2013-2020高中数学苏教版(选修1-1)检测题-本章练测-第2章圆锥曲线与方程.docx

第2章 圆锥曲线与方程（苏教版选修1-1）

建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟

160分

一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)
1.若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是．
2.方程表示的曲线是．
3.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，假如直线AF的斜率为，那么PF＝．
4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是．
5.设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是．
6.已知A（3，2），B（-4，0），P是椭圆上一点，则PA+PB的最大值为．
7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，△的面积为（为原点），则函数的奇偶性是．
8.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为．
9.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为.
10.已知方程和，其中
,它们所表示的曲线可能是下列图象中的．

① ②
③④

11.已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是．
12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是．
13.已知椭圆与双曲线－有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则．
14.双曲线的一条准线是，则的值为．

二、解答题（本题共6小题，共90分）
15.(本小题满分14分)已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值．

16.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．

17.(本小题满分14分)设双曲线的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三角形．
（1）求双曲线的离心率的值；

（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程．

18．（本小题满分16分）已知椭圆的离心率，短轴长为2.设是椭圆上的两点，向量m＝，n= ，且m·n=0，O为坐标原点.
（1）求椭圆的方程.

（2）试问：△AOB的面积是否为定值？假如是，请赐予证明；假如不是，请说明理由.

19．（本小题满分16分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程.

（2）点P（2，3），Q（2，-3）在椭圆上， A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.
（ⅰ）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
（ⅱ）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

20.(本小题满分16分)设分别为椭圆：的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.

（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.



（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质，并加以证明．

第2章 圆锥曲线与方程答题纸（苏教版选修1-1）
得分：_________
一、填空题

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11.12.13.14.
二、解答题
15.

16.

17.

18.

19.

20.

第2章 圆锥曲线与方程参考答案（苏教版选修1-1）

1.解析：由椭圆的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，.
2.椭圆解析：方程可化为．所以方程表示的曲线是椭圆
3.8 解析：由已知条件及抛物线的定义知△PAF为正三角形，
∴PF=AF＝ =8.
4.解析：由椭圆的方程知，，∴，
∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．
5.解析：设,，则，即，.
将代入双曲线方程得点的轨迹方程为，即.
6.10+ 解析：易知B为椭圆的左焦点，由于 ＜1，所以点A在椭圆内.
设椭圆的右焦点为E(4，0)，依据椭圆的定义可得，PB+PE＝2a=10，
故有PA+PB＝PA+10-PE＝10+(PA-PE).
当P、A、E三点不共线时，有PA-PE＜AE；
当P位于射线AE与椭圆的交点处时，有PA-PE＝AE；
当P位于射线EA与椭圆的交点处时，有PA-PE＝-AE；
故有-AE≤PA-PE≤AE.
而AE＝ = ，
所以PA+PB＝10+(PA-PE)∈［10- ，10+ ］.
故PA+PB的最大值为10+
7.偶函数解析：是直线与椭圆相交所得的△的面积，由椭圆的对称性可知，所以是偶函数．
8.－１ 解析：由题意得，，.
在直角三角形中,,即,整理得.
等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）.
故
9.6 解析：由题意，得F(-1，0)，
设点，，则有=1，解得=.
由于＝，，=，，
所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为=-2，
由于-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值+2+3＝6.
10.②解析：方程化成，可化成.
对于①：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错；
对于②：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，
又，即直线在轴上的截距为正，故②正确；
对于③④：由椭圆图象可知：，，∴，即直线的斜率应小于0，故③④错.
11.解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.
又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.
12.解析：设，，，则，，.又可看做点到原点的距离的平方，
所以，所以＝.
由题意知，即，则.
13.解析：由于椭圆与双曲线有共同的焦点，
所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,
由椭圆以及双曲线的定义可得，，
由①②得，．所以．
14.解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为，
因此，，.由于双曲线的一条准线是，所以，即，
解得.
15.解：由直线l过抛物线的焦点，得直线l的方程为
由消去，得.
由题意得，.
设直线与抛物线交于则.
，解得.
16.解：（1）直线的方程为．　　
依题意得解得所以椭圆方程为．
（2）假如存在这样的值，由得,
　 所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　 设、，则　　　　　　　　　　　　②
　 而．
当且仅当时，以为直径的圆过点，则，
即，
所以．　　　　　　　　　　　　　　　③
　 将②式代入③式整理解得．阅历证，使①成立．
综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．
17.解：（1）双曲线的右准线的方程为，两条渐近线方程为．
　所以两交点坐标为、．
　设直线与轴的交点为,由于△为等边三角形，则有,
　所以，即,
解得，．所以．
（2）由（1）得双曲线的方程为．
把代入并整理得．
依题意所以，且．
所以双曲线被直线截得的弦长为

　.
由于，所以,
整理得,
所以或．
所以双曲线的方程为或．
18.解：(1)由题意知解得∴椭圆的方程为=1.
(2)∵≠，设AB的方程为y=kx+b.
由得=0，
∴∴
∴，.∵m·n=0，∴=0，
∴)=0，代入整理得=4，
∴S＝ =1.
∴△AOB的面积为定值1.
19.解：(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0)，
由椭圆的一个顶点为=8y的焦点，得b=2.
由= ，，得a=4，∴椭圆C的方程为=1.
(2)(ⅰ)设，，，，直线AB的方程为y=x+t，
代入 ＝1，得-12=0，
由解得-4<t<4.
由根与系数的关系得=-t，.
四边形APBQ的面积S= ×6×||=3，
∴当t=0时，=12.
(ⅱ)若∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k(x-2)，
由
① 入②整理得，
同理PB的直线方程为y-3=-k(x-2)，可得==，
∴，，
=== ，
∴AB的斜率为定值 .
20.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.
又点在椭圆上，因此，得，于是.
所以椭圆的方程为，焦点，.
（2）设椭圆上的动点，线段的中点满足，
即，.因此，即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.
证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中.
又设点的坐标为，由，得.
将代入得.