第二章-材料的断裂强度教学内容.doc

第二章 材料的断裂强度

精品资料
第二章
2.1固体的理论结合强度
2.2 材料的断裂强度
2.3 裂纹的起源与快速扩展
2.4 材料的断裂韧性
2.5显微结构对脆性断裂的影响
2.6无机材料强度的统计性质
2.7材料的硬度

第二章 材料的脆性断裂与强度

2.1固体的理论结合强度
无机材料的抗压强度约为抗拉强度的10倍。所以一般集中在抗拉强度上进行研究，也就是研究其最薄弱环节。
要推导材料的理论强度，应从原子间的结合力入手，只有克服了原子间的结合力，材料才能断裂。如果知道原子间结合力的细节，即知道应力-应变曲线的精确形式，就可算出理论结合强度。这在原则上是可行的，就是说固体的强度都能够根据化学组成、晶体结构与强度之间的关系来计算。但不同的材料有不同的组成、不同的结构及不同的键合方式，因此这种理论计算是十分复杂的，而且对各种材料都不一样。
为了能简单、粗略的估计各种情况都适应的理论强度，Orowan提出了以正弦曲线来近似原子间约束力随原子间距离X的变化曲线（见图2.1），得出
2-1
式中，th为理论结合强度；为正弦曲线的波长。

图2.1 原子间约束力与距离的关系
将材料拉断时，产生两个新表面，因此单位面积的原子平面分开所做的功应等于产生两个单位面积的新表面所需的表面能，材料才能断裂。设分开单位面积原子平面所做的功为w,则
2-2
设材料形成新表面的表面能为（这里是断裂表面能，不是自由表面能），则w=2,即
, 2-3
接近平衡位置o的区域，曲线可以用直线代替，服从虎克定律:
2-4
a为原子间距。X很小时
sin 2-5
将（2.3），（2.4）和（2.5）式代入（2.1）式，得

2-6
式中a为晶格常数，随材料而异。可见理论结合强度只与弹性模量、表面能和晶格距离等材料常数有关，属于材料的本证性能。（2.6）式虽然是粗略的估计，但对所有固体均能应用而不涉及原子间的具体结合力。通常约为aE/100,这样，（2.6）式可写成
2-7
更精确的计算说明（2.6）式的估计稍偏高。
一般材料性能的典型数值为：E=300GPa,m2,a=310-10m,代入（2.6）式算出
=30GPa 2-8
要得到高强度的固体,就要求E和大,a小。实际材料中只有一些极细的纤维和晶须其强度接近理论强度值.例如熔融石英纤维的强度可达24.1GPa,约为E/3(E,72Gpa),碳化硅晶须强度6.47GPa,约为E/70(E,470Gpa),氧化铝晶须强度为15.2GPa,约为E/25(E,380Gpa)。尺寸较大的材料实际强度比理论强度低的多,,约为E/100-E/1000,而且实际材料的强度总在一定范围内波动,即使是用同样的材料在相同的条件下制成的试件,强度值也有波动。一般试件尺寸大，强度偏低。为了解释这种现象，人们提出了各种假说，甚至怀疑理论强度的推导过程等，但都没有抓住断裂的本质。直到1920年，Griffith为了解释玻璃的理论强度与实际强度的差异，提出了微裂纹理论，才解决了上述问题。后来经过不断的发展和补充，逐渐成为脆性断裂的主要理论基础。

§2.2 材料的断裂强度

2.2.1 材料的断裂
材料的断裂过程包括裂纹的形成与扩展两个阶段，按照材料宏观塑性变形的程度，可以分为韧性断裂与脆性断裂；按照断裂时裂纹扩展的路径，分为穿晶断裂与沿晶断裂；
(1) 脆性断裂
材料在实际应力远低于理论强度时发生断裂，不产生塑性形变仅产生很小的塑性形变，断裂前无先兆，这种断裂方式就称为脆性断裂。它表现在断裂发生在弹性应变状态下，没有经过塑性变形阶段而直接形成的断裂。不仅是脆性材料才会产生这种断裂，材料内部存在微裂纹，或者某些材料在低温下受到冲击等都有可能产生脆性断裂。
根据断口特征可以分为以下三种情况：
解理断裂，裂纹沿解理面扩展；解理断裂断口的轮廓垂直于最大拉应力方向。新鲜的断口都是晶粒状的，有许多强烈反光的小平面（称为解理刻面）。图2-2为某材料典型的解理断口电子图像。解理断口电子图像的主要特征是“河流花样”，河流花样中的每条支流都对应着一个不同高度的相互平行的解理面之间的台阶。解理裂纹扩展过程中，众多的台阶相互汇合，便形成了河流花样。在河流的“上游”，许多较小的台阶汇合成较大的台阶，到“下游”，较大的台阶又汇合成更大的台阶。河流的流向恰好与裂纹扩展方向一致。所以人们可以根据河流花样的流向，判断解理裂纹在微观区域内的扩展方向。

图2-2解理断口电子图像
沿晶断裂如图2-3所示，裂纹走向沿着晶界，并不在某一平面内运动，晶粒特别粗大时形成石块或冰糖状断口，晶粒较细时形成结晶状断口(图2-3a)。沿晶断裂的结晶状断口比解理断裂的结晶状断口反光能力稍差，颜色黯淡。

（a）沿晶断裂 （b）穿晶断裂

图2-3 某材料典型的断口扫描电镜图
穿晶 ( 晶内 ) 断裂如图2-3b所示，裂纹沿着多晶粒的解理穿过，而不管晶界的位置如何。
(2) 韧性断裂
材料断裂时经过宏观塑性变形阶段、可观察到明显的缩颈现象，称为韧性断裂。断口呈盆状或杯状，金属材料的断裂多属此种（图2-4）。

（a）材料的宏观图 （b）扫描电镜图
图2-4 某材料典型的韧性断裂图
2.2.2 裂纹尖端应力集中问题
Griffith认为实际材料中总是存在许多细小的裂纹或缺陷，在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近产生应力集中现象。当应力达到一定程度时，裂纹开始扩展而导致断裂。所以断裂并不是两部分晶体同时沿整个界面拉开，而是裂纹扩展的结果，微裂纹理论抓住了脆性断裂问题的本质。
Inglis研究了具有孔洞的板的应力集中问题，得到一个重要结论：空洞两个端部的应力几乎取决于孔洞的长度和端部的曲率半径而与孔洞的形状无关。在一个大而薄的平板上，设有一穿透的孔洞，不管孔洞是椭圆还是菱形，只要孔洞的长度（2c）和端部曲率半径ρ不变，则孔洞端部的应力不会有很大的改变。根据弹性理论求得孔洞端部的应力为
2-9
式中，为外加应力。如果c﹥﹥,即为扁平的锐裂纹，则c／将很大，这时可略去式中括号内的1，得
2-10
Orowan注意到是很小的，可近似认为与原子间距的数量级相同，如图2.5所示，
图2.5 微裂纹端部的曲率对应于原子间距
这样可将（2.10）式写成
2-11
当等于（2.6）式中的理论结合强度时，裂纹就被拉开而迅速扩展，裂纹扩展，使增大，又进一步增加。如此恶性循环，材料很快断裂。Inglis只考虑了裂纹端部一点的应力，实际上裂纹端部的应力状态是很复杂的。
2.2.3 材料的断裂强度
Griffith从能量的角度研究裂纹扩展的条件：物体内储存的弹性应变能的降低大于等于开裂形成两个新表面所需的表面能。反之，前者小于后者，裂纹则不会扩展。
在求理论强度时曾将此概念用于理想的完整晶体。Griffith将此概念用于有裂纹的物体，认为物体内储存的弹性应变能的降低（或释放）就是裂纹扩展的动力。我们用图2.6来说明这一概念并导出这一临界条件。

图2.6 裂纹扩展临界条件的导出
将一单位厚度的薄板拉长到然后将两端固定。此时板中储存的弹性应变能为。然后人为地在板上割出一条长度为2c的裂纹，产生两个新表面，原来储存的弹性应变能就要降低，有裂纹后板内储存的应变能为，应变能降低为，欲使裂纹进一步扩展，应变能将进一步降低。降低的数量应等于形成新表面所需的表面能。
由弹性理论可以算出，当人为割开长2c的裂纹时，平面应力状态下应变能的降低为
2-12
式中，c为裂纹半长；为外加应力；是弹性模量。如为厚板，则属平面应变状态，此时
2-13
式中，为泊松比。
产生长度为2c，厚度为1的两个新断面所需的表面能为
2-14
式中，为单位面积上的断裂表面能，单位为J/m2。
裂纹进一步扩展2dc，单位面积所释放的能量为，形成新的单位表面积所需的表面能为，因此，当＜时，为稳定状态，裂纹不会扩展；反之，＞时，裂纹失稳，迅速扩展；当=时，为临界状态。又因
= 2.15
= 2.16
因此临界条件是
2-17
由此推出的临界应力为
2-18
如果是平面应变状态，则
2-19
这就是Griffith从能量观点分析得出的结果，称之为断裂强度。和（2.6）式理论强度的公式很类似，（2.6）式中为原子间距，而式（2.18）中为裂纹半长。可见，如果我们能控制裂纹长度和原子间距在同一数量级，就可使材料达到理论强度。当然，这在实际上很难做到，但已给我们指出了制备高强材料的方向。即和要大，而裂纹尺寸要小。应注意（2.18）式是从平板模型推导出来的，物体几何条件的变化，对结果也会有影响。
Griffith用刚拉制的玻璃棒做实验。玻璃棒的弯曲强度为6GPa，在空气中放置几小时后强度下降成0.4GPa。强度下降的原因是由于大气腐蚀形成表面裂纹。还有人用温水溶去氯化钠表面的缺陷，强度即由5Mpa提高到1.6GPa。可见表面缺陷对断裂强度影响很大。还有人把石英玻璃纤维分割成几段不同的长度，测其强度时发现，长度为12cm时，强度为275Mpa；长度为0.6cm时，强度可达760Mpa。这是由于试件长，含有微裂纹的机会就多。其他形状试件也有类似规律，大试件强度偏低，这就是所谓的尺寸效应。弯曲试件的强度比拉伸试件的强度高，也是因为弯曲试件的横截面上只有一小部分受到最大拉应力的缘故。
从以上实验可知，Griffith微裂纹理论能说明脆性断裂的本质-------微裂纹扩展，且与实验相符，并能解释强度的尺寸效应。
在实际应用中，式2.18中的采用断裂表面能，断裂表面能比自由表面能大。这是因为储存的弹性应变能除消耗于形成新表面外，还有一部分要消耗在塑性形变、声能、热能等方面。表2.1列出了一些单晶材料的断裂表面能。对于多晶陶瓷，由于裂纹路径不规则，阻力较大，测得的断裂表面能比单晶大。
表2.1 一些单晶的断裂表面能

晶体
温度（K）
表面断裂能（J/㎡）
云母（真空条件下）
298
4.5
LiF(在液氮中)
77
0.4
MgO(在液氮中)
77
1.5
CaF2(在液氮中)
77
0.5
BaF2(在液氮中)
77
0.3
CaCO3(在液氮中)
77
0.3
Si(在液氮中)
77
1.8
NaCl(在液氮中)
77
0.3
蓝宝石（1011）面
298
6
蓝宝石（1010）面
298
7.3
蓝宝石（1123）面
77
32
蓝宝石（1011）面
77
24
蓝宝石（2243）面
77
16
蓝宝石（1123）面
298
24

2.2.4奥罗万对断裂强度的修正
微裂纹理论应用于玻璃等脆性材料上取得了巨大的成功，但用到金属与非晶体聚合物时遇到了新的问题。实验得出的值比按（2.18）式算出的大得多。Orowan指出延性材料在裂纹尖端应力集中，虽然局部应力很高，但当应力超过屈服强度时，就会产生塑性形变，裂纹扩展必须首先通过塑性区，塑性形变要消耗大量能量，金属和陶瓷断裂过程的主要区别就在这里，因此金属的提高。他认为可以在Griffith断裂方程中引入塑性功来描述延性材料的断裂，即
2-20
由于塑性功＞＞表面能，上述修正公式可以表示为：
2-21
例如高强度金属≈103，普通强度钢=（104－106）。因此，对具有延性的金属类材料，控制着断裂过程。典型陶瓷材料=3×1011Pa，=1J/m2,如有长度c=1m的裂纹，则按（2.18）式，≈4×108Pa。对高强度钢，假定值相同，=103=103J/㎡，则=4×108Pa时，临界裂纹长度可达1.25㎜，比陶瓷材料的允许裂纹尺寸大了三个数量级。由此可见，陶瓷材料存在微观尺寸裂纹时便会导致在低于理论强度的应力下断裂。因此，塑性是阻止裂纹扩展的一个重要因素。
当裂纹尖端的局部应力（式2.11），达到理论结合强度式2.6时，裂纹就扩展：
2-22
整理上式可得：
2-23
可见，当时，上式成为式2.18，即Griffith断裂方程仅适用于裂纹尖端曲率半径ρ＜的情况，说明裂纹尖端只能产生很小的塑性形变。而当曲率半径ρ＞时，由于裂纹尖端塑性形变较大，控制着裂纹的扩展，必须采用奥罗万的修正公式。
当式2.23平均应力达到奥罗万修正值时，含裂纹材料就断裂：
2-24
整理上式得：
2-25
可见，裂纹尖端的曲率半径ρ随着塑性功的增大而增大，裂纹尖端的应力集中程度（式2.11）下降，应变能转变成塑性形变，而不是表面能，避免了材料的脆性断裂。
§2.3 裂纹的起源与扩展的能量判据
2.3.1、裂纹的起源
实际材料均带有或大或小、或多或少的微裂纹，其形成原因分析如下：
(1)由于晶体微观结构中存在缺陷，当受到外力作用时，在这些缺陷处就会引起应力集中，导致裂纹成核。在介绍位错理论时，曾列举位错运动中的塞积、位错组合、交截等都能导致裂纹成核，见图2.7。

图2.7 位错形成裂纹示意图
(2) 材料表面的机械损伤与化学腐蚀形成表面裂纹。这种表面裂纹最危险，裂纹的扩展常常由表面裂纹开始。有人研究过新制备的材料表面，用手触摸就能使强度降低约一个数量级；从几十厘米高度落下的一粒沙子就能在玻璃面上形成微裂纹。直径为6.4mm的玻璃棒，在不同的表面情况下测得的强度值见表2.3。大气腐蚀造成表面裂纹的情况前已述及。如果材料处于其他腐蚀性环境中，情况更加严重。此外，在加工、搬运及使用过程中也极易造成表面裂纹。
表2.2 不同表面情况对玻璃强度的影响
表面情况
强度（MPa）
工厂刚制得
受沙子严重冲刷后
用酸腐蚀除去表面缺陷后
45.5
14.0
1750

(3) 由于热应力形成裂纹。大多数无机材料是多晶多相体，晶粒在材料内部取向不同，不同相的热膨胀系数也不相同，这样就会因各方向膨胀或收缩不同而在晶界或相界出现应力集中，导致裂纹生成，如图2.8所示。

图2.8 由于热应力形成的裂纹
在制造使用过程中，由高温迅速冷却时，因内部和表面的温度差别引起热应力，导致表面生成裂纹。此外，温度变化时发生晶型转变的材料也会因体积变化而引起裂纹。
总之，裂纹的成因很多，要制造没有裂纹的材料是极困难的，因此假定实际材料都是裂纹体，是符合实际情况的。
2.3.2、裂纹扩展的能量判据
按照Griffith微裂纹理论，材料的断裂强度不是取决于裂纹的数量，而是取决于裂纹的大小，既由最危险的裂纹尺寸（临界裂纹尺寸）决定材料的断裂强度。一旦裂纹超过临界尺寸就迅速扩展使材料断裂.因为裂纹扩展力G=c2/E，c增加，G增加。而dWs/dc=2是常数，因此，裂纹一旦达到临界尺寸开始扩展，G就越来越大于2，直到破坏。所以对于脆性材料，裂纹的起始扩展就是破坏过程的临界阶段。因为脆性材料基本上没有吸收大量能量的塑性形变。
由于G愈来愈大于2，释放出来的多余能量一方面使裂纹扩展加速（扩展的速度一般可达到材料中声速的40%-60%）；另一方面，还能使裂纹增殖，产生分支形成更多的新表面。图2.9是四块玻璃板在不同负荷下用高速照相机拍摄的裂纹增殖情况。多余的能量也可能不表现为裂纹增殖，而是断裂面形成复杂的形状，如条纹、波纹、梳刷状等。这种表面极不平整，表面积比平的表面大得多，因此能消耗较多的能量。对于断裂表面的深入研究，有助于了解裂纹的成因及其扩散的特点，也能提供断裂过程中最大应力的方向变化及缺陷在断裂中的作用等信息。“断裂形貌学”就是专门研究断裂表面特征的科学。
图2.9 玻璃板在不同负荷下裂纹增殖示意图
2.3.3、防止裂纹扩展的措施
首先应使作用应力不超过临界应力，这样裂纹就不失稳扩展。例如在陶瓷材料基体中加入塑性的粒子或纤维制成金属陶瓷和复合材料。此外，人为地在材料中造成大量极细微的裂纹（小于临界尺寸）也能吸收能量，阻止裂纹扩展。例如韧性陶瓷就是在氧化铝中加入氧化锆，利用氧化锆的相变产生体积变化，在基体上形成大量微裂纹或可观的挤压内应力，阻止裂纹的扩展。

§2.4 材料的断裂韧性
微裂纹理论提出后，一直被认为只适用于玻璃、陶瓷这类脆性材料，对其在金属材料中的应用没有受到重视。从20世纪40年代起，金属材料的构件发生了一系列重大的脆性断裂事故。例如二战时期美国5000艘全焊接“自由轮”，发生了1000多次脆性破坏事故，其中238艘完全破坏，有的甚至断成两截。20世纪50年代，美国发射北极星导弹，其固体燃料发动机壳体采用了超高强度钢，但点火后不久就发生了爆炸。1952年ESSO公司原油罐因脆性断裂而倒塌。这些重大破坏事故引起材料力学工作者的震惊，这是传统材料力学设计无法解释的。从大量事故分析中发现，结构件中不可避免地存在着宏观裂纹，低应力下脆性破坏正是这些裂纹扩展的结果。传统的方法难于对断裂进行分析，不能定量地处理问题并直接用于设计。在这样的背景下，发展了一门新的力学分支—断裂力学。它是研究含裂纹物体的强度和裂纹扩展规律的科学，并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用断裂韧性作为判据，能真正用于为工程构件选择材料，它能告诉我们，在给定裂纹尺寸时，能允许多大的工作应力才不会发生脆性断裂；反之，当工作应力确定后，可根据断裂韧性判据确定不发生脆性断裂的最大裂纹尺寸。
2.4.1裂纹的扩展方式
裂纹有三种扩展方式或类型：掰开型（Ⅰ型）、错开型（Ⅱ型）及撕开型（Ⅲ型），见图2.10。其中掰开型扩展是低应力断裂的主要原因，也是实验和理论研究的主要对象，这里也主要介绍这种扩展类型。

图2.10 裂纹扩展的三种类型
我们用不同裂纹尺寸c的试件做拉伸实验，测出断裂应力，发现断裂应力与裂纹长度有如图2.11的关系，可表示为：

图2.11 裂纹长度与断裂应力的关系
=Kc 2-26
式中 为与材料、试件尺寸、形状、受力状态有关的系数。该式说明，当作用应力=或=时，断裂立即发生。这是由实验总结出的规律。说明断裂应力受现有裂纹长度制约。
2.4.2裂纹尖端应力场分析
1957年Irwin应用弹性力学的应力场理论对裂纹尖端附近的应力场进行了较深入的分析，对于Ⅰ型裂纹（图2.12）得到如下结果：

图2.12 裂纹尖端的应力分布
=cos（1-sinsin）
=cos（1+sinsin） 2-27
=cos sincos
式中，为与外加应力、裂纹长度、裂纹种类和受力状态有关的系数，称为应力场强度因子，其下标I表示I型扩展裂纹，单位为Pa·m1/2。（2.27）式也可以写成
=（） 2-28
式中，为半径向量，为角座标。
当＜＜，→0时，即为裂纹尖端处的一点，则
== ， 2-29
裂纹端部的应力场可以用KI来表示，使裂纹扩展的主要动力是。
2.4.3应力场强度因子及几何形状因子
由于2.25式中的就是裂纹尖端的应力集中σA （式2.11）,所以可将（2.29）式改写成：
2-30
KI是反映裂纹尖端应力场强度的强度因子。Y为几何形状因子，它和裂纹型式、试件几何形状有关。求KI的关键在于求Y。不同条件下的Y即为断裂力学的内容。Y也可以通过实验得到。各情况下的Y已汇编成册，供查索。图2.13列举出几种情况下的Y值，例如，图2.10（c）中三点弯曲式样，当s/w＝4时，几何形状因子为
Y=[1.93-3.07(c/w)＋1.45(c/w)2－25.07(c/w)3+25.8(c/w)4]

图2.13 几种情况下的Y值
(a)大而薄的平板，中心穿透裂纹；（b）边缘穿透裂纹；(c)三点弯曲试件
2.4.4 临界应力场强度因子及断裂韧性
按照经典强度理论，在设计构件时，断裂准则是σ≤[σ],即工作应力应小于或等于允许应力。允许应力[σ]＝σf /n 或σys / n , σf 为断裂强度，σys为屈服强度，n为安全系数。σf 与σys都是材料常数。上面已经谈到，这种设计方法和选材的准则没有抓住断裂的本质，不能防止低应力下的脆性断裂。按断裂力学的观点，必须提出新的设计思想和选材标准，为此采用一个新的表征材料特征的临界值。此临界值叫做平面应变断裂韧性，它也是一个材料常数，从破坏方式为断裂出发，这一判断可表示为
KI = Yσ c1/2 ≤ （2-31
就是说应力场强度因子小于或等于材料的平面应变断裂韧性KIc，所设计的构件才是安全的。这一判据内考虑了裂纹尺寸。
下面举一具体例子来说明两种设计选材方法的差异。有一构件，实际工作应力σ为1.30Gpa，有下列两种钢待选：
甲钢：σys ＝1.95GPa , KIC=45MPa*m1/2
乙钢：σys ＝1.56Gpa , KIC=45MPa*m1/2
根据传统设计 σ ×安全系数≤屈服强度。
甲钢的安全系数：n＝σys/σ ＝1.95Gpa/1.95Gpa ＝1.5
乙钢的安全系数：n＝1.56/1.30＝1.2
可见选择甲钢比选乙钢安全。
但是根据断裂力学观点，构件的脆性断裂是裂纹扩展的结果，所以应该计算KI是否超过KIc。据计算，Y＝1.5，设最大裂纹尺寸2c为1mm，则：
KI = Yσ c1/2=1.5*1.3*0.0011/2=61.66 （MPa*m1/2）≤KIC
对于甲钢，KI ≥KIC，会导致低应力下脆性断裂；对于乙钢，KI ≤KICc，所以选择乙钢是安全可靠的。也可以计算断裂强度：
甲钢的断裂强度：
乙钢的断裂强度：σc ＝1.67GPa
因为甲钢的断裂强度σc小于实际工作应力1.30 GPa，因此是不安全的，会导致低应力脆性断裂；乙钢的断裂强度σc大于实际工作用应力1.30 GPa，因而是安全可靠的。可见,两种设计方法得出截然相反的结果.按断裂力学观点设计,既安全又可靠,又能充分发挥材料的强度,合理使用材料.而按传统观点,片面追求高强度,其结果不但不安全,而且还埋没了乙钢这种非常合用的材料。
从上面分析可以看到KIc这一材料常数的重要性，有必要进一步研究其物理意义。
2.4.5裂纹扩展的动力与阻力
Irwin将裂纹扩展单位面积所降低的弹性应变能定义为应变能释放率或裂纹扩展动力，对于有内裂的薄板，裂纹扩展动力：
2-32
如果达到临界状态，则：，因为Y=，代入上式，得：
平面应力状态 2-33
平面应变状态 2-34
对于脆性材料，弹性应变能的降低等于表面能2γ，由上式可得：
平面应力状态 2-35
平面应变状态 2-36
可见KIC与材料本证参数E、γ、m等物理量有直接关系，因而KIC也是材料的本证参数，它反映了具有裂纹的材料对外界作用的一种抵抗力，即阻止裂纹扩展的能力，因此是材料的固有性质。
2.4.6 线弹性计算公式对试件尺寸的要求
上节所推导出来的断裂判据，是由线弹性力学推导出来的。实际上在裂纹前沿附近，由于高度的应力集中，临近临界状态之前就已经出现小区域的塑性形变，从而使此区域内的应力状态发生变化。如果此区域的大小与原有裂纹长度等尺寸相差不大，则很难将这种应力归结为线弹性的。因此，为了准确地引用由线弹性力学计算出的断裂判据，必须将可能出现的塑性小区域的大小限制在一定范围内。具体限制有两个方面：
（1） 裂纹前沿的塑性变形区尺寸对裂纹长度的要求
在Irwin应力场公式中，当θ＝0时（即在裂纹前沿附近），y方向的应力σy＝KI/(2πr)1/2，r为距裂纹尖端的距离。根据分析，该处的主应力也是σy，σy与r的关系见图2.14所示。

图2.14 裂纹尖端的塑性变形区
当r＝r0时，σy＝σys。由于屈服应力下，材料可容纳甚多的塑性变形，所以在r﹤r0的区域, σy也都等于σys,此区域即称为塑性变形区。据此可得塑性区尺寸,
（2.37）
对于给定的材料，应力强度因子KI愈大，塑性区尺寸r0愈大。
在平面应变状态下，考虑了原试样的侧向约束，实际的屈服强度更高一些，即，因此平面应变状态下，塑性区尺寸将减小为:
（2.38）
其极限尺寸(公式) (2.39)
J.F.Knott用边界配位法计算了紧凑拉伸式样和三点弯曲式样上，不同r/c处的σy分量的精确解:

并与近似解σ1＝KI/(2πr)1/2进行对照，得出相对误差 随r/c的变化规律,见图2.15。

图2.15 不同试样应力场的近似解与精确解的相对误差
从曲线可知，如果，则用三点弯曲试件时，相对误差小于6%，说明近似解法的误差不大，而且应力值偏大，使用时在安全一侧。
因此，如果限制塑性区尺寸r0，使得，近似求解线弹性应力场强度因子KI可行性成立，则：
裂纹长 （2.40）
如果满足这个条件，则称为小范围塑性形变。线弹性断裂判据仅适用于这种条件下。换句话说，用试样测KIc时，裂纹的长度不能太短，要满足上式。例如，对氧化铝瓷

对钢材
所以金属试样和高分子材料试样的预制裂纹不能太小。也就是说，试样的几何尺寸不能太小。
（2）对试样其他尺寸的要求
如果试样的前后表面不受外力，即，对于太薄的试样，只受σx及σy，则为平面应力状态。在这种情况下，倾斜截面上的剪应力τxy较大，所以发生塑性变形的可能性大，因而发生脆性断裂的倾向就小。这也是上节研究裂纹尖端塑性区尺寸时，平面应力状态的塑性区尺寸较大的原因。
一般试样有足够的厚度，在离试件表面一定距离的内部属于平面应变状态，而前后两个表面则属平面应力状态。表面上的较大的应力状态必然要影响到厚度中间的平面应变状态。因此，愈薄的试样，这种影响就愈大，故断裂判据的适用条件还要求试样的厚度
2.41
同样，还对试样的净宽，即开裂剩余部分的尺寸有所限制，即
2.42
式中，W为试样的宽度。
由于无机材料本身的屈服强度甚高，但断裂韧性KIC却较低，上述限制均不难满足，所以试样的尺寸可以做得相当小，高、宽仅几毫米。
2.4.7断裂韧性的测试方法
几种脆性材料断裂韧性的测试方法，所得结果大致能相互验证。单边直通切口梁法，易受切口钝化的影响，对于细晶陶瓷，测定的断裂韧性值往往偏大。双扭法在加载过程中，达到裂纹失稳断裂之前，具有一段裂纹缓慢扩展阶段，因而在失稳断裂一刹那，裂纹的形状与自然断裂的裂纹一样，不存在裂纹模拟问题，获得的数值较准确。缺点是试件尺寸较大，而且属于大裂纹，与陶瓷常见的裂纹有差别。Vicker压痕法是在抛光的陶瓷材料表面上压出压痕，根据不同载荷下的压痕、裂纹长度，可以计算出断裂韧性。

• §2.5 显微结构对脆性断裂的影响
讨论显微结生产和研究中对强度起着非常重要的作用，下面作简要介绍。
2.5.1晶粒尺寸
对于多晶材料，构对断裂的影响，主要考虑晶粒尺寸、晶粒形状、玻璃相及其气孔对强度的影响，这些因素在大量实验证明晶粒愈小，强度愈高，因此微晶材料就成为无机材料发展的一个重要方向。近年来已出现许多晶粒小于1m，气孔率近于0的高强度高致密无机材料，如表2.3所示。
表2.3 几种无机材料的断裂强度
材料
晶粒尺寸(μm)
气孔率（%）
强度(MPa)
高铝砖（99.2%Al2O3）
-
24
13.5
烧结Al2O3（99.8% Al2O3）
48
~0
266
热压Al2O3（99.9% Al2O3）
3
<0.15
500
热压Al2O3（99.9% Al2O3）
<1
~0
900
单晶Al2O3

0
2000
烧结MgO
20
1.1
70
热压MgO
<1
0
340
单晶MgO
-
0
1300

实验证明，陶瓷材料断裂强度与晶粒大小的关系与金属类似，服从Hall-Patch关系：
2-43
式中，0和k1.为材料常数，d为晶粒直径。
如果起始裂纹受晶粒限制，其尺寸与晶粒度相当，则脆性断裂与晶粒度的关系为
• f =k2d-1/2 2.44
对于这一关系解释如下：多晶三氧化二铝晶粒的断裂表面能cry=46J/m2,而晶界的int=18J/m2，由于晶界比晶粒内部弱，所以多晶材料破坏多是沿晶界断裂。细晶材料晶界比例大，沿晶界破坏时，裂纹的扩展要走迂回曲折的道路。晶粒愈细，此路程愈长。此外，多晶材料中初始裂纹尺寸与晶粒度相当，晶粒愈细，初始裂纹尺寸就愈小，这样就提高了临界应力。
• 2.5.2晶粒形状与晶界的影响
• 陶瓷材料大都要加入烧结助剂，形成一定量的低熔点晶界相促进致密化。晶界相的成分、性质及数量对强度有显著影响。晶粒形状应该能避免应力集中，对于单相多晶陶瓷来说，晶粒形状最好是等轴，尺寸均匀。晶界相应能避免裂纹扩展过界并能松弛应力场。晶界玻璃相对强度不利，应尽量减少晶界玻璃相，并通过热处理使其晶化。

• 2.5.3气孔的影响
大多数无机材料的弹性模量和强度都随气孔率的增加而降低。这是因为气孔不仅减小了负荷面积，而且在气孔邻近区域应力集中，减弱材料的负荷能力。
断裂强度与气孔率P的关系可由下式表示
f=0exp(-nP) 2-45
n为常数，一般为4-7。0为没有气孔时的强度。从（2.21）式可知，当气孔率约为10%时，强度将下降为没有气孔时强度的一半。这样大小的气孔率在一般无机材料中是常见的。透明氧化铝陶瓷的断裂强度与气孔率的关系示于图2.16和（2.45）式的规律比较符合。
也可以将晶粒尺寸和气孔率的影响结合起来考虑，表示为
f=(0+k1d-1/2)e-nP 2-46
除气孔率外，气孔的形状及分布也很重要。通常气孔多存在于晶界上，这是特别有害的，它往往成为开裂源。气孔除有害一面外，在特定情况下，也有有利的一面。就是存在高的应力梯度时（例如由热震引起的应力），气孔能起到容纳变形，阻止裂纹扩展的作用。
其它，如杂质的存在，也会由于应力集中而降低强度。存在弹性模量较低的第二相也会使强度降低。

图2.16 透明氧化铝陶瓷断裂强度与气孔的关系

2.6无机材料强度的统计性质
2.6.1无机材料强度波动分析
根据Griffieh微裂纹理论，断裂起源于材料中存在的最危险的裂纹。材料的断裂韧性、断裂应力（或临界应力）与特定受拉应力区中最长的一条裂纹的裂纹长度有如下关系
2.47
材料的断裂韧性是材料的本征参数，几何形状因子Y在给定实验方法后也是常数。由上式可知，材料的临界应力σc只随材料中最大裂纹长度c变化。
由于裂纹的长度在材料内的分布是随机的，有大有小，所以临界应力也是有大有小，具有分散的统计性，因此在材料抽样试验时，有的试样σc大，有的小。
材料的强度还与试件的体积有关。试件中具有一定长度c的裂纹的几率与试件体积成正比。设材料中，平均每10cm3有一条长度为（最长裂纹）的裂纹，如果试件体积为10cm3，则出现长度为的裂纹的几率为100%，其平均强度为σc。如果试件体积为1cm3,10个试件中只有一个上有一条的裂纹，其余九个只含有更小的裂纹。结果，这十个试件的平均强度值必然大于大试样的σc。这就是测得的陶瓷强度具有尺寸效应的原因。
此外，通常测得的材料强度还和裂纹的某种分布函数有关。裂纹大小、疏密使得有的地方σc大，有的地方σc小，也就是说材料的强度分布也和断裂应力的分布有密切关系。另外，应力分布也与受力的方式有关，例如，同一种材料，抗弯强度比抗拉强度高。这是因为前者的应力分布不均匀，提高了断裂强度。平面应变受力状态的断裂强度比平面应力状态下的断裂强度为高。
2.6.2强度的统计分析
将一体积为V的试件分为若干个体积为ΔV的单元，每个单元中都随机地存在裂纹。做破坏实验，测得，，……，σcn然后按断裂强度的大小排队分组，以每组的单元数为纵坐标画图得示意图2.17。