2022届数学一轮(文科)北师大版课时作业-第三章-导数及其应用-探究课二.docx

(建议用时：80分钟)1已知函数f(x)ln xx2ax(aR)若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围解法一函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.函数f(x)在(0，)上单调递增，f(x)0，即2xa0对x(0，)都成立a2x对x(0，)都成立当x0时，2x22，当且仅当2x，即x时取等号a2，即a2.a的取值范围为2，)法二函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xx2ax，f(x)2xa.方程2x2ax10的判别式a28.当0，即2a2时，2x2ax10，此时，f(x)0对x(0，)都成立，故函数f(x)在定义域(0，)上是增函数当0，即a2或a2时，要使函数f(x)在定义域(0，)上为增函数，只需2x2ax10对x(0，)都成立设h(x)2x2ax1，则解得a0.故a2.综合得a的取值范围为2，)2(2021南山中学月考)已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0)，则h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin xax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sin xax(x0)成立若0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意当a0，结合f(x)与g(x)的图像可知明显不合题意综上可知，a1.(2)证明当a取(1)中的最小值为1时，g(x)f(x)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0)，则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2，则G(x)sin xx0(x0)，所以G(x)1cos xx2在0，)上单调递减，此时G(x)1cos xx2G(0)0，即H(x)1cos xx20，所以H(x)xsin xx3在x0，)上单调递减所以H(x)xsin xx3H(0)0，则xsin xx3(x0)所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.3(2022湖北七市(州)联考)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或xa(a0)当x变化时，f(x)，f(x)的变化状况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值微小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.4(2021重庆模拟)已知函数f(x)(x2axa)exx2，aR.(1)若函数f(x)在(0，)内单调递增，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在x0处取得微小值，求a的取值范围解(1)f(x)(2xa)ex(x2axa)ex2xx(x2a)ex2，f(x)在(0，)内单调递增，f(x)0在(0，)内恒成立，即(x2a)ex20在(0，)内恒成立，即x2a在(0，)内恒成立，又函数g(x)x2在(0，)上单调递增，a0.(2)令f(x)0，即x(x2a)ex20，或或(*)g(x)x2单调递增，设方程g(x)x2a的根为x0.若x00，则不等式组(*)的解集为(，0)和(x0，)，此时f(x)在(，0)和(x0，)上单调递增，在(0，x0)上单调递减，与f(x)在x0处取微小值冲突；若x00，则不等式组(*)的解集为(，0)和(0，)，此时f(x)在R上单调递增，与f(x)在x0处取微小值冲突；若x00，则不等式组(*)的解集为(，x0)和(0，)，此时f(x)在(，x0)和(0，)上单调递增，在(x0，0)上单调递减，满足f(x)在x0处取微小值，由g(x)单调性，得ax02g(0)0，综上所述，a0.5(2021南昌模拟)已知函数f(x)ln x.(1)若f(x)在1，e上的最小值为，求实数a的值；(2)若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围解(1)由题意可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当axe时，f(x)0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.(2)f(x)x2，axln xx3在(1，)上恒成立令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立6(2022郑州调研测试)设a0，函数f(x).(1)若a，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x时，函数f(x)取得极值，证明：对于任意的x1，x2，|f(x1)f(x2)| .(1)解由题意得f(x).令f(x)0，即(x1)20，解得x或x.所以函数f(x)在，上单调递增同理，由f(x)0，得x.所以函数f(x)在上单调递减(2)证明当x时，函数f(x)取得极值，即f0，a20，a.同(1)易知，f(x)在，上单调递增，在上单调递减当x时，f(x)取得极大值f，当x时，f(x)取得微小值f ，在上，f(x)的最大值是f ，最小值是f .对于任意的x1，x2，|f(x1)f(x2)| ，即|f(x1)f(x2)| .