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三角恒等变换练习及答案

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第3章 三角恒等变换 章末检测
一、填空题
1．(cos －sin )(cos ＋sin )＝________.
2.的值是________．
3．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________.
4．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的对称轴方程是________．
5．已知sin(α＋45°)＝，则sin 2α＝________.
6．y＝sin－sin 2x的单调递增区间是__________________．
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝________.
8．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则a、b、c按从小到大的顺序排列为________．
9．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为________．
10．已知sin α＝cos 2α，α∈(，π)，则tan α＝______.
11．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为______．
12．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝________.
13．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
14．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．
二、解答题
15．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<.
求：tan(α＋β)及α＋β的值．
16．已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
17．已知函数f(x)＝tan(2x＋)．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos 2α，求α的大小．
18．已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
19．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
20．已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos的值．

答案
1.　2.1　3.　4.x＝kπ，k∈Z 5．－ 6.，k∈Z
7．－ 8．c<a<b 9．－ 10．－ 11.＋1 12. 13．1 14.
15．解　∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
16．解　(1)f()＝2cos ＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R.
因为cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
17．解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}，
f(x)的最小正周期为.
(2)由f()＝2cos 2α，得tan(α＋)＝2cos 2α，＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)．
因为α∈(0，)，所以sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝，
即sin 2α＝.
由α∈(0，)，得2α∈(0，)，
所以2α＝，即α＝.
18．解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
最小正周期T＝π；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．
19．解　(1)tan α＝＝，
所以＝.又因为sin2α＋cos2α＝1，
解得sin α＝.
(2)因为0<α<<β<π，所以0<β－α<π.
因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
因为β∈，
所以β＝.
20．解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈，tan α<0，
∴tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，
得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
cos＝cos cos －sin ·sin
＝－×－×
＝－.

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