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梅涅劳斯定理

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梅涅劳斯定理
【定理内容】
如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，
那么.

[评]等价叙述：的三边、、或其延长线上有三点、、，则、、三点共线的充要条件是。三点所在直线称为三角形的梅氏线。
【背景简介】
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

【证法欣赏】
证法1：（平行线分线段成比例）

证：如图，过作交延长线于，
∵，∴，，
又
则
∴

证法2：（正弦定理）

证：如图，令，，，
在中，由正弦定理知：，
同理，
∴，，，
∴，即.

【逆定理】
梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即
如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上，且满足，那么、、三点共线。
[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线

【定理应用】
梅涅劳斯定理的应用定理1：
若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线。
证：由三角形内、外角平分线定理知，
，，，
则，
故、、三点共线。

【定理应用】
梅涅劳斯定理的应用定理2：
过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线。
证：∵是⊙的切线，
∴∽，
∴，
则，
同理：，
∴，
故、、三点共线。
【定理应用】
【例1】已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.
求证：.
证明：直线截，
由梅涅劳斯定理，
得：
又，
∴，
则
[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》．

【定理应用】
【例2】已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证：.
证：连接并延长交于，
则，
∵截，
∴由梅氏定理得，；
同理：
∴，，
∴
即

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