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树结构习题及答案

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第5章 树
【例5-1】写出如图5-1所示的树的叶子结点、非终端结点、每个结点的度及树深度。
A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

图5-1

解：
（1）叶子结点有：B、D、F、G、H、I、J。
（2）非终端结点有：A、C、E。
（3）每个结点的度分别是：A的度为4，C的度为2，E的度为3，其余结点的度为0。
（4）树的深度为3。
【例5-2】一棵度为2的树与一棵二叉树有什么区别？
解：度为2的树有两个分支，但分支没有左右之分；一棵二叉树也有两个分支，但有左右之分，左右子树的次序不能交换。
【例5-3】树与二叉树有什么区别？
解：区别有两点：
（1）二叉树的一个结点至多有两个子树，树则不然；
（2）二叉树的一个结点的子树有左右之分，而树的子树没有次序。
【例5-4】分别画出具有3个结点的树和三个结点的二叉树的所有不同形态。
解：如图5-2(a)所示，具有3个结点的树有两种不同形态。

图5-2(a)

如图5-2(b)所示，具有3个结点的二叉树有以下五种不同形态。

图5-2(b)

【例5-5】如图5-3所示的二叉树，试分别写出它的顺序表示和链接表示（二叉链表）。

解：
（1）顺序表示。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
a
b
c
d
e
^
^
^
^
f
g
（2）该二叉树的二叉链表表示如图5-4所示。
a

b

c

d

∧

e

f

g

图5-4

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

【例5-6】试找出满足下列条件的所有二叉树：
（1）先序序列和中序序列相同；
（2）中序序列和后序序列相同；
（3）先序序列和后序序列相同。
解：
（1）先序序列和中序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无左孩子的非空二叉树；
（2）中序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无右孩子的非空二叉树；
（3）先序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或仅有一个结点的二叉树。
b

a

c

d

e

f

图5-5

【例5-7】如图5-5所示的二叉树，要求：
（1）写出按先序、中序、后序遍历得到的结点序列。
（2）画出该二叉树的后序线索二叉树。
解：
（1） 先序遍历序列：ABDEFC
中序遍历序列：DEFBAC
后序遍历序列：FEDBCA
（2）其后序线索二叉树如图5-6所示。
NULL

c

a

b

d

e

f

图5-6

A

图5-7

B

C

D

E

F

G

H

I

K

L

M

J

【例5-8】将图5-7所示的树转换为二叉树。

解：第一步，加线。第二步，抹线。第三步，旋转。过程如图5-8所示。
A

图5-8(a) 第一步　加线

B

C

D

E

F

G

H

I

K

L

M

J

A

图5-8(b) 第二步　抹线

B

C

D

E

F

G

H

I

K

L

M

J

A

B

图5-8(c) 第三步　旋转

C

F

D

K

G

E

L

H

M

I

J

A

B

C

D

E

F

H

I

J

图5-9

【例5-9】将如图5-9所示的二叉树转换为树。
解： 第一步，加线。第二步，抹线。第三步，调整。过程如图5-10所示。

A

B

D

H

C

F

E

J

I

B

A

C

D

E

F

H

I

J

第一步　　　　　　　　　第二步　　　　　　　　　第三步

B

A

C

D

E

F

H

I

J

图5-10

【例5-10】将如图5-11所示的森林转换成二叉树。

图5-11

C

D

E

F

G

A

B

H

I

L

J

K

解： 步骤略，结果如图5-12所示。
C

D

E

F

G

A

B

H

I

L

J

K

图5-12

【例5-11】假定用于通信的电文由8个字符A、B、C、D、E、F、G、H组成，各字母在电文中出现的概率为5％、25％、4％、7％、9％、12％、30％、8％，试为这8个字母设计哈夫曼编码。
解： 根据题意，设这8个字母对应的权值分别为（5，25，4，7，9，12，30，8），并且n=8。
第一步：

25

5

4

7

9

12

30

8

（1）设计哈夫曼树的步骤如图5-13所示。

第四步：

25

7

9

12

30

8

15

5

4

9

18

第五步：

25

7

9

12

30

8

15

5

4

9

18

27

第六步：

25

30

9

5

4

9

18

7

12

8

15

27

43

第二步：

25

7

9

12

30

5

4

9

8

第三步：

25

7

9

12

30

5

4

9

8

15

第七步：

25

30

9

5

4

9

18

7

12

8

15

27

43

57

第八步：

25

9

5

4

9

18

43

30

7

12

8

15

27

57

100

图5-13

（2）设计哈夫曼编码
利用第八步得到的哈夫曼树，规定左分支用0表示，右分支用1表示，字母A、B、C、D、E、F、G、H的哈夫曼编码如下表示：
A:0011 B:01 C:0010 D:1010
E:000 F:100 G:11 H:1011
习题5
一、单项选择题
1. 在一棵度为3的树中，度为3的结点数为2个，度为2的结点数为1个，度为1的结点数为2个，则度为0的结点数为（ 1. C）个。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 假设在一棵二叉树中，双分支结点数为15，单分支结点数为30个，则叶子结点数为（2. B ）个。
A. 15 B. 16 C. 17 D. 47
3. 假定一棵三叉树的结点数为50，则它的最小高度为（3. C ）。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 在一棵二叉树上第4层的结点数最多为（ 4. D）。
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 用顺序存储的方法将完全二叉树中的所有结点逐层存放在数组中R[1..n]，结点R[i]若有左孩子，其左孩子的编号为结点（5. B）。
A. R[2i+1] B. R[2i] C. R[i/2] D. R[2i-1]
6. 由权值分别为3,8,6,2,5的叶子结点生成一棵哈夫曼树，它的带权路径长度为（6. D ）。
A. 24 B. 48 C. 72 D. 53
7. 线索二叉树是一种（ 7. C）结构。
A. 逻辑 B. 逻辑和存储 C. 物理 D. 线性
8. 线索二叉树中，结点p没有左子树的充要条件是（ 8. B）。
A. p->lc=NULL B. p->ltag=1
C. p->ltag=1 且p->lc=NULL D. 以上都不对
9. 设n , m 为一棵二叉树上的两个结点，在中序遍历序列中n在m前的条件是（9. B）。
A. n在m右方 B. n在m 左方
C. n是m的祖先 D. n是m的子孙
10. 如果F是由有序树T转换而来的二叉树，那么T中结点的前序就是F中结点的（10. B ）。
A. 中序 B. 前序 C. 后序 D. 层次序
11. 欲实现任意二叉树的后序遍历的非递归算法而不必使用栈，最佳方案是二叉树采用（ 11. A）存储结构。
A. 三叉链表 B. 广义表 C. 二叉链表 D. 顺序
12. 下面叙述正确的是（ 12. D）。
A. 二叉树是特殊的树
B. 二叉树等价于度为2的树
C. 完全二叉树必为满二叉树
D. 二叉树的左右子树有次序之分
13. 任何一棵二叉树的叶子结点在先序、中序和后序遍历序列中的相对次序（13. A ）。
A. 不发生改变 B. 发生改变
C. 不能确定 D. 以上都不对
14. 已知一棵完全二叉树的结点总数为9个，则最后一层的结点数为（14. B ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15. 根据先序序列ABDC和中序序列DBAC确定对应的二叉树，该二叉树（ 15. A ）。
A. 是完全二叉树 B. 不是完全二叉树
C. 是满二叉树 D. 不是满二叉树
二、判断题
1. 二叉树中每个结点的度不能超过2，所以二叉树是一种特殊的树。 （1.×　）
2. 二叉树的前序遍历中，任意结点均处在其子女结点之前。 （ 2.√ ）
3. 线索二叉树是一种逻辑结构。 （　3.×）
4. 哈夫曼树的总结点个数（多于1时）不能为偶数。 （4.√）
5. 由二叉树的先序序列和后序序列可以唯一确定一颗二叉树。 （5.×）
6. 树的后序遍历与其对应的二叉树的后序遍历序列相同。 （6.√）
7. 根据任意一种遍历序列即可唯一确定对应的二叉树。 （7.√）
8. 满二叉树也是完全二叉树。 （　8.√）
9. 哈夫曼树一定是完全二叉树。 （9.×）
10. 树的子树是无序的。 （10.×　）
三、填空题
1. 假定一棵树的广义表表示为A（B（E），C（F（H，I，J），G），D），则该树的度为_____，树的深度为_____，终端结点的个数为______，单分支结点的个数为______，双分支结点的个数为______，三分支结点的个数为_______，C结点的双亲结点为_______，其孩子结点为_______和_______结点。1. 3，4，6，1，1，2，A，F，G
2. 设F是一个森林，B是由F转换得到的二叉树，F中有n个非终端结点，则B中右指针域为空的结点有_______个。2. n+1
3. 对于一个有n个结点的二叉树，当它为一棵________二叉树时具有最小高度，即为_______，当它为一棵单支树具有_______高度，即为_______。3. 完全，，最大，n
4. 由带权为3，9，6，2，5的5个叶子结点构成一棵哈夫曼树，则带权路径长度为___。4. 55
5. 在一棵二叉排序树上按_______遍历得到的结点序列是一个有序序列。5. 中序
6. 对于一棵具有n个结点的二叉树，当进行链接存储时，其二叉链表中的指针域的总数为_______个，其中_______个用于链接孩子结点，_______个空闲着。6. 2n，n-1，n+1
7. 在一棵二叉树中，度为0的结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则n0=______。7. n2+1
8. 一棵深度为k的满二叉树的结点总数为_______，一棵深度为k的完全二叉树的结点总数的最小值为_____，最大值为______。8. 2k-1，2k-1，2k-1
9. 由三个结点构成的二叉树，共有____种不同的形态。9. 5
10. 设高度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含的结点数至少为____。10. 2h-1
11. 一棵含有n个结点的k叉树，______形态达到最大深度，____形态达到最小深度。11. 单支树，完全二叉树
12. 对于一棵具有n个结点的二叉树，若一个结点的编号为i(1≤i≤n)，则它的左孩子结点的编号为________，右孩子结点的编号为________，双亲结点的编号为________。12. 2i，2i+1，i/2（或ëi/2û）
13. 对于一棵具有n个结点的二叉树，采用二叉链表存储时，链表中指针域的总数为_________个，其中___________个用于链接孩子结点，_____________个空闲着。13. 2n，n-1，n+1
14. 哈夫曼树是指________________________________________________的二叉树。14. 带权路径长度最小
15. 空树是指________________________，最小的树是指_______________________。15. 结点数为0，只有一个根结点的树
16. 二叉树的链式存储结构有______________和_______________两种。16. 二叉链表，三叉链表
17. 三叉链表比二叉链表多一个指向______________的指针域。17. 双亲结点
18. 线索是指___________________________________________。18. 指向结点前驱和后继信息的指针
19. 线索链表中的rtag域值为_____时，表示该结点无右孩子，此时______域为指向该结点后继线索的指针。19. 1，RChild
20. 本节中我们学习的树的存储结构有_____________、___________和___________。20. 孩子表示法，双亲表示法，长子兄弟表示法

四、应用题
1. 已知一棵树边的集合为{<i，m>，<i，n>，<e，i>，<b，e>，<b，d>，<a，b>，<g，j>，<g，k>，<c，g>，<c，f>，<h，l>，<c，h>，<a，c>}，请画出这棵树，并回答下列问题：
（1）哪个是根结点？
（2）哪些是叶子结点？
（3）哪个是结点g的双亲？
（4）哪些是结点g的祖先？
（5）哪些是结点g的孩子？
（6）哪些是结点e的孩子？
（7）哪些是结点e的兄弟？哪些是结点f的兄弟？
（8）结点b和n的层次号分别是什么？
（9）树的深度是多少？
（10）以结点c为根的子树深度是多少？
1. 解答：
a

b

c

d

e

g

f

h

i

m

n

j

k

i

图5-15

根据给定的边确定的树如图5-15所示。
其中根结点为a；
叶子结点有：d、m、n、j、k、f、l；
c是结点g的双亲；
a、c是结点g的祖先；
j、k是结点g的孩子；
m、n是结点e的子孙；
e是结点d的兄弟；
g、h是结点f的兄弟；
结点b和n的层次号分别是2和5；
树的深度为5。

4. 已知用一维数组存放的一棵完全二叉树：ABCDEFGHIJKL，写出该二叉树的先序、中序和后序遍历序列。
4. 解答：　
先序序列：ABDHIEJKCFLG
中序序列：HDIBJEKALFCG
后序序列：HIDJKEBLFGCA

6. 找出所有满足下列条件的二叉树：
（1）它们在先序遍历和中序遍历时，得到的遍历序列相同；
（2）它们在后序遍历和中序遍历时，得到的遍历序列相同；
（3）它们在先序遍历和后序遍历时，得到的遍历序列相同；
6. 解答：
（1）先序序列和中序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无左孩子的非空二叉树；
（2）中序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或者任一结点均无右孩子的非空二叉树；
（3）先序序列和后序序列相同的二叉树为：空树或仅有一个结点的二叉树。

7. 假设一棵二叉树的先序序列为EBADCFHGIKJ，中序序列为ABCDEFGHIJK，请写出该二叉树的后序遍历序列。
7. 解答：后序序列：ACDBGJKIHFE

8. 假设一棵二叉树的后序序列为DCEGBFHKJIA，中序序列为DCBGEAHFIJK，请写出该二叉树的后序遍历序列。
8. 解答：先序序列：ABCDGEIHFJK

9. 给出如图5-14所示的森林的先根、后根遍历结点序列，然后画出该森林对应的二叉树。
9. 解答：
先根遍历：ABCDEFGHIJKLMNO
后根遍历：BDEFCAHJIGKNOML
森林转换成二叉树如图5-16所示。

10．给定一组权值（5，9，11，2，7，16），试设计相应的哈夫曼树。
10. 解答：构造而成的哈夫曼树如图5-17所示。

A

B

D

E

F

C

G

H

J

I

K

N

O

M

L

图5-14

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