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十字相乘法内容和练习题

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因式分解的——十字相乘法
关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此，我们得到x2+（p+q）x + pq=（x+p）(x+q).
练习：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 1 3 1 -1 1 -3
2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1
1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）
=5 =7 = -5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：
a1 c1
a2 × c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。
像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2 把6x2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
3 × -5
2×（-5）+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。

解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
1 × 5
1×5+1×（-3）=2
所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
5 × -4
1×（-4）+5×2=6

解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。

解 （x-y）（2x-2y-3）-2
=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2
=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1
=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3
=（x-y-2）（2x-2y+1）。
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

练习1.
1．用十字相乘法因式分解：
（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；

（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解：
（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2

小结
1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1 c1
在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜
a2 c2
向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”

（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。
（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。
练习2.
1．用十字相乘法分解因式：
（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6；

（4）3a2-7a-6； （5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2；

（7）10x2-21xy+2y2； （8）8m2-22mn+15n2。

2．把下列各式分解因式：
（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10；

（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。

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