资源描述
A组 考点基础演练
一、选择题
1．(2021年洛阳模拟)已知F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．2 D．1
解析：由题意令|PF2|－|PF1|＝2a，由双曲线方程可以求出|PF1|＝4，a＝1，所以|PF2|＝4＋2＝6.
答案：A
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点恰好是椭圆＋＝1的两个顶点，且焦距是6，则此双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：由题意知双曲线中，a＝3，c＝3，所以b＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：C
3．(2022年高考广东卷)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
解析：∵0<k<9，∴9－k>0,25－k>0.
∴－＝1与－＝1均表示双曲线，又25＋(9－k)＝34－k＝(25－k)＋9，
∴它们的焦距相等，故选A.
答案：A
4．“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：方程－＝1表示双曲线，则(m－8)·(m－10)>0，解得m<8或m>10，故“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得－·＝－1(－明显不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2整理得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．
答案：D
二、填空题
6．(2021年海淀模拟)已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝2x，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知＝2，得b＝2a，c＝a，所以e＝＝.
答案：
7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
解析：由题意知a2＝1，b2＝－，则a＝1，b＝ .
∴ ＝2，解得m＝－.
答案：－
8．(2022年高考浙江卷)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
解析：由
得A，
由得B，
则线段AB的中点为M.
由题意得PM⊥AB，∴kPM＝－3，得a2＝4b2＝4c2－4a2，故e2＝，∴e＝.
答案：
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线方程．
(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)，.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．
解析：(1)设所求双曲线方程为my2－nx2＝1(m>0，n>0)，则由于点(3，－4)，在双曲线上，
所以点的坐标满足方程，
由此得解方程组得
故所求双曲线方程为－＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±x，
可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(，2)，
∴－＝λ，λ＝－，
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
10．直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求双曲线C的方程．
解析：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.
由于l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.
而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，
所以tan 30°＝＝.
于是e2＝＝1＋＝1＋＝，
所以e＝.
(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，
即x2－3y2＝3k2.
将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，得x2－3×3(x－2)2＝3k2.
化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝2
＝2
＝ ＝，求得k2＝1.
故所求双曲线方程为－y2＝1.
B组 高考题型专练
1．(2022年大连双基考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D．5
解析：由双曲线的定义可得2a＝|||－|||＝1，所以a＝；由于·＝0，所以⊥，所以(2c)2＝||2＋||2＝25，解得c＝.所以此双曲线的离心率为e＝＝5.故D正确．
答案：D
2．(2022年高考新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
解析：由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝± x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.
答案：A
3．P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是( )
A．a B．b
C．c D．a＋b－c
解析：如图，内切圆圆心M到各边的距离分别为MA，MB，MC，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，
∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，
又|AF1|＋|AF2|＝2c，
∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.
∵M的横坐标和A的横坐标相同，答案为A.
答案：A
4．(2022年福州质检)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，则PF1⊥PF2.又＝，联立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝.故选B.
答案：B
5．已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
解析：|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，
∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a＝－2.
答案：C
6．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为________．
解析：由于a2＋b2＝c2，所以圆x2＋y2＝a2＋b2即为x2＋y2＝c2，因此该圆与x轴的交点就是双曲线的两个焦点，而点P是圆与双曲线在第一象限的交点，所以PF1⊥PF2，即(|PF1|)2＋(|PF2|)2＝(2c)2，而|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，所以c－c＝2a，即c＝2a，于是e＝＝.
答案：
7．(2021年南昌模拟)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于两点A、B，|AB|＝5，则满足条件的直线l的条数为________．
解析：(1)若A，B两点都在右支上，当AB垂直于x轴时，
∵a2＝4，b2＝5，c2＝9，
∴F(3,0)，∴直线AB的方程为x＝3.
由得y＝±.∴|AB|＝5，满足题意．
(2)若A，B两点分别在两支上，∵a＝2，
∴两顶点间的距离为2a＝4<5.
∴满足|AB|＝5的直线有两条，且关于x轴对称．
综上，满足题意的直线有3条．
答案：3
8．(2022年高考福建卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.摸索究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
解析：(1)由于双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a，
又由于△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，
依题意，得k>2或k<－2，
则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，
同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|得，
·＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
由于4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，
又由于m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
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