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近世代数试卷精品文档1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？（ D ）A.关系：aba2+b2=1B.关系：ababC.关系：aba=2bD.关系：aba=b2.设A是区间0，1上全体实函数组成的集合，规定：（ f （x）=（x2+1） f （x）,f （x）A,则是A的（ A ）A.满变换 B.单变换 C.一一变换D.不是A的变换3.在有理数集上定义代数运算a b=（a+b）2，则这个代数运算（ ）A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是（ A ）A.全体实数对普通数的加法B.全体实数对普通数的减法C.全体实数对普通数的乘法D.全体实数对普通数的除法5.设，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（ ）A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环1.设A=a,b,c,d,则A的一一变换共有_个.（ C ）4!A.4 B.16 C.24D.642.设A=所有实数x，A的代数运算a。b =a+b+ab（ C ）A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律3.设A=所有有理数x，A的代数运算是普通加法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是（ B ）A.x|x| B.x2x C.xx2D.x4.在非零复数乘法群C*中，阶为2的元有_C_个.（ ）A.0个 B.1个 C.2个D.3个5.设M2（R）=按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是（ ）A.有单位元的交换环B.无单位元的变换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?（ C ）A.在有理数集Q中关系：aba-bZB.在复数集C中关系：ab|a|=|b|C.在实数集R中关系：ababD.在实数集R中关系：aba=b2.设A=Z，D=Z+，n|则是Z到Z+的（ ）A.单射 B.满射 C.一一映射D.不是映射3.在实数集R中定义代数运算aob=a+b+ab，则这个代数运算（ ）A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是（ C ）A.非零有理数的全体Q*对普通数的加法B.非零有理数的全体Q*对普通数的减法C.非零有理数的全体Q*对普通数的乘法D.非零有理数的全体Q*对普通数的除法5.设R=，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（ ）A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环1. 设集合A中含有3个元素，集合B中含有4个元素，那么，A与B的积集合AB中含有_个元素。（ ）A. 3 B. 4 C. 7 D. 122设ABR (实数集)，如果A到B的映射：x2x， xR，则是从A到B的_。（ ）A. 满射而非单射 B. 单射而非满射 C. 一一映射 D. 既非单射也非满射3. 设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，则S3的子群共有_个。 （ ）A. 2 B. 4 C. 6D. 84设Z 12是以12为模的剩余类加群，那么，Z 12的生成元共有_个。 （ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 125. 设I1，I2是环R的两个子环，0是环R的零元素，那么在下列集合中，_未必是环R的子环。 （ ）A. I1I2x | xI1或xI2B. 0 C. I1I2x | xI1且xI2 D. 环R本身.设m是一个正整数，aZ,作带余除法：a=mq+r,0rm,规定：f(a)=r.则f是Z的( )A.满变换B.单变换C.一一变换D.既不是满变换也不是单变换2.有理数集Q上的代数运算=b3( )A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律3.剩余类加群Z8的子群有( )A.4个 B.5个 C.6个D.7个4.在3次对称群S3中可以与(132)交换的所有元素为( )A.(1)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)，(132)D.S3中的所有元素5.M2(R)=按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环,这个方阵环是( )A.有单位元的交换环B.无单位元的非交换环C.无单位元的交换环D.有单位元的非交换环1.设集合A中含有4个元素，那么积集合AA中含有_个元素（ D ）A.4 B.8 C.12D.162.设R是整数集，A=RR，（x,y）（x,-y），则是A的（ C ）A.满变换 B.单变换 C.一一变换D.不是A的变换3.在有理数集中的代数运算ab=b2（ C ）A.适合结合律但不适合交换律B.不适合结合律但适合交换律C.既适合结合律又适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.在4次对称群S4中，阶为2的元有（ A ）A.6个 B.7个 C.8个D.9个5.除环的理想有（ B ）A.1个 B.2个C.3个D.4个6.设A=a,b,c,d,e，则A的一一变换共有_120_个.5!7.在4次对称群S4中，（134）2（312）-1=_.8.在3次对称群S3中，H（1），（12）是S3的一个子群，则H （23）_(23) (132)_9.设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是_10.剩余类环Z15的可逆元有_个.11.设Zx是整系数多项式环，则Zx的主理想（x2）_12.整环I所有复数a+b（a,b是整数），则I的单位是_13.设Q是有理数域，则Q =_.14.在有理数域Q上的极小多项式是_6.模8的剩余类加群Z8有_个生成元.7.若=（123）（45）,=（2345）,则-1=_.8.设循环群G=（a）,如果a的阶为n,则G同构于_.9.整数环有_1_个可逆元 .10.剩余类环Z5的零因子个数等于_.11.剩余类环Z6的子环有_个.12.整环I=所有复数a+b（a,b是整数）,则I的单位是_.13.设Q为有理数域,S=,则Q（S）=_.14.在有理数域Q上的极小多项式是_.6.设A=a,b,c,d,e，则A的子集共有_3125_个.7.在4次对称群S4中，（143）2（132）-1=_.8.模12的剩余类加群Z12的生成元有_个.9.设Z6是模6的剩余类环，则Z6中的零因子是_.10.模p（素数）的剩余类环Zp的特征为_. 11.剩余类环Z17的可逆元有_个.12.在高斯整环Zi=a+bi|a,bZ中,主理想（1+i）_.13.在整环I所有复数a+b（a,b是整数）中，1+的相伴元是_.14.设R是实数域，则 =_. 15.在有理数域Q上的极小多项式是_.6. 设“”是集合AA到A的一个代数运算，如果对于a，b，cA，“”满足_，则称代数运算“”适合结合律。7. 设(G，)是一个群，则对于a，b，cG，方程axb和yab在G中有唯一解，那么，这两个方程的解分别为_。8. 设(5234)，(135)S5，那么，_(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9. 设Z120，1，2，11是以12为模的剩余类加群，那么，Z12的子群共有_个。10. 在3次对称群S3中，设子群H(1)，(23)，则子群H关于元素 (132) 的右陪集H(132)_。11. 设 (R，)是一个至少含有两个元素的环，如果R满足_，则称R是一个除环。12. 设Z60，1，2，3，4，5是以6为模的剩余类环，那么，在Z6的子集0，2，4， 1 ， 0，3中，_不是Z6的子环。13. 设F是一个域，则F的理想有_个。14. 设Zx是整系数多项式环，f (x)6x224，则f (x)在Zx中的不可约分解为_。15. 已知，i是有理数域Q上的两个代数元，则Q (，i)在有理数域Q上的扩域次数：(Q (，i) : Q)_。6.设A=a,b,c,d,e,f，则A的一一变换共有_个.7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有_个.8.在4次对称群S4中，(132)2(1234)-1=_. 9.模10的剩余类加群Z10有_个生成元.10.模P（素数）的剩余类环Zp有_个可逆元.11.模9的剩余类环Z9的零因子为_.12.设Zx是整系数多项式环，则Zx的理想(3,x)_13.主理想环与欧氏环的关系是_. 14.在,2i+1,中，_是有理数域Q上的代数元.15.在有理数域Q上的极小多项式是_6.剩余类加群Z4有_个生成元.7.在4次对称群S4中，（123）（1423）-1=_.8.阶为n的有限循环群同构于_.9.剩余类环Z11的零因子个数等于_.10.剩余类环Z13的可逆元有_个.11.如果G是一个含有16个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于aG，元素a的阶只可能是_12.整环I所有复数a+b（a,b是整数），则I的单位是_.13.在,i+2,2中，_是有理数域Q上的代数元.14.设Q是有理数域，则Q（+）=_.15.在实数域R上的极小多项式是_.15.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的并是否构成群？为什么？16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.17.设关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？15.若A=a,b,c,d对于代数运算“o”来说作成群,且除单位元以外,每个元的阶都是2,试作出A的代数运算表.16.找出模12的剩余类环Z12的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么?17.偶数环2Z的主理想（4）含有哪些元?2Z/（4）含有哪些元?2Z/（4）是否为域?为什么？16.找出3次对称群S3的所有子群,这些子群中哪些是S3的不变子群?17.设群G=Z18子群H=（6）,（1）商群G/H=?（2）商群G/H与怎样的一个群同构?18.设R=关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=，证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？16设Z9为以9为模的剩余类加群，即Z90，1，2，8。找出Z9的全部生成元，并找出Z9的所有子群。17设数集G2m3n | m，nZ，已知G关于数的乘法作成群。作G到G的映射：2m3n2m，2m3nG，验证是G到G的一个同态映射，且求映射的核Ker。18设Z5x为以5为模的剩余类环Z5上的一元多项式环，在Z5x中化简(给出化简的步骤)：16.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的交是否构成群？试说明理由.17.找出模20的剩余类环Z20的所有子环并说明这些子环是否是Z20的理想，为什么？18.Z3=0,1,2，找出加群Z3的所有自同构，再找出域Z3的所有自同构.16.假定下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元oeabcdeeabebcdecdabd17.找出模15的剩余类环Z15的所有子环，这些子环是否都是Z15的理想？为什么？18.设Z是整数环，（2）（5）、（2,5）是Z的怎样的理想？（2）（5）是Z的理想吗？为什么？18.设G是一个群，aG证明：a与a-1的阶相同.19.设G=有理数域上所有n阶可逆矩阵，H = A|AG,|A|=1证明：H是G的不变子群20.证明：一个域是一个欧氏环18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.19.证明:阶为pm的群（p是素数）一定包含一个阶是p的子群.20.设m,r是取定的正整数,且r|m.用符号表示Zm中a所在的剩余类,a表示Zr中a所在的剩余类,令f:a,证明:（1）f是Zm到Zr的同态满射.（2）求ker f.（3）Zm/ker f是怎样的环?19.设R为全体实数组成的加法群,R+表示全体正实数组成的乘法群,则R+与R同构.20.设M2（Q）是有理数域Q上的二阶矩阵环,证明:M2（Q）只有零理想与单位理想,但不是除环.21.证明：3-2i是高斯整环Zi=a+bi|a,bZ的素元.19设G是一个群，a，bG，如果元素a的阶为3，b的阶为4，且abba，证明：ab的阶为12。20设H是循环群G的子群，证明：H也是循环群。21设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想19.设A=平面上所有直线，给定关系：l1l2l1l2或l1=l2.证明：关系是A元间的等价关系.20.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群.21.设R=关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=，证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？19.证明：循环群是交换群.20.在高斯整环Zi=a+bia,bZ中，证明：3是素元21.证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构收集于网络，如有侵权请联系管理员删除