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限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. 不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )
A. B. (－∞，0)∪
C. D.
解析：原式等价于解得x<0或0<x<.
答案：B
2. 3≤|5－2x|<9的解集为( )
A. [－2,1)∪[4,7) B. (－2,1]∪(4,7]
C. (－2，－1]∪[4,7) D. (－2,1]∪[4,7)
解析：由题得
⇒
⇒得解集为(－2,1]∪[4,7)．
答案：D
3. 使关于x的不等式|x＋1|＋k<x有解的实数k的取值范围是( )
A. (－∞，－1) B. (－∞，1)
C. (－1，＋∞) D. (1，＋∞)
解析：|x＋1|＋k<x⇔k<x－|x＋1|，
又x－|x＋1|＝
∴x－|x＋1|的最大值为－1.∴k<－1.
答案：A
4. [2021·益阳模拟]不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (－∞，－1]∪[4，＋∞) B. (－∞，－1)∪(4，＋∞)
C. (－∞，－4]∪[1，＋∞) D. (－∞，－1)∪[4，＋∞)
解析：∵|x＋3|－|x－1|≤4，∴a2－3a≥4，
即a2－3a－4≥0.解得a≤－1或a≥4.
答案：A
5. [2022·安徽高考]若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A. 5或8 B. －1或5
C. －1或－4 D. －4或8
解析：①当－1≥－即a≥2时，
f(x)＝
由函数图象可知，
f(x)min＝f＝－1－a＝－1＝3，∴a＝8.
②当－1<－即a<2时，
f(x)＝
由函数图象可知，
f(x)min＝f＝－＋1＝3，∴a＝－4.
答案：D
6. 不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________．
解析：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，
两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，
即12x－3>0，解得x>.
答案：
7. 若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是________．
解析：若|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，
即不等式恒成立，则|x－1|＋|x＋m|≥|(x＋m)－(x－1)|＝|m＋1|>3，
解得m>2或m<－4.
答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)
8. [2021·南昌模拟]设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝
x<1时，5－2x>3，x>4时，2x－5>3，
得f(x)min＝3.
解不等式组
或或
求并集得x的取值范围是[0,5]．
答案：3 [0,5]
9. 不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集为________．
解析：①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<时，
原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，
解得x<－，∴－3≤x<－.
③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，
解得x>2，∴x>2.
综上可知，原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．
答案：{x|x<－或x>2}
10. [2021·启东模拟]已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，原不等式为|x－2|＋|x－1|≥2.
∴原不等式的解集为或或，即x≥或x≤，∴不等式的解集为.
(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，
∴a≥4或a≤0，又a>0，∴实数a的取值范围为a≥4.
11. 设函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|.
(1)解不等式f(x)>6；
(2)若关于x的不等式f(x)≤|2m－1|的解集不是空集，试求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)>6，∴或或，解得x≤－3或－3<x<－1或x>，
∴不等式f(x)>6的解集是(－∞，－1)∪.
(2)∵y＝，∴f(x)min＝f(1)＝4.
∴|2m－1|≥4，解得m≥或m≤－.
12. [2021·课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)设a>－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
y＝
其图象如图所示．
从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)当x∈[－，)时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈[－，)都成立．
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是(－1，]．
[B级 知能提升]
1. 不等式|2x－log2x|<2x＋|log2x|成立，则( )
A. 1<x<2 B. 0<x<1
C. x>1 D. x>2
解析：|a＋b|≤|a|＋|b|中取不等号“<”的条件是“ab<0”，则有x·(－log2x)<0，又x>0，∴log2x>0，从而x>1.
答案：C
2. [2022·重庆高考]若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，即a2＋a＋2小于或等于|2x－1|＋|x＋2|的最小值即可，由a2＋a＋2≤可得.
答案：
3. 对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a||x－1|恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析：不等式恒成立，只需不等式的左边的最小值≥|a||x－1|，由确定值三角不等式得|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|＝2|a|，故只需求解2|a|≥|a||x－1|即可，解得－1≤x≤3.
答案：－1≤x≤3
4. [2021·衡水模拟]设f(x)＝|x－3|＋|x－4|.
(1)解不等式f(x)≤2；
(2)若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝
所以f(x)＝|x－3|＋|x－4|≤2等价于或或，解得≤x≤.
所以不等式f(x)≤2的解集为.
(2)函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线．
当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，满足题设条件．由图象知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
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