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专练6 万有引力定律与航天
(限时：20分钟)
1．(2022·广东·21)如图1所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )
图1
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
答案 AC
解析 设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球转动半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π ，r越大，T越大，选项A正确；由G＝m知v＝ ，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr和ρ＝得ρ＝，又＝sin ，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误．
2．放射一月球探测器绕月球做匀速圆周运动，测得探测器在离月球表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.设想月球可视为质量分布均匀的球体，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A．月球的质量
B．探测器的质量
C．月球的密度
D．探测器在离月球表面高度为h1的圆轨道上运动时的加速度大小
答案 ACD
解析 万有引力供应探测器做圆周运动所需的向心力，G＝m(R＋h1)，G＝m(R＋h2)，联立两方程，可求出月球的质量和半径，故A正确．探测器绕月球做圆周运动，是环绕天体，在计算时被约去，所以无法求出探测器的质量，故B错误．月球的密度依据定义为ρ＝＝，由于M和R都能求出，故月球的密度能求出，故C正确．依据万有引力定律和牛顿其次定律G＝ma，得a＝，由于M和R都能求出，故加速度a能求出，故D正确．
3．中国自主研发的北斗二号卫星系统估量在2021年形成掩盖全球的卫星导航定位系统，此系统由中轨道、高轨道和同步轨道卫星等组成．现在中国正在服役的北斗一号卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地面36 000 km的地球同步轨道上，而美国的全球卫星定位系统GPS由24颗卫星组成，这些卫星距地面的高度均为20 000 km.则下列说法中正确的是( )
A．美国全部GPS的卫星所受向心力大小均相等
B．美国全部GPS的卫星比北斗一号的卫星线速度大
C．北斗二号中的中轨道卫星的加速度确定大于高轨道卫星的加速度
D．北斗一号系统中的三颗卫星向心加速度比赤道上物体的向心加速度小
答案 BC
解析 美国全部的GPS卫星高度相等，依据＝ma＝m＝mRω2＝mR，我们可以推断它们的向心加速度相等，线速度大小相等，角速度相等，周期相等，但是这些卫星的质量未必相等，所以向心力大小不愿定相等，选项A错误．GPS卫星比北斗一号的卫星高度低即圆周运动半径小，依据卫星线速度v＝ ，GPS卫星线速度大，选项B正确．卫星加速度a＝，中轨道卫星半径小，所以加速度大，选项C正确．北斗一号系统中的三颗卫星都在同步轨道上，与地球自转同步，即与赤道上的物体角速度相同，依据向心加速度a＝Rω2推断赤道上的物体随地球自转的半径小，向心加速度小，选项D错误．
4．(2022·山东·20)2021年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图2所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面放射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽视月球的自转，从开头放射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )
图2
A.(h＋2R)
B.(h＋R)
C.(h＋R)
D.(h＋R)
答案 D
解析 “玉兔”在h高处做圆周运动时有G＝.放射“玉兔”时对“玉兔”做的功W＝mv2＋Ep.在月球表面有＝mg月，联立各式解得W＝(h＋R)．故选项D正确，选项A、B、C错误．
5．(2022·江苏·2)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面四周绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
答案 A
解析 由G＝m得，对地球表面四周的航天器有：G＝，对于火星表面四周的航天器有：G＝，由题意知M′＝M、r′＝，且v1＝7.9 km/s，联立以上各式得v2≈3.5 km/s，选项A正确．
6．2021年12月2日凌晨，我国放射了“嫦娥三号”登月探测器．“嫦娥三号”由地月转移轨道到环月轨道飞行的示意图如图3所示，P点为变轨点，则“嫦娥三号”( )
图3
A．经过P点的速率，轨道1的确定大于轨道2的
B．经过P点的加速度，轨道1的确定大于轨道2的
C．运行周期，轨道1的确定大于轨道2的
D．具有的机械能，轨道1的确定大于轨道2的
答案 ACD
解析 卫星在轨道1上经过P点时减速，使其受到的万有引力大于需要的向心力，而做向心运动才能进入轨道2，故经过P点的速率，轨道1的确定大于轨道2的，故A正确．依据万有引力供应向心力G＝ma，得a＝，由此可知，到月球的距离r相同，a相等，故经过P点的加速度，轨道1的确定等于轨道2的，故B错误．依据开普勒第三定律＝k可知，r越大，T越大，故轨道1的周期确定大于轨道2的运行周期，故C正确．由于卫星在轨道1上经过P点时减速，做向心运动才能进入轨道2，即外力对卫星做负功，机械能减小，故轨道1的机械能确定大于轨道2的机械能，故D正确．
7． “嫦娥三号”任务是我国探月工程“绕、落、回”三步走中的其次步，“嫦娥三号”分三步实现了在月球表面平稳着陆．一、从100公里×100公里的绕月圆轨道上，通过变轨进入100公里×15公里的绕月椭圆轨道；二、着陆器在15公里高度开启发动机反推减速，进入缓慢的下降状态，到100米左右着陆器悬停，着陆器自动推断合适的着陆点；三、缓慢下降到距离月面4米高度时无初速度自由下落着陆，月球表面的重力加速度为地球表面的.如图4所示是“嫦娥三号”飞行轨道示意图(悬停阶段示意图未画出)．下列说法错误的是( )
图4
A．“嫦娥三号”在椭圆轨道上的周期小于圆轨道上的周期
B．“嫦娥三号”在圆轨道和椭圆轨道经过相切点时的加速度相等
C．着陆器在100米左右悬停时处于失重状态
D．着陆瞬间的速度确定小于4 m/s
答案 C
解析 “嫦娥三号”在椭圆轨道上的周期和在圆轨道上的周期可以通过开普勒第三定律分析，即＝，由于R圆>R椭，则T圆>T椭，故选项A正确；据向心加速度a＝G可知，切点加速度相等，故选项B正确；当着陆器处于悬停状态时受力平衡，既不超重也不失重，故选项C错误；由于着陆瞬间做自由落体运动，则着陆瞬间速度为v＝＝ ＝ m/s<4 m/s，故选项D正确．
8．某国际争辩小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大星体的表面物质，造成质量转移．依据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道仍近似为圆，则在该过程中( )
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
答案 AD
解析 由双星的运动有m1ω2r1＝m2ω2r2，G＝m1ω2r1，联立可得：ω＝ ，r1＝，所以A、D正确．
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