《第一章-常用逻辑用语》测试题说课讲解.doc

《第一章 常用逻辑用语》测试题

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《第一章 常用逻辑用语》测试题
一、选择题：
1．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的(　　)．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)．
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1，或x<－1，则x2>1 D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
3．下列命题中是全称命题的是(　　)．
A．圆有内接四边形 B.> C.<
D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形
4．若α，β∈R，则“α＝β”是“tan α＝tan β” 的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是(　　)．
A．∃x0>0，使得x－x0≤0 B．∃x0>0，使得x－x0>0
C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0
6．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)．
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真 C．“p”为假 D．“q”为真
7．在下列各结论中，正确的是(　　)．
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件但不是必要条件；③“p∨q”为真是“p”为假的必要条件但不是充分条件；
④“p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件；
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
8．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是(　　)．
A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数 B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数 D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
9．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2 ②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么(　　)．
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真 C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
二、填空题：
11．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是__________．
12．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则p是q的________条件．
13．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

14．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④若“m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
三、解答题：
15．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数；

16．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

17.设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？

18．已知命题p：－2<m<0，0<n<1；命题q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．

19．设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.

20．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

《第一章 常用逻辑用语》测试题答案
一、选择题：
1．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的(　　)．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
解析　由x>0⇒|x|>0充分，而|x|>0⇒x>0或x<0，不必要．
答案　A
2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)．
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析　－1<x<1的否定是“x≥1，或x≤－1”；“x2<1”的否定是“x2≥1”，故选D.
答案　D
3．下列命题中是全称命题的是(　　)．
A．圆有内接四边形
B.>
C.<
D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形
解析　由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，是全称命题．
答案　A
4．若α，β∈R，则“α＝β”是“tan α＝tan β” 的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析　当α＝β＝时，tan α，tan β不存在；又α＝，β＝时，tan α＝tan β，所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的既不充分又不必要条件，故选D.
答案　D
5．命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是(　　)．
A．∃x0>0，使得x－x0≤0
B．∃x0>0，使得x－x0>0
C．∀x>0，都有x2－x>0
D．∀x≤0，都有x2－x>0
解析　由含有一个量词的命题的否定易知选B.
答案　B
6．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)．
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“p”为假 D．“q”为真
解析　显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“p”为真，“q”为假，故选A.
答案　A
7．在下列各结论中，正确的是(　　)．
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件但不是必要条件；
③“p∨q”为真是“p”为假的必要条件但不是充分条件；
④“p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件；
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
解析　“p∧q”为真则“p∨q”为真，反之不一定，①真；如p真，q假时，p∧q假，但p∨q真，故②假；綈p为假时，p真，所以p∨q真，反之不一定对，故③真；若綈p为真，则p假，所以p∧q假，因此④错误．
答案　B
8．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是(　　)．
A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数
B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数
D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
解析　存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.
答案　D
9．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　函数f(x)＝|x－a|的图象如右图所示，其单调增区间为[a，＋∞)．当a＝1时，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数，则a≤1.于是可得“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故应选A.

答案　A
10．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么(　　)．
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
解析　②的逆命题：
若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤3(假)，
故②的否命题为假．
③的原命题为真，故③的逆否命题为真．
④的逆命题显然为真．
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是__________．
解析　原命题的逆否命题即将原命题的条件与结论交换的同时进行否定，故逆否命题应为“若b∉B，则a∈A”．
答案　若b∉B，则a∈A
12．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则p是q的________条件．
解析　綈p：≤x≤2.
綈q：－1≤x≤2.綈p⇒綈q，但綈q⇒/ 綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
13．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析　命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”为真，则a≤x2，x∈[1，2]恒成立，∴a≤1；命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
答案　{a|a≤－2或a＝1}
14．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④若“m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析　①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题真；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题．∵得m∈∅.所以应填①②③.
答案　①②③
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数；
解　(1)否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)否定：∃x0∈R，5x－12≠0，真命题．
(3)否定：∃x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．
(4)否定：所有的质数都是奇数，假命题．
16．(10分)已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解　(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac<0，
∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．
17.设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
解　由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．
∴M∩P＝(2,3]，M∪P＝R
当x∈M，或x∈P时x∈(M∪P)＝R
∈(2,3]＝M∩P.
而x∈(M∩P)⇒x∈R
∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
18．(10分)已知命题p：－2<m<0，0<n<1；命题q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．
解　p是q的必要不充分条件．
若令m＝－∈(－2，0)，n＝∈(0，1)，则x2－x＋＝0，此时方程的Δ＝－4×<0无解，
所以由p推不出q，即p不是q的充分条件；
若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根x1，x2，
则0<x1<1，0<x2<1，∴0<x1＋x2<2，0<x1x2<1.
∴由根与系数的关系得
即∴q⇒p.
综上所述：p是q的必要不充分条件．
19．(12分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
证明　充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，∴f(x)＝x|x|.
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立．即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立．令x＝0，则b＝－b，∴b＝0，令x＝a，则2a|a|＝0，
∴a＝0.即a2＋b2＝0.
20．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，
实数x的取值范围是1<x<3.
由
解得即2<x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真，则⇔2<x<3，
所以实数x的取值范围是(2，3)．
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p⇒綈q且綈q 綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则AB.所以0<a≤2且3a>3，
即1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1，2]．

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