2020-2021学年高中数学人教B版必修1双基限时练10-单调性的定义(第二章).docx

双基限时练(十)　单调性的定义
基 础 强 化
1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析　y＝3x－2x2＋1是开口向下，对称轴为x＝的二次函数，∴y＝3x－2x2＋1的递增区间为.
答案　C
2．设函数f(x)是其定义域上的增函数，则(　　)
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋1)<f(2a)
D．f(a2＋1)>f(a)
解析　∵a2＋1－a＝2＋>0，∴a2＋1>a.
∵f(x)在定义域上是增函数，∴f(a2＋1)>f(a)．
答案　D
3．函数f(x)＝的单调减区间是(　　)
A．
解析　y＝|f(x)|的图象如图所示：

∴它的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
答案　(2，＋∞)　(－∞，2)
能 力 提 升
9．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围为________．
解析　∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2)<f (1－x)，
∴x－2<1－x，∴x<，
即x的取值范围是.
答案　
10．证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
证明　设x1，x2是(0,1)上的任意两个不相等的实数，
且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)
＝.
∵0<x1<x2<1，
∴x1x2－1<0，x1x2>0.
∴Δy＝f(x2)－f(x1)<0.
∴由单调函数的定义可知，函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
11．已知函数f(x)＝ax2＋(a＋3)x－1，x∈．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上单调递增，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，其对称轴为x＝1.
∴f(x)的单调增区间为，单调减区间为．
(2)当a＝0时，f(x)＝3x－1，它在区间上单调递增．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在上单调递增，
∴或
∴0<a≤3，或－≤a<0.
综上所述，f(x)在上单调递增，a的取值范围为.
12．已知定义在R上的函数f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明f(0)＝1；
(2)证明对x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明f(x)在R上是增函数．
证明　(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，
∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意及 (1)知，当x>0时，f(x)>1>0；
当x＝0时，f(0)＝1>0；
又当x<0时，－x>0，
∴f(0)＝f(x)·f(－x)．
即f(x)·f(－x)＝1.∴f(x)＝>0.
综上所述，对任意x∈R，恒有f(x)>0.
(3)在R上任取x1，x2，且x1<x2，
则＝＝
＝f(x2－x1)．
∵x2>x1，∴x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
又∵f(x)>0，∴>1，即f(x2)>f(x1)．
因此，f(x)为R上的增函数．
品 味 高 考
13．已知f(x)＝
f(x)在R上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
解析　∴∴0<a≤2.故选D.
答案　D