵，则。而为的阶顺序主子式，。故当充分大时，。故可得是正定矩阵。9. 是正交变换，则，。设是向量组的一个极大线性无关组，则是向量组的一个极大线性无关组。否则的话线性无关。因为的极大性，则线性相关。即存在不全为零的，满足，从而即，即线性相关这是矛盾的。再将单位化为，即，其中，由于，则令，从而也使正交单位向量组。分别扩充为的两组标准正交基，既有；。定义，使得，。为正交变换，从而，则，即。从而，。进而，。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10