河北省衡水市冀州中学2021届高三上学期第三次月考文科数学试题Word版含答案.docx

冀州中学2021届高三上学期第三次月考
数学试题（文）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为 ( )
A．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1）
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 无零点 B. 有且仅有一个零点
C. 有两个零点，且
D. 有两个零点，且
5．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是
A．若，，，，则
B．若，∥，，则
C．若∥，，则∥
D．若，，，则∥
6．已知数列满足那么的值是（ ）
A．20092 B．2008×2007 C．2009×2010 D．2008×2009
7. 以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C．D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．如图所示，在边长为的菱形中，，对角线相交于点是线段的一个三等分点，则 等于( )
A． B． C． D．
10.若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 已知为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取到最小正值时，（ ）
A. B. C. D.
12．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若,设，则该椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．
14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为 9，则输出S的值为________．
15.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为__________
16. 已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是________

三、解答题（共70分）
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值．

18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB=,AA1=2.
（1）证明：AA1⊥BD
(2) 证明: 平面A1BD // 平面CD1B1;
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
(3) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

19．（本小题12分）
已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个。若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为。
（1）求的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为，其次次取出的小球的标号为。记“”为大事，求大事的概率.

20．（本小题满分12分）
已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求·的最大值．
21．(本小题满分12分)已知函数.
（1）若在区间单调递增，求的最小值；
（2）若，对，使成立，求的范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,假如多做,则按所做第一题计分.
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.
(1)求证：AT2＝BT·AD；
(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.

23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一曲线C：(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的一般方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求的取值范围。

冀州中学2021届高三上学期第三次月考
数学试题（文）答案
CAADB DADBA CB
13． 14. 1067　 15. 2 16.
17． （Ⅰ） （3分）
∴函数f(x)的最小正周期
令，解得
∴函数f(x)的单调递减区间是 （6分）
（Ⅱ）由f(C) = 0，得，
在△ABC中，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
，解得又.（12分）
18. （1）证明：∵底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC
又∵A1O⊥平面ABCD BDÌ面ABCD
∴A1O⊥BD
又∵A1O∩AC=O A1OÌ面A1AC，ACÌ面A1AC
∴BD⊥面A1AC AA1Ì面A1AC
∴AA1⊥BD……………………………………………………………………4分
(2)∵A1B1∥AB AB∥CD ∴A1B1∥CD 又A1B1=CD ∴四边形A1B1CD是平行四边形
∴A1D∥B1C 同理A1B∥CD1
∵A1BÌ平面A1BD, A1D Ì平面A1BD, CD1Ì平面CD1B1, B1CÌ平面CD1B
且A1B∩ A1D=A1 CD1∩B1C=C
∴平面A1BD // 平面CD1B1……………………………………………………8分
(3) ∵A1O⊥面ABCD ∴A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高.
在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ∴A1O=
∴V三棱柱=·A1O=·()2·=
所以, 三棱柱ABD-A1B1D1的体积为. ………………………………12分
19．解：（1）由题意，，
（2）将标号为2的小球记为,,两次不放回的取小球的全部基本大事为:
（0,1）,（0, ）,（0, ）,（1,0）,（1, ）,
（1, ）,（,0）,（ ,1）,（ ,）,（,0）,（ ,1），（,）,共12个基本大事。A包含的基本大事为: （0, ）,（0, ）,（,0）, （,0）.

20．【解析】(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，
令y＝0得F(2，0)，即c＝2，令x＝0，得B(0，2)，b＝2，
由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：＋＝1. (4分)
(2)法一：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)
由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝. (6分)
由得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝，　
∴·＝·(x2，kx2)＝(x1x2＋k2x1x2)＝2(k>0). (9分)
＝2＝2.
设φ(k)＝，φ′(k)＝，
令φ′(k)＝>0，得－1<k<.
又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．
∴当k＝时，φ(k)max＝φ＝，即·的最大值为2. (12分)
法二：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)
由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝. (6分)
·＝(＋)·＝·
＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝2(k>0)＝2. (9分)
设t＝1＋k(t>1)，则＝＝＝≤.
当且仅当＝时，(·)max＝2. (12分)
21．解：（1）由在恒成立
得： 而在单调递减，从而，
∴ ∴ ……………………6分
（2）对，使∴
在单调递增
∴…………………………8分
又∴在单调递增，在单调递减
∴在上，∴则…………12分
22解：（Ⅰ）证明：
由于∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，
所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.
又AT 2＝AB×AD，所以AT 2＝BT×AD． …4分
（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．
由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．
由于DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT＝∠DBT＝90°.
所以∠A＝∠ATB＝45°. …10分
23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；
直线l的一般方程为x－y－2＝0． …4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*） △＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
由于a＞0，所以a＝1． …10分
24.解：（1）当时，， 由
得或或，解得或
即函数的定义域为。 （5分）
（2）由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为（10分）