资源描述
第11课时 数列在日常经济生活中的应用
1.把握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用.
2.了解银行存款的种类及存款计息方式.
3.体会“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付款”等日常经济生活中的实际问题.
4.感受从数学中发觉美的乐趣,体验成功解决问题的欢快,激发学习数学的爱好.
某人有七位伴侣.第一位伴侣每天晚上都去他家看他,其次位伴侣每隔一个晚上到他家去,第三位伴侣每隔两个晚上去他家串门,第四位伴侣每隔三个晚上去他家做客,依次类推,直至第七位伴侣每隔六个晚上在他家消灭.这七位伴侣昨晚在仆人家中碰面,请问他们还会在同一个晚上在仆人家中碰面吗?我们来分析下,第一位伴侣每天晚上都在;其次位伴侣第2,4,6,8,…天在,是首项为2,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n;第三位伴侣第3,6,9,…天在,是首项为3,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n;第四、五、六、七位伴侣在的时间的通项公式分别为an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他们在同一晚上消灭,这个数应为这六个数列的公共项,即2,3,4,5,6,7的公倍数,而2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420,因此第420,840,1260,…天晚上他们会同时在仆人家消灭.
问题1:数列应用问题的常见模型
(1) :一般地,假如增加(或削减)的量是一个固定的具体量时,那么该模型是等差模型,增加(或削减)的量就是公差,其一般形式是:an+1-an=d(d为常数).
(2) :一般地,假如增加(或削减)的百分比是一个固定的数时,那么该模型是等比模型.
(3) :在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型.
(4) :假如简洁找到该数列任意一项 an+1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的学问求解问题.
问题2:解题时怎样推断是用等差数列还是等比数列来求解?
一般涉及递增率什么的,用到 ;涉及依次增加或者削减什么的,用到 ,或者有的问题是通过转化得到 的,在解决问题时要往这些方面去联系.
问题3:与银行利率相关的几类模型
(1)银行储蓄单利公式:
利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和 .
(2)银行储蓄复利公式:
利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和 .
(3)产值模型:
原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值 .
(4)分期付款模型
a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b=r(1+r)n·a(1+r)n-1.(尝试去证明)
问题4:数列综合应用题的解题步骤
(1) ——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
(2) ——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.
(3) ——分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.
(4) ——将所求结果还原到实际问题中.
具体解题步骤如下框图:
1.夏季高山上的气温从山脚起每上升100米降低0.7度,已知山脚气温为26度,山顶气温为14.1度,那么此山相对山脚的高度为( )米.
A.1600 B.1700 C.1800 D.1900
2.依据市场调查结果,猜测某种家用商品从年初开头的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式:Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),按此猜测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是( ).
A.5、6月 B.6、7月 C.7、8月 D.8、9月
3.阿明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息和为 万元.(精确到0.001)
4.一件家用电器,现价2000元,实行分期付款,每期付款数相同,购买后一个月付款一次,共付12次,一年后还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少元(精确到0.01元)?
等差数列模型
某旅游公司年初用98万元购买一艘游艇,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年旅游收益50万元.
(1)问第几年开头获利?
(2)若干年后,有两种处理方案:
①年平均获利最大时,以26万元出售该游艇;
②总纯收入获利最大时,以8万元出售该游艇.
问哪种方案合算.
分期付款的等比数列模型
陈老师购买商品房92 m2,单价为10000元/m2,首付432000元以后向银行申请住房商业贷款.经协商住房贷款实行分期付款,经过一年付款一次,……共付10次,10年后付清,假如按年利率7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?(参考下列数据:1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216)
易错易混点(第几年的中低价房的面积与累计面积)
假设某市:2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.估计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)哪年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%?
有若干台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的小麦,若同时投入工作到收割完毕需要24小时.现在这些收割机是每隔相同的时间挨次投入工作的,每一台投入工作后都始终工作到小麦收割完.假如第一台收割机时间是最终一台的5倍,求用这种方法收割完这片土地的小麦需要多长时间?
用分期付款方法购买电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完,若交付150元以后的第一个月开头算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花多少钱?
为了建设和谐社会,我国打算治理垃圾.经调查,近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3%,到2021年底堆存垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓.
(1)问2004年我国城市垃圾约有多少亿吨?
(2)假如从2022年起,每年处理上年堆存垃圾的110,到2021年底,我国城市垃圾约有多少亿吨?可节省土地多少亿平方米?
1.某放射性物质的质量每天衰减3%,若此物质衰减到其质量的一半以下,则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97=-0.0132,lg 0.5=-0.3010)( ).
A.22 B.23 C.24 D.25
2.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为( ).
A.9 B.10 C.19 D.29
3.小王每月除去全部日常开支,大约结余a元.小王打算接受零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本息和.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为 元.
4.某商场今年销售计算机5000台.假如平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
1.(2022年·北京卷)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为 ( )
A.5
B.7
C.9
D.11
考题变式(我来改编):
2.(2011年·安徽卷)某国接受养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家赐予优待的计息政策,不仅接受固定利率,而且计算复利.这就是说,假如固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,其次年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.
考题变式(我来改编):
第11课时 数列在日常经济生活中的应用
学问体系梳理
问题1:(1)等差模型 (2)等比模型 (3)混合模型 (4)递推模型
问题2:等比数列 等差数列 等差或等比数列
问题3:(1)y=a(1+xr) (2)y=a(1+r)x (3)y=N(1+p)x
问题4:(1)审题 (2)分解 (3)求解 (4)还原
基础学习沟通
1.1700 从山脚到山顶气温的变化成等差数列,首项为26,末项为14.1,公差为-0.7,设数列的项数为n,则14.1=26+(n-1)×(-0.7),解得n=18,所以山的高度为h=(18-1)×100=1700(米).
2.C 由an=Sn-Sn-1解得an=130(-n2+15n-9)(n≥2),再解不等式130(-n2+15n-9)>1.5,得6<n<9.
3.6.246 10年后的本息和为:a10=5(1+0.0225)10≈6.246(万元).
4.解:设每期应付款x元,
则第1期付款后欠款2000(1+0.008)-x,
第2期付款后欠款(2000×1.008-x)×1.008-x=2000×1.0082-1.008x-x,
…
第12期付款后欠款2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x,由于第12期付款后欠款为0,所以2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x=0,
故x=2000×1.008121.00812-11.008-1≈175.46(元),即每期应付款175.46元.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)由题设知每年费用构成以12为首项,4为公差的等差数列,设纯收入与年数的关系为f(n).
∴f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=40n-2n2-98.
获利即为f(n)>0,即n2-20n+49<0,
解之得10-51<n<10+51,即2.9<n<17.1.
又n∈N+,∴n=3,4,…,17.
∴当n=3时,即第3年开头获利.
(2)①年平均收入f(n)n=40-2(n+49n),当n=7时,年均获利最大,总收益为84+26=110万元.
②当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元.
比较两种方案,总收益都为110万元,但第一种方案需7年,其次种方案需10年,故选择第一种.
【小结】建立数列模型与建立函数模型一样,应抓住数量关系,结合数学方法,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表示.
探究二:【解析】设每年应付款x元,那么到最终一次付款时(即购房十年后),第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元,其次年付款及所生利息之和为x×1.0758元,…,第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元,第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为[10000×92-432000]×1.07510=488000×1.07510 (元).因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=488000×1.07510 (元),所以x=488000×1.07510×1-1.0751-1.07510≈488000×2.061×0.0751.061≈71096(元).
所以每年需交款71096元.
【小结】 分期付款问题,实质上是等比或等差数列求和问题,解题的视角是建立等量关系式.
探究三:【解析】(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10,即到2021年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设第n年建筑的中低价房满足题意,则有400(1+8%)n-1·85%<25n2+225n.解出n即可.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确. (2)问中应是第几年的中低价房的面积而不是累计面积.
于是,正确解答为:
(1)同错解部分.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由于n是正整数,将1,2,…依次代入可得满足上述不等式的最小正整数n=6,即到2009年底,当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%.
【小结】对应用题的审题肯定要认真认真,否则很简洁出错.
思维拓展应用
应用一:依题意,这些联合收割机投入工作的时间构成一个等差数列,按规定的方法收割,所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间,即数列的首项.
设这n台收割机工作的时间依次为a1,a2,…,an小时,依题意,{an}是一个等差数列,且每台收割机每小时的工作效率为124n,则有a1=5an, ①a124n+a224n+…+an24n=1, ②
由②得a1+a2+…+an=24n,即n(a1+an)2=24n,
∴a1+an=48. ③
由①,③联立,解得a1=40.
故用这种方法收割完这片土地上的小麦共需40小时.
应用二:购买时付150元,欠1000元,每月付50元,分20次付清.设每月付款数顺次成数列{an},则a1=50+1000×1%=60(元),a2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1(元),a3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5×2(元),…,a10=50+(1000-50×9)×1%=55.5=60-0.5×9(元),an=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1≤n≤20),
∴{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,∴总数=S20+150=20a1+20×192×d+150=1255(元),∴第十个月该交55.5元,全部付清实际花1255元.
应用三:(1)设2004年我国城市垃圾约有a亿吨,则有
a+a(1+3%)+a(1+3%)2+…+a(1+3%)9=60,
∴a·1-1.03101-1.03=60,∴a=60×0.031.0310-1≈5.2(亿吨).
(2)2022年底有垃圾60×910+1亿吨;
2021年底有垃圾(60×910+1)×910+1=60×92102+910+1;
2022年底有垃圾(60×92102+910+1)×910+1=60×93103+92102+910+1;
……
2021年底有垃圾60×(910)6+(910)5+(910)4+…+1=60×(910)6+1-0.961-0.9≈36.6(亿吨).
可节省土地23.4×560≈2(亿平方米).
基础智能检测
1.B 依题意有(1-3%)n<0.5,所以n>lg0.5lg0.97≈22.8.故选B.
2.B 1+2+3+…+n<200,即n(n+1)2<200.明显n=19时,剩余钢管最少,此时最多用去19×202=190根,剩余10根.
3.78ar 依题意得,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+…+3ar+2ar+ar=78ar.
4.解:依据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以从今年起,每年的销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.
于是得到5000(1-1.1n)1-1.1=30000,整理得1.1n=1.6,
两边取对数,得nlg 1.1=lg 1.6,
用计算器算得n=lg1.6lg1.1≈5.
答:大约5年可以使总销售量达到30000台.
全新视角拓展
1.C 由题意知,此棵果树前m年的平均产量为Smm(m∈N+,1≤m≤11),为分式形式,数形联想,该值可转化为散点图中的点(m,Sm)与原点(0,0)连线的斜率,即km=Smm=Sm-0m-0,观看散点图,可知m=9时,km达到最大,即前9年的年平均产量最高,故m的值为9.选C.
2.解:(1)我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).
(2)T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式,得
Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…
=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an, ①
在①式两端同乘1+r,得
(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r). ②
②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an
=dr[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an.
即Tn=a1r+dr2(1+r)n-drn-a1r+dr2.
假如记An=a1r+dr2(1+r)n,Bn=-a1r+dr2-drn,则Tn=An+Bn.
其中{An}是以a1r+dr2(1+r)为首项,以1+r(r>0)为公比的等比数列;
{Bn}是以-a1r+dr2-dr为首项,-dr为公差的等差数列.
思维导图构建
复利 等差 等比
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