河北省石家庄市2021届高三下学期二模考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

2021届石家庄高中毕业班其次次模拟考试试卷
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则
A． B． C． D．
2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是
A． B． C． D．
3、已知复数满足(其中i为虚数单位)，则的虚部为
A． B． C． D．
4、等比数列的前n项和为，已知，则
A． B． C． D．
5、设变量满足约束条件，则目标
函数的最小值为
A．6 B．7 C．8 D．23
6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为
A． B． C． D．
7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．4
8、执行右下方的程序框图，假如输入的，那么输出的的值为
A． B．
C． D．
9、在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半
轴重合，终边过点，则
A． B． C． D．
10、在四周体S-ABC中，平面，
则该四周体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
11、已知F是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限
内的零点，若，则的值是
A． B． C． D．
12、设函数，记
，则下列结论正确的是
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知向量，且与共线，则x的值为
14、已知，则
15、设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为
16、在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且
若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且满足
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求的值。

18、（本小题满分12分）
4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书训练活动，为了解本校同学课外阅读状况，学校随机抽取了100名同学对其课外阅读时间进行调查，下面是依据调查结果绘制的同学日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的同学称为“读书谜”，低于60分钟的同学称为“非读书谜”

（1）依据已知条件完成下面的列联表，并据此推断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？

（2）将频率视为概率，现在从该校大量同学中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）

19、（本小题满分12分）
已知平面。
（1）求证：平面；
（2）M为线段CP上的点，当时，求二面角的余弦值。

20、（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，离心率为。
（1）求椭圆的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y轴于点，若，求直线的方程。

21、（本小题满分12分）
已知函数是自然对数的底数，。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于
点P，E为上一点，交于点F。
（1）求证：四点共圆；
（2）求证：.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：。
（1）直线的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线的曲线交点的极坐标（）

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。

2021年石家庄市高三数学其次次模拟考试
（理科答案）
一、 选择题：
1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB
二、 填空题：
13. 14.
15 16.
三、解答题：

17.解: （Ⅰ）
…………………………1分
…………………………3分

∴ …………………………5分
∴ …………………………6分
(Ⅱ) 由得a c＝4…………………………8分.
由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分
∴ a＋c …………………………12分

18．解（1）完成下面的列联表如下

非读书迷
读书迷
合计
男
40
15
55
女
20
25
45
合计
60
40
100
……………… 3分
≈8.249
8.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。...……………..6分
（2）视频率为概率.则从该校同学中任意抽取1名同学恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分
从而分布列为
X
0
1
2
3
P

.……………… 10分
E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分

19.（1）证明：
由于PA⊥平面ABCD，PA平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分
又由于平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP. ……………………………………………………4分

（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，
z
x
y
则A（0，0，0），B（0，0，1），
C（4，0，4），P（0，4，0），则，，，.………………………………6分

设M（x, y , z), ，则.
所以，，
，.
由于BM⊥AC，所以，，解得，
所以M，. …………………………………………8分
设为平面ABM的法向量，
则，又由于，
所以.
令得为平面ABM的一个法向量.
又由于AP⊥平面ABC，所以为平面ABC的一个法向量.…………………10分

，
所以二面角C—AB—M的余弦值为.…………………………12分

法2：
在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，
在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，
由于AP⊥平面ABCD，
所以HM⊥平面ABCD.
又由于AC平面ABCD，
所以HM⊥AC.
又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，
所以AC⊥平面BHM.
所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分
在直角中，AH=，
又AC=，所以.
又HM∥AP，所以在中，.
在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .
由于AB∥CD，所以MN∥BA.
连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.
所以AB⊥AD，AB⊥AN.
所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分

在中，过点N作NS∥PA交DA于S，则，
所以AS=，，所以NA=.
所以.
所以二面角C—AB—M的余弦值为. …………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由题意得，解得，．
所以椭圆的方程是． ……………………… 4分
（Ⅱ）设直线的方程设为，设，
联立消去得
则有，，
由；
…………… 6分
设的中点为，则，
由于直线于直线垂直，所以得 ………… 8分

由于所以,
所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，
………10分
由和解得
，
直线的方程为或. ………… 12分

解法二
（Ⅱ）设直线的斜率为，设，的中点为，
所以 ，，
由题意，
式式得

又由于直线与直线垂直，所以
由解得 …………… 6分
由于所以,
所以， ………8分

设直线的方程设为，
联立消去得
，，
由

………10分

，解得，满足.
，由得直线的方程为或. ……… 12分
21.解析：（1）.
若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.........2分
若，当时，，在上单调递增.
综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为 .
........................................................ 4分
（2）由于，所以，
当时，，故 ————①......6分

令，则
函数在上单调递增，而
所以在上存在唯一的零点，
故在上存在唯一的零点. .............................8分
设此零点为，则.
当时，；当时，；
所以，在上的最小值为.由可得 .........................................................10分

所以，由于①式等价于.
故整数的最大值为2. .............................................12分

22．解析：（1）连接，，
由于，所以，.................2分
又由于，
则，
所以四点共圆.………………5分
（2）由于 和是的两条割线，
所以，……………7分
由于四点共圆,
所以，又由于，
则∽，
所以，即
则.………………10分

23．解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为一般方程，……………………2分
将代入得.…………4分
（2）方法一：的一般方程为.………………6分
由解得：或………………8分
所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分
方法二：由，……………6分
得：，又由于………………8分
所以或
所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分
24．解析：（1）当时，
无解，
，
………………………3分
综上，不等式的解集为.………………5分
（2），转化为
令，
由于a>0,所以，
………………8分
在a>0下易得,令得………………10分