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第1讲 相像三角形的判定与性质
A级训练
(完成时间：10分钟)
1.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC＝________.
2.(2022·广东)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝ 9 .
3.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则＝________.
4.如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．
5.在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，过C作CE⊥BD于E，则BE＝______________.
6.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝ 5 .
B级训练
(完成时间：17分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6 cm，CD＝9 cm，则EF＝____________.
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AE∶AF＝3∶4，则AC∶AB＝ 3∶4 .
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝ .
4.[限时2分钟，达标是( )否( )]
如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，已知CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于 5 .
5.[限时2分钟，达标是( )否( )]
如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，则S△ADE∶S△CDE＝ 2∶1 .
6.[限时2分钟，达标是( )否( )]
如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝ 2 . 7.[限时2分钟，达标是( )否( )]
如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.
8.[限时3分钟，达标是( )否( )]
(2022·广东肇庆一模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AE，D、E为垂足，若AE＝4，BE＝1，则AC＝ 10 .
第十三章 几何证明选讲
第1讲 相像三角形的判定与性质
【A级训练】
1．2 解析：在Rt△ADB中，DB＝＝，
依题意得，△ADB∽△ACE，所以＝，
可得EC＝＝2.
2．9 解析：在平行四边形ABCD中，
由于EB＝2AE，
所以＝＝，故＝3.
由于AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，
所以＝()2＝9.
3. 解析：如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，
又在△BDG中，BE＝DE，
即EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，
因此＝.
4. 解析：由于M，N分别是AB、BC中点，
故MN∥AC，MN＝AC，
所以△MON∽△COA，
所以＝()2＝.
5. 解析：由直角三角形射影定理可知BC2＝BE·BD，所以BE＝＝.
6．5 解析：设AD＝x，则AC＝1＋x，BD＝＝，AB＝，
由余弦定理可知cos45°＝＝＝，
整理得3x2－10x－25＝0，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
【B级训练】
1. cm 解析：在△ABC中，由于EF∥AB，
所以＝.
在△DBC中，由于EF∥CD，所以＝.
两式相加，得＋＝＋＝1，
所以＋＝1，故EF＝ cm.
2．3∶4 解析：由AD⊥BC可知△ABD和△ADC均为直角三角形．在Rt△ABD中，由射影定理可得AD2＝AE·AB.
同理，AD2＝AF·AC，则AE·AB＝AF·AC，
因此＝＝.
3. 解析：由勾股定理得：BC＝＝5，
由射影定理得：CD＝＝，
由三角形面积得：AD＝＝，
由三角形面积得：DE＝＝.
4．5 解析：由已知可知△ABC为直角三角形，
则CD2＝AD·BD，而AD＝＝＝2，
从而AB＝AD＋BD＝10，故圆O的半径为5.
5．2∶1 解析：由于DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC，
所以＝()2＝，
所以＝，所以＝.
设D到边AC的距离为h，
则＝＝＝.
6．2 解析：由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，
所以△ABE∽△ADC，
所以＝.
又AC＝4，AD＝12，AB＝6，
所以AE＝＝＝2.
7.a 解析：连接DE和BD，依题意知，EB∥DC，EB＝DC＝，CB⊥AB，
所以EBCD为矩形，所以DE⊥AB，
又E是AB的中点，
所以EF＝AD＝a.
8．10 解析：由于在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AE，
所以∠EAD＋∠ADE＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，
所以∠EAD＝∠BDE.
由于∠AED＝∠DEB＝90°，
所以△AED∽△DEB.
由于AE＝4，BE＝1，
所以ED2＝AE·BE＝4，即ED＝2，
依据勾股定理得：
AD＝＝2，BD＝＝，
同理△ABD∽△CAD，即AD2＝BD·DC，
所以DC＝＝4，
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋DC2＝100，则AC＝10.
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