2022高考总复习(人教A版)高中数学-专题讲-座四-探索性问题.docx

专题讲座四探究性问题探究性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探究，结合已知条件，进行观看、分析、比较和概括它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的力气提出了较高的要求这类问题不仅考查考生的探究力气，而且给考生供应了创新思维的空间，所以备受高考的青睐，是高考重点考查的内容探究性问题一般可以分为：条件探究性问题、结论探究性问题、存在探究性问题等条件探究性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先查找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，经常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起留意(2021广东六校联考)已知Sn为数列an的前n项和，且有a11，Sn1an1(nN*)(1)求数列an的通项an；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn；(3)是否存在最小正整数m，使得不等式 m对任意正整数n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解(1)当n1时，a2S11a112；当n2时，Sn1an1，Sn11an，相减得an12an.又a22a1，所以an是首项为1，公比为2的等比数列，所以an2n1.(2)由(1)知an2n1，所以bn.所以Tn，Tn.两式相减得Tn，所以Tn1.(3)2()，所以Sk2()2(1)2.若不等式 m对任意正整数n恒成立，则m2，所以存在最小正整数m2，使不等式 m对任意正整数n恒成立规律方法对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇到Sn要留意利用Sn与an的关系将其转化为an，再争辩其具体性质遇到(1)n型的问题要留意分n为奇数与偶数两种状况进行争辩，本题易忘掉对n的奇偶性的争辩而致误结论探究性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决此类问题的策略是：先探究结论而后去论证结论，在探究过程中常可先从特殊情形入手，通过观看、分析、归纳、推断来作一番猜想，得出结论，再就一般情形去认证结论如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，AB2BC，ACAA1BC. (1)求证：A1C平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使得DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：AB2BC，ACBC，ABC为直角三角形且ACB，BCAC，又AA1平面ABC，BCAA1，又AA1ACA，BC平面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C.ACAA1，侧面ACC1A1为正方形，AC1A1C.又B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1.(2) 存在点E，且E为AB的中点下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1.连接EF，E为AB的中点，EFAB1.B1C1与AB1是相交直线，平面DEF平面AB1C1.又DE平面DEF，DE平面AB1C1. 规律方法对于结论探究性问题，需要先得出一个结论，再进行证明留意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，依据题目条件，确定变量的值，遇到数列中的比较大小问题可以接受构造函数，依据函数的单调性进行证明，这是解决简洁问题常用的方法存在探究性问题此类问题的基本特征是：要推断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立“是否存在”的问题的命题形式有两种状况：假如存在，找出一个来；假如不存在，需要说明理由这类问题常用“确定顺推”的方法(2021江南十校联考)在圆C1：x2y21上任取一点P，过P作y轴的垂线段PD，D为垂足，动点M满足2.当点P在圆C1上运动时，点M的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l交曲线C2于点B，使()，且点T在圆C1上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设M(x，y)，2，P(，y)又P在圆C1上，()2y21，即C2的方程是y21.(2)当直线l的斜率不存在时，点B与点A重合，此时点T的坐标为(，0)，明显点T不在圆C1上，不合题意，直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x2)，由，得(14k2)x216k2x16k240，解得xB，yB，即B(，)(，)，(，)T在圆C1上，()2()21，化简得，176k424k250，解得k2或k2(舍去)，k.存在满足题意的直线l，其方程为y(x2)规律方法解决此类问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行规律推理，若由此导出冲突，则否定假设，否则，给出确定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用1设x、y为实数，集合A(x，y)|y2x10，B(x，y)|16x28x2y50，C(x，y)|ykxb，问是否存在自然数k，b使(AB)C？解：由于抛物线y2x10和16x28x2y50在y轴上的截距分别为1，所以取b2.由无实数解，得1k1，从而k1，此时方程组无实数解故存在k1，b2满足(AB)C.2. 如图所示，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图所示，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，射线OD为y轴的正半轴，以OxAD的直线为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，(0，3，4)，(8，0，0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)设，1，则(0，3，4)，(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，(4，5，0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由，得，即，可取n1(0，1，)由，即，得，可取n2(5，4，3)由n1n20，得430，解得，由于|5，故AM3.综上所述，存在点M，且AM3，使得二面角AMCB为直二面角3(2021江苏盐城期中考试)设数列an的各项均为正实数，bnlog2an，若数列bn满足b20，bn1bnlog2p，其中p为正常数，且p1.(1)求数列an的通项公式；(2)若p2，设数列cn对任意的nN*，都有c1bnc2bn1c3bn2cnb12n成立，问数列cn是不是等比数列？若是，恳求出其通项公式；若不是，请说明理由解：(1)由于bn1bnlog2p，所以bn1bnlog2p，所以数列bn是以log2p为公差的等差数列，又b20，所以bnb2(n2)(log2p)log2pn2，故由bnlog2an，得an2bn2log2pn2pn2.(2)由于p2，由(1)得bnn2，所以c1(n2)c2(n3)c3(n4)cn(1)2n，则c1(n1)c2(n2)c3(n3)cn1(1)2(n1)，由，得c1c2c3cncn12，所以c1c2c3cncn1cn22，再由，得2cn1cn2，即2(nN*)，所以当n2时，数列cn为等比数列，又由式，可得c12，c24，则2，所以数列cn确定是等比数列，且cn2n.4(2021贵阳市适应性考试) 如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上 (1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)依题意|OB|8，据对称性知BOy30.设点B(x，y)，则x8sin 304，y8cos 3012，所以B(4，12)在抛物线上，所以(4)22p12，解得p2，抛物线E的方程为x24y.(2)设点P(x0，y0)(x00)，由于yx2，yx，直线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由，得，所以Q(，1)设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y1)，所以(x0，y0y1)，(，1y1)，又由于0，所以y0y0y1y1y0，又y0x(x00)，联立解得y11，故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0，1)