注意添加平行线、巧添辅助、点共线线共点、四点共圆、三角形的五心证题.pdf

第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常 重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使 证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.利 用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变，以满足求解的需要.例1设尸、。为线段BC上两点,且BP=CQ,口 aA为3C外一动点（如图1）.当点A运动到使ZBAP=ZCAQ时,AAfiC是什么三角形？试证明你的结论.BP-答：当点A运动到使NA4P=ZCAQ时,AABC为等腰三角形图1证明：如图1,分别过点P、8作AC、A。的平行线得交点D连结D4.在。8尸=/4。中，显然ZDBP=ZAQC,NDPB=NC.由BP=CQ,可知DBPAAQC.有 DP=AC,ZBDP=ZQAC.于是,DA/BP,ZBAP=ZBDP.则A、D、B、P四点共圆，且四边形AD5尸为等腰梯形.故所以这里,通过作平行线，将NQAC“平推”至IJN5ap的位置.由于A、D、B、P四点共圆，使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形，eZBAF=/BCE.求证：NEBA=ZADE.0 Y、：二二二证明：如图2,分别过点A、8作即、EC、除的平行线,得交点P,连PE.、心、由A32CD,易知MPBAg/ECD.有 同 图2PA=ED,PB=EC.显然，四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有ZBCE=ZBPE,ZAPE=ZADE.由 ZBAF=ZBCE,可知NBAF=ABPE.有P、B、A、四点共圆.于是，ZEBA=ZAPE.所以，NEBA=NADE.这里，通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过尸、B、A、E四点共圆，紧密联系 起来NAPE成为/EBA与NADE相等的媒介,证法很巧妙.2 欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添加 平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题.例3在A3C中,BD、CE为角平分线，尸为ED上任意一点.过P分别作AC.AB.BC的 垂线,M、N、。为垂足.求证：PM+PN=PQ.证明：如图3,过点尸作A3的平行线交5。于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC 于K、G,连尸G.由BD平行NA3C,可知点F到AB.BC 两边距离相等.有KQ=PN.FP FF CG显然，二=匕=上1,可知PG/EC.PD FD GD由CE平分N5c4,知GP平分/尸G4.有PK=PM.于是，pm+pn=pk+kq=pq.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM=PK,就有PM+PN=PQ.证法 非常简捷.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”，在一些问题中，可 以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4设Mi、M2是ABC的BC边上的点，且BM=CM2.任作一直线分别交AB、AC.AM、AM2于尸、。、Ni、电.试证：AB AC _ AM+AM2AP AQ AN】AN2证明：如图4,若尸03C,易证结论成立.若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC 于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于 E.由 BMi=CM2,可知 BE+CE=MiE-m2e,易知AB=BE AC=CEAP DE AQ DEAMi _ MXE AM2 _ M2EANi DE AN2 DE则+A=BE+CE=ME+M2E=Ai_+4加2AP AQ DE DE AN】AN2所以，ab+ac=am.AP AQ AN、+坐an2这里，仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为。及于是 问题迎刃而解.例5 是A3C的高线,K为AD上一点,3K交AC于E,CK交AB于F.求证：ZFDA=ZEDA.证明：如图5,过点A作5C的平行线，分 别交直线。石、DF、BE、于。、P、N、M.曰mBD KD DC 显然，=-AN KA AM有 BD AM=DC AN.,AP AF AM 公BD FB BC,BDAMAP=-.BC,AQ AE AN 上DC EC BCaq=dcan.BC(1)对比、有AP=AQ.显然为尸。的中垂线，故AD平分NPDQ.所以，NFDA=NEDA.这里,原题并未涉及线段比，添加BC的平行线，就有大量的比例式产生,恰当地运用这 些比例式，就使AP与A。的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时，应注意到平行线等分线段定理，用平行线将线段 相等的关系传递开去.例6 在ABC中,AD是8c边上的中线，点M在A8边上，点N在AC边上,并且NMW=90.如果 5序+。产=。序+。此求证：AD2=-（AB2+AC2）.4证明：如图6,过点8作AC的平行线交ND 延长线于E.连ME.由BD=DC,可知ED=DN.有BED 4CND.于是,BE=NC.显然,MD为EN的中垂线.有EM=MN.图6由 5M可知为直角三角形,NMBE=90.有ZABC+ZACB=ZABC+ZEBC=.于是，ZBAC=90.所以,42=（g5c=1（AB2+AC2）.这里,添加AC的平行线，将8C的以。为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例7如图7,A3为半圆直径，。为A3上一点,分别在半圆上取点E、居使E4=D4,1咕=DA 过。作A3的垂线，交半圆于C求证：8 平 分成.证明：如图7,分别过点E、F作A3的垂线,G、”为垂足，连蜡、EA易知 DB2=FB2=AB HB,AD2=AE2=AG AB.二式相减,得DB2AD2=AB （HB-AG）,或（DB-AD）-AB=AB-（HBAG）.于是,DBAD=HB-AG,或 DB-HB=AD-AG.就是D=GD显然,EG 8五H.故CD平分EF.这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分G”.为此添加CO的两条平行线EG、4Z,从而得到G、H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与8C平行的直线.于是，有 DM AMBNANMENC，ME-DM BN=-或-=即也BN NC ME NC此式表明,DM=ME的充要条件是BN=NC.利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8如图9,ABC0为四边形,两组对边延长 后得交点E、居对角线BD石居AC的延长 线交班于G.求证：EG=GF.证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、AF 于 M、N.由 BD/EF,可知 MN/BD.易知SBEF=S&DEF.有 Sbec=S kg-*511 ofc.可得MC=CN.所以,EG=GE例9如图10,。是A3C的边3C外的旁 切圆,。、E、尸分别为。O与5C、CA、AB 的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平 分BC.证明：如图10,过点K作5c的行平线分别 交直线A3、AC于。、。两点，连。尸、OQ、OE、OF.由 0Q_L5C,可知 OKLP0.由可知。、K、尸、Q四点共圆，有 ZFOQ=ZFKQ.由OE_LAG可知。、K、P、E四点共圆.有O图10NEOP=NEKP.显然，ZFKQ=ZEKP,可知 ZFOQ=ZEOP.由OF=OE,可知RtAOFQRtAOEP.贝lj OQ=OP.于是,OK为P。的中垂线，故QK=KP.所以,AK平分8C综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平 行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1.四边形A3CD中,N分别为A。、3C的中点，延长A4交直线NM于E,延长CD交直线NM于凡求证：ZBEN=Z CFN.（提示：设尸为AC的中点，易证PM=PN.）2.设尸为A3C 边 3C 上一点，且 PC=2PA 已知NA5C=45,NAPC=60.求NACA（提示：过点。作尸A的平行线交8A延长线于点D易证ACDs尸5A.答：75。）3.六边开ABCDEF的各角相等，必=45=5。,NE80=6O,SaEBO=60cm2.求六边形ABCDEF的面积.（提示：设ER。分别交直线A3于P、0,过点E作。的平行线交A3于点M.所求面积 与o EMQD面积相等.答：120cm2）4.AD为RtAABC的斜边BC上的高，尸是的中点,连BP并延长交AC于E.已知AC.AB=k.求 AE:EC.（提示:过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC=1,有AD=k,DC=/答：）1+k25.AB为半圆直径,C为半圆上一点,CD LAB于 D,E为DB上一点,过。作CE的垂线交CB于F.求证:AD=CFDE FB（提示：过点F作AB的平行线交CE于点H.H为4CDF的垂心.）6.在ABC 中，NA:N5:NC=4:2:1,NA、NB、NC 的对边分别为 a、b、c.求证：1+1 a b=1-.c（提示：在5C上取一点。，使AD=AA分别过点8、。作的平行线交直线C4、BA于点E、F.）7.分别以A3C的边AC和BC为一边在A5C外作正方形ACDE和CBFG,点、P是EF的 中点.求证：P点到边A8的距离是A8的一半.8.ABC的内切圆分别切8C、CA、A8于点。、E、方,过点尸作8C的平行线分别交直线DA.DE 于点、H、G.求证：FH=HG.（提示：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.）9.AD为。O的直径，尸。为。O的切线，尸C3为。O的割线,PO分别交A3、AC于点、N.求证：OM=ON.（提示：过点C作PM的平行线分别交A3、AD于点E、凡过0作BP的垂线,G为垂足.AB/GF.）第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系，通过圆的 有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”，此时若能把握问题提供的信息，恰当补出 辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在A3C中,AB=AC,D是底边BC上一点,E 是线段 AD 上一点且 N8EZ)=2NCED=NA.求证：BD=2CD.!i分析：关键是寻求N8ED=2NCED与结论的联系./容易想到作/BED的平分线，但因BEED,故不能 鸟除充妒直接证出BD=2CD.若延长AD交A3C的外接圆 图J于F,则可得EB=EF,从而获取.证明：如图1,延长AD与ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则N8FA=N8CA=ZABC=ZAFC,即 ZBFD=NCFD.故 BF:CF=BD:DC.又NBEF=ZBAC,ZBFE=ZBCA,从而 NFBE=ZABC=ZACB=ZBFE.故 EB=EF.作N3EF的平分线交BF于G,则BG=GF.因NGEF=-ZBEF=ZCEF,ZGFE=ZCFE,/FEG/FEC.从而 GF=FC.2于是,BF=2CF.故 BD=2CD.1.2利用四点共圆C/、b例 2 凸四边形 A8CD 中，NABC=60,N8AD=以二;ZfiCZ)=90,双葭/48=2,8=1,对角线AC、BO交于点O,如图2.；乎则 sin NA 05=.1/分析：由 N5AD=N3CD=90。可知 A、B、。、D/四点共圆,欲求sinZAOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、榭可.解：因/氏4。=/58=90,故A、B、C、。四点共圆.延长BA、8交于尸，则NADP=ZABC=60.设AD=x,有A尸，。尸=2%.由割线定理得(2+J5%)61=2%(1+2%).解得AD=x=2y/3-2,BC=-BP=4-y/3.2由托勒密定理有BD C4=(4-73)(2/3-2)+2X1=10-73-12.又 Sabcd=SabdS/bcd=32故s必吁守.例 3 已知：如图 3,AB=8C=C4=ADAH _L CD于H,CPBC,CP交AH于P.求证：ABC的面积S=AP-BD.4分析：因 S&abc=BC1=AC BC,只4 4须证AC BC=AP BD,转化为证 A PCsA Bcd这由人、B、C、Q四点共圆易证（0为 BD与AH交点J.证明：记B。与交于点Q,则由AC=ADA_LCD得NACQ=NAOQ.又 AB=AD,故 NAZ）Q=ZABQ.从而，NA8Q=NAC0.可知A、B、C、。四点共圆.V ZAPC=90+ZPCH=ABCD,ACBQ=ACAQ,丁/APC/BCD.：.AC BC=AP BD.于是,S=AC BC=AP BD.4 42 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信 息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1联想圆的定义构造辅助圆例4如图4,四边形ABCD中，A58,AD=DC”ja=DB=p,BC=q.求对角线 AC 的长.分析：由“AD=Z)C=O5=p”可知 A、B、。在 Ci-ZC.e半径为p的。上.利用圆的性质即可找到AC与 口:p、q的关系.、-解：延长CD交半径为p的。于E点，连结AE.图4显然A、B、。在。上.,AB/CD,.,标=启从而,BC=AE=q.在ACS 中，NCAE=90。，CE=2.p,AE=q,故AC=ylCE2-AE2=yj4P2 _q 2.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5已知抛物线y=f+2x+8与X轴交于3、。两点，点。平分BC.若在轴上侧的4 点为抛物线上的动点,且N8AC为锐角,则AD的取值范围是一 分析：由“N3AC为锐角”可知点A在以定线段3C为直径的圆夕卜，又点A在x轴上侧，从而可确定动点A的范围,进而确定AD的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为Ao(l,9),对称轴为x=1,与X轴交于两点3(2,0)、C(4,0).分别以8C、为直径作。、。瓦则两圆与抛物线均交于两点P(l-2 a,1)、2(1+272,1).C可知，点A在不含端点的抛物线PA0Q 内时，ZBAC9Q.且有 3=DP=DQ c,且,NA+NA b a c c=180.试证：aa=bb+cc.（1）分析：因N5=N3，NA+NA 图8=180,由结论联想到托勒密定理，构造圆内接四边形加以证明.证明：作ABC的外接圆,过C作8A3交圆于D,连结AD和BD,如图9所示.V ZA+ZA7=180=ZA+ZZ),ZBCD=ZB=ZB,：.ZA=ZD,ZB=ZBCD.二.A B C sdCB.即*A3 BC AC有=,DC CB DBc _a _ bDC a DB,ac iab故 DC=,DB=.a a又 AB/DC,可知 BD=AC=b,BC=AD=a.从而，由托勒密定理，得图9AD BC=AB DC+AC BD,日 n 2 ac ab 即 a=c 十b,.a a故 qq=bb+cc.练习题1.作一个辅助圆证明：八45。中，若平分NA,则4=丝.AC DC（提示：不妨设ABAC,作AOC的外接圆交AB于E,证”（。独,从而=BDAC DEBD、=-.）DC2.已知凸五边形 ABCDE 中，/衣4石=3&,5。=8=。瓦 NBC0=NC）=18O 2”.求 证：ZBAC=ZCAD=ZDAE.（提示：由已知证明N3CE=N3DE=180 36从而4、B、C、D、E共圆，得NA4C=NCAD=Z DAE.）3.在ABC 中 A5=5C,NA5C=20,在 A3 边上取一点 M,使 3M=AC.求NAMC 的度数.（提示：以3C为边在A3C外作正K5C,连结KM,证B、M、。共圆，从而N3cM=L N 23KM=10,得NAMC=30.）4.如图10,AC是。ABC。较长的对角线，过。作 CFLAF,CE1AE.求证：AB AEAD AF=AC2.（提示：分别以5。和CD为直径作圆交4。于点G、H.则CG=AH,由割线定理可证得结论.）5.如图11.已知。O和。2相交于A、昆直线CD过A交。01和。2于且AC=AE,C、ED分别切两圆于C、D.求证:AE.（提示：作BCD的外接圆。3,延长BA交。3 E于忆证E在。Q上,得ACEgZXA。居从而AE=A居由相交弦定理即得结论.）匕彳K.6.已知E是ABC的外接圆之劣弧5c的中点.C求证：AB-AC=AE2-BE2.图 11（提示：以BE为半径作辅助圆。E,交AE及其延长线于N、M,由ANCs人即/证A5-AC=AN AM.）7.若正五边形A3CDE的边长为a,对角线长为瓦试证：-=1.a b（提示：证b2=a2+ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.）第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理 的应用。1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。九（九N4）点共线可转化为三点 共线。例1如图，设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD,BFCG。又作平行四边形。尸/辽）,CGKE,求证：H,C,K三点共线。证连 AK,DG,HB。由题意，AD1ECIKG,是平行四边形，于是AK上。G。AKHBO四边形是平 角线AB,K”互相平分。而C 段KH过C点，故K,C,H知四边形AKGD 同样可证 行四边形，其对 是AB中点，线 三点共线。例2如图所示，菱形A3CQ中，ZA=120,为A3C外接圆，M为其上 一点，连接MC交A3于E,AM交C5延长线于凡求证：D,E,F三 点共线。证如图，连AC,DF,DE。因为M在0。上，贝|JNAMC=6O=ZABC=ZACB,有 A MCs/acf 得MC _CF _ CF MACACD 又因为NAMOBAC,所以 A MCs2e4c,得MC AC _ AD MAAEAEC所以 =42,又NA4Q=N5CZ)=120,知CD AEADE。所以 NAD 氏ND/8。因为 AD/BC,所以 NAO A NO尸8=NAOE,于 是R E,。三点共线。ABJPF与圆的另 Q易如例3四边形ABCO内接于圆，其边与OC的延长线交于点尸，AO与的 延长线交于点0。由。作该圆的两条切线。石和0R切点分别为,Fo 求证：P,E,尸三点共线。证 如图。连接尸0，并在尸。上取一点使得 B,C,M,P四点共圆，连CM,PF。设 一交点为石，并作。G_L尸R垂足为G。QEQM-QP=QC-QB Z PMC=ZABC=Z PDQ。从而C,D,Q,M四点共圆，于是PMPQ=PC-PD 由，得PM PQ+QM-PQ=PC-PD+QC-QB,即 P=QC QB+PC PDO 易知 PO PC=PE,PF,又 QF2=QC-QB,将以上三式相乘，得竺丝丝=l.PC QA RB定理4（定理3的逆定理）：设尸，0,R分别是A3C的三边3C,CA,A3或它们延长线上的3点。若BP CQ AR_ PC QA RB贝UP,Q,R三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目 中有着广泛的应用。例8如图，在四边形A3C。中，对角线AC平分NA4。在CO上取一点,BE与AC相交于凡 延长DF交8。于G。求证：ZGAC=ZEACO证如图，连接30交AC于，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于人 大对3CO用塞瓦定理，可得里匹=1/股。GB HD EC/代以B./因为AH是N8AD的角平分线,由角平分线定理知=仝。HD AD代入式得CG.AB DE=GB AD EC因为 c/Ab,cj/ad,则四=L,匹=4GB AB EC CJ 代入式得CI AB AD 1,=1.AB AD CJ从而C/=C7。又由于ZACZ=180-ZBAC=180 ZDAC=ZACJ,所以故N/AC=NJAC,即NG4ONEAC.例9 ABC。是一个平行四边形，是A3上的一点，尸为C。上的一点。A厂交ED于G,EC交FB于H。连接线段G并延长交AO于L 交于M。求证：DL=BM.证 如图，设直线LM与氏4的延长线交于点/,与。的延长线交于点/。在AECD与E43中分别使用 梅涅劳斯定理，得EG DI CH AG FH BJ _GD IC HE GF HB JA因为ABCO,所以EG _ AG CH _ FH GD GF f HE HBn 77-DI BJ 日 rCD+C/AB+A J 4 r 7x7从而一=一，即-=-,故CI=AJ,而IC JA CI AJBM BJ DI _ DL且 3M+MC=3C=A)=AL+LD 所以 5M=。心例10在直线/的一侧画一个半圆T,C,。是T上的两点，丁上过。和。的切 线分别交/于3和A,半圆的圆心在线段84上，石是线段AC和3。的 交点,*是/上的点，/垂直/。求证：七/平分NCP3。证 如图，设AO与8。相交于点P,用。表示半圆T的圆心。过尸作P_L/于 H,连。，OC,OPo由题意知 Rt/OADRtPAH,于是有AH _ HPAD DO类似地，RtAOCBsRtAPHB,则有BH HPBC CO义M*Mi BH-r-AH BC 由CO=DO,有-=-，从而-AD BCHB由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC,上，点”与厂重合。因尸。尸=90,所以。，D,PFC=90,从而推得点厂也在这个圆上，CP BD,31.DAPH相交于一点，即石在尸HC,尸四点共圆,因此直径为OP.又NZ DFP=ZDOP=Z COP=Z CFP,所以石月平分NCFD。例11如图，四边形ABC。内接于圆,线交于E,AD、BC延长线交于F,一点，PE,PF分别交圆于R,AC与BD相交于T.求证：R,T,S三点共线。先证两个引理。引理1:AbBiGDiEiB为圆内接六边形，若CiFiAA4GC0DE如图,设401，BE,G尸i交于点边形的性质易知 OAiBisZXOEiOi，O/OCiDi/OAiFi，从而有A5 _ BQDE D0C D D0将上面三式相乘即得4瓦 BGGO甚居_ D 7*i A交于黑*点，则有_ FQ B C BO引理2：圆内接六边形A出CiDiEiB，若满足4瓦 GR EE BiG DE月4则其三条对角线401，BiEi，GQ交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例11之证明如图，连接PO,AS,RC,BR,AP,SD.由AEBRsAepa,尸DSs尸尸a,知BR _EB PA _ FPPA-EP5-FD-两式相乘，得竺=里”.DS EPFD又由LECRsEPD,afpdafas,知上=些，丝=生.两式相PD EP AS FA 乘，得旦三1竺 AS EPFA由，得空空=里空.故DSCR ECFDBR CD SA _ EB AF DC a RC AB BA FD CE 对E4。应用梅涅劳斯定理，有EB AF DC 1 小-=l BA FD CE 由，得BR CD SA iRC DS AB 由引理2知BD,RS,AC交于一点，所以R,T,S三点共线。练 习A组1.由矩形ABCO的外接圆上任意一点W向它的两对边引垂线。和MP,向另 两边延长线引垂线MH,MT。证明：PH与。T垂直，且它们的交点在矩形的 一条对角线上。2.在A3C的3C边上任取一点尸，作尸OAC,PE/AB,PD,尸石和以A3,AC为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为O,E。求证：D,A,E 三点共线。3.一个圆和等腰三角形ABC的两腰相切，切点是O,E,又和ABC的外接圆 相切于尸。求证：ABC的内心G和。，E在一条直线上。4.设四边形ABCO为等腰梯形，把ABC绕点。旋转某一角度变成夕C。证明：线段AD,3c和夕。的中点在一条直线上。5.四边形A8CQ内接于圆0,对角线AC与80相交于P。设三角形A8P,BCP,C。尸和0A尸的外接圆圆心分别是。，。2，。3,。4。求证：0P,01。3，。2。4 三直线交于一点。6.求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点。7.ZXABC为锐角三角形，AH为边上的高，以AH为直径的圆分别交A3,AC于M,N；M,N与A不同。过A作直线垂直于MN。类似地作出直线 1b与1c。证明：直线（4，共点。8.以A3C的边3C,CA,A3向外作正方形，4,Bi，G是正方形的边3C,CA,A8的对边的中点。求证：直线AAi，附,CG相交于一点。9.过A3。的三边中点。，E,尸向内切圆引切线，设所引的切线分别与 FD,DE交于I,L,Mo求证：I,L,M在一条直线上。3组10.设4,Bi，G是直线/i上的任意三点，A2,&,C2是另一条直线/2上的任 意二点，和BA2父于L，A1C2和A2cl交于M,31c2和B2c l交于N。求证：L,M,N三点共线。11.在ABC,ZVT夕C中，连接AA BB CC,使这3条直线交于一点S。求证：A3与4夕、BC与。、C4与C4的交点R D,在同一条直线 上（笛沙格定理）。12.设圆内接六边形A3CDE厂的对边延长线相交于三点尸，Q,R,则这三点在 一条直线上（帕斯卡定理）。第四讲四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是 以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决 其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何 二册所介绍的两种（即尸89定理和尸93例3）,由这两种基本方法推导出来的其 他判别方法也可相机采用.1“四点共圆”作为证题目的例1.给出锐角A3C,以为直径的圆与边的高CC，及其延长线交于N.以AC为直径的圆与AC边的高及其延长线将于尸，。.求证：M,N,P,。四点共圆.（第19届美国数学奥林匹克）分析：设尸0,MN交于K点、,连接AP,AM.火欲证N,尸，。四点共圆，须证/MK KN=PK KQ,VjXJrO即证（MC-KC HMC+KC）k）=W-KB）W+KB）mc 2-kC 2=pb 2-kb 2.不难证明AP=AM,从而有AB 2+PB 2=AC 2+MC）故 mC 2-pb=ab 2-ac 2(aK-kb 2)-(ak=KC-KB由即得，命题得证.例2.A、B、。三点共线，。点在直线外,01,。，。3分别为048,OBC,0CA的外心.求证：。，。，02,5四点共圆./（第27届莫斯科数学奥林匹克）A B C分析:作出图中各辅助线.易证垂直平分垂直平分0A.观察03。及其外接圆，立得N0。产1 ZOO2B=ZOCB.观察OC4及其外接圆，立得NO。尸一Z00A=Z0CA.2由 NOQiOl=0,O,。2,。3 共圆.利用对角互补，也可证明0,。，02,。四点共圆，请同学自证.2以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.（D证角相等例 3.在梯形 A3C。中，AB/DC,ABCD,K,M 分别在 A。，BC,ZDAM=/CBK.求证：/DMA=/CKB.（第二届祖冲之杯初中竞赛）DIX分析：易知A,B,M,K四点共圆.连接KN,有/。A8=NCMK./OA3+NAOC=180,：.ZCMK+ZKDC=180.故 C,D,K,M 四点共圆 nNCMD=NOKC 但已证 ZAMB=ZBKA,J ZDMA=ZCKB.（2）证线垂直例4.。过ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N（K与N不同）.AA8c 外接圆和3KN外接圆相交于B和 M.求证：N5MO=90.（第26届IMO第五题）分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC,OK,MC,MK,延长到G.易得NGMC=NBAC=NBNK=/BMK,而NCOK=2 ZBAC=ZGMC+ZBMK=180-ZCMK,NCOK+NCMK=180=C,O,K,M 四点共圆.在这个圆中，曹OC二OKn OC=d k ZOMC=ZOMK.但 NGMC=NBMK,故 N3MO=90.判断图形形状例5.四边形45co内接于圆，3C。，AACZ),AABD,A3C的内心依次记为 1a，Ib，1c，Id-试证：IaIbIcId是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接4/c，AId,BIc，5小和易得/NA/c5=90+；NADB=90+；(ZACB=ZAIDB=A,B,Id，/c 四点 /yTi H共圆同理，A,O,N/c四点共圆.此时NA/。=180-ZABId=180-1 ZABC,2/A/b=180-ZADIb=180-ZADC,2*NA/c/o+NA/cZb二360。-1(ZABC+ZAPC)2二360。-1 X180=270。.2故 N/8，o=90.同样可证介其它三个内角皆为90.该四边形必为矩形.计算 例6.正方形ABCD的中心为O,面积为1989 cm）尸为正方形内一点，且NO产8=45,尸A:尸8=5:14.贝123=_（1989,全国初中联赛）D c分析：答案是尸5二42 cm.怎样得到的呢？I I连接。4,03.易知。，尸，4,3 0四点共圆，有NAP3=NAO3=90./不、故 PA2+PB2=AB=1989.由于PA:尸8=5:14,可求尸艮 A近-5（5）其他例7.设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大 的和一个面积最小的，并求出这两个面积（须证明你的论断）.（1978,全国高中联赛）分析：设MG为正方形ABCO的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶 点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F,G两点在正方形的一组 对边上.A ysr771D作正EFG的高EK,易知E,K,G,1/：、D 四点共圆 nNKD炉NKG=60.同/；/理，NK4=60.故K4。也是一个正 方卜彳一 三角形，K必为一个定点.B C又正三角形面积取决于它的边长，当K/_LA3时，边长为1,这时边长最小，而面积5=也也最小.当K方通过5点时，边长为212-的,这时边长最大，面积S=2。-3也最大.例8.NS是。的直径，弦A3J_NS于M,P为加上异于N的任一点，PS 交A3于H,尸M的延长线交。于0.求证：RSMQ.（1991,江苏省初中竞赛）分析：连接NP,NQ,NR,NH的延长线交。于0.连接MQ,SQ.易证N,M,R,尸四点共圆，从而，ZSNQ=ZMNR=Z MPR=Z SPQ=Z SNQ.根据圆的轴对称性质可知。与0关于NS成轴对称nM。=M0.又易证M,S,Q,R四点共圆，且RS是这个圆的直径（NHMS=90）,MQ是一条弦（NMS0 M。.但 MQ=MQ,所以，RSMQ.练习题1.0。交。于A,8两点，射线04交。于C点，射线02A 交。O于。点.求证：点A是3CO的内心.（提示：设法证明C,D,01,3四点共圆，再证C,D,B,。2四点共圆，从而知C,D,。1,B,。五点共圆.）2./ABC为不等边三角形.ZA及其外角平分线分别交对边中垂线于4,4；同 样得到 B，a，C1,。2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.（提示：设法证NA8A与NAC4互补造成A,B,4,。四点共圆；再证A,4,3,。四点共圆,从而知4,42都是443。的外接圆上,并注意乙4442=90.）3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是Mi,M2,私（互不重合）.求证：A/iM2M3也是正二角形.4.在RtZXABC中，为斜边3C上的高，尸是A3上的点，过A点作尸。的垂 线交过8所作AB的垂线于。点.求证：PD QD.（提示：证B,Q,E,PW B,D,E,P分别共圆）5.AD,BE,。产是锐角ABC的三条高.从A引所的垂线/1，从3引尸。的垂 线，2,从C引OE的垂线，3.求证：h,U,，3三线共点.（提示：过8作AB的垂 线交八于K,证：A,B,K,。四点共圆）第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角 定理.例1.过等腰A3C底边BC上一点P引尸MC4交A3于M；引PN/BA交 4C于N.作点尸关于的对称点尸.试证：尸点在A3C外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：由已知可得 MP=MP=MB,NP=NP Pi/=NC,故点M是BP的外心，点 龙父Nn是*pc的外心.有ZBP P=-/BMP:-ABAC,B 匕*-、CZPP C=-ZPNC=-ZBAC.：.ZBP C:/BP P+/P PC=ZBAC.从而，尸,点与A,B,C共圆、即尸在ABC外接圆上.由于尸，尸平分/BP C,显然还有 P B:P C=BP:PC.例2.在ABC的边A3,BC,C4上分别取点尸，Q,S.证明以APS,30P,CS0的外心为顶点的三角形与ABC相似.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：设。1，。2，Q 是APS，LBQP,八4CS。的外心，作出六边形QPQ0。3s后再由外/泞K心性质可知ZP0S=2ZA,B Q CZQO2P=2ZB,NSQ0=2NC/?。15+/。2尸+/5。3。=360.从而又知NO1P&+/。2。3+/。35。=360将。2。3绕着。3点旋转到KSQ，易判断KSQ/Z02尸。1，同时可 得。1。2。3 丝/.ZO2O1O3=ZKO1O3=-Z-OiOxK2-(NO2O1S+NSO1K)2(NQOiS+NPOiOz)=-ZPOiS=ZA；2同理有/。2。3=N3.故。O2O3 s AABC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3.AD,BE,。/是ABC的三条中线，尸是任意一点.证明：在P4。，PBE,ZXPC/中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为ABC重心，直线尸G与A3,相交.从A,C,D,E,方分别 e作该直线的垂线，垂足为A，,C,D,E,F.易证AA=2DD,CC=2FF,2EE=AAD+in：.EE=DD+FF.有 SPGE=Spgd+5PGF.两边各扩大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF-例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成 的新三角形相似.其逆亦真.分析：将A3C简记为,由三中线AO,BE,。尸围成的三角形简记为.G 为重心，连1到“，使EH二DE,连C,HF,则就是HCF.(1)2,b c?成等差数列n4s4.若ABC为正三角形，易证sZV.不妨设有CF=-y/2a2+2b2-c2,2BE=-y/2c2+2a2-b2,2AD=-2b2+2c2-a.2将/+。2=2/，分别代入以上三式，得CF=Ta，BE*AD=*.：.CF:BE:AD=-a:b:-c 2 2 2u bc.故有s2.nd,b2f成等差数列.当中abc时,中 CFBEAD.,s/V,旦=（竺）2.a据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的?”，有 434=2+c2=2Z?2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外 接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5.设A1A2A3A4为。内接四边形，H1，“2,43,“4依次为A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，/XAiA2A3 的垂心.求证：Hi，%，H3,“4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高中联赛）Al分析：连接Azfih，A1H2,H1H2,记圆半径为R由A42A34知 I巾-!-2R i-27?cos/A3A2AsinZA2A3H!、由A1A3A4 得A i2=2Hcos ZA3A1A4.但NA3A2A4=NA3A1A4，故 A2H-AiHi.易证 A2H1 A1A2，于是，A2H1 约 1”2，故得HyHi 442Al.设Hi Ai与 以2的交点为M,故HHi与AiA2关于M点 成