2022届-数学一轮(理科)-人教B版-课时作业-6-1-Word版含答案.docx

第1讲 数列的概念及简洁表示法

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于 (　　)
A. B．cos
C．cos π D．cos π
解析　令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．
答案　D
2．(2022·开封摸底考试)数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝
(　　)
A．7 B．6 C．5 D．4
解析　依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.
答案　D
3．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于 (　　)
A．3×44 B．3×44＋1 　C．45 D．45＋1
解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从其次项开头是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
答案　A
4．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是 (　　)
A. B. C．4 D．0
解析　∵an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.
答案　D
5．(2022·东北三校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜.由λ＜1可推得λ＜，但反过来，由λ＜不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.
答案　A
二、填空题
6．(2021·大连双基测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝
答案　
7．数列{an}中，a1＝1，对于全部的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．
解析　由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.
答案　
8．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________．
解析　由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，
能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.
答案　1
三、解答题
9．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围．
解　(1)由于an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，所以an＝1＋.
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，
a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
由于对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
所以5＜＜6，解得－10＜a＜－8.
故实数a的取值范围是(－10，－8)．
10．(2021·陕西五校模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p，其中p是不为零的常数．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)当p＝3时，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an(n∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
(1)证明　由于Sn＝4an－p，
所以Sn－1＝4an－1－p(n≥2)，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，
整理得＝.
由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列．
(2)解　当p＝3时，由(1)知，an＝，
由bn＋1＝bn＋an，得bn＋1－bn＝，
当n≥2时，
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋＝3－1，
当n＝1时，上式也成立．
∴数列{bn}的通项公式为bn＝3－1.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是 (　　)
A．3 B．19
C. D.
解析　由于an＝，运用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不难发觉当n＝9或10时，an＝最大．
答案　C
12．(2021·沈阳质量监测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是 (　　)
A．a2 014＝－1，S2 014＝2 B．a2 014＝－3，S2 014＝5
C．a2 014＝－3，S2 014＝2 D．a2 014＝－1，S2 014＝5
解析　由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，
an＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2 014＝a4＝－1，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.
答案　D
13．(2022·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________．
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，
即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，
∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
答案　2n－1
14．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N+.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N+，求a的取值范围．
解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N+.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N+，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式，
故an＝
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12·＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞).