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课时提升作业(五十五)
抛 物 线
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )
A.5 B.10 C.20 D.
【解析】选B.依据题意得点P的坐标为(4,±4),
所以S△PMF=|yP||PM|=×4×5=10,
所以选B.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时确定要留意.
【加固训练】(2021·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
【解析】选C.由题意可知p>0,由于抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,由于点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C.
2.(2021·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )
A.2± B.2+ C.±1 D.-1
【解析】选A.F设y2(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|==2,解得p=2±.
3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F设点A(0,2),抛物线上点,则=,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,
M.由|MF|=5得,=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
4.(2021·济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为( )
【解析】选C.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点
P(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=|FA|,所以|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2),把B点坐标代入直线方程得k的值为.
5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,
所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
两式相减得:kAB==1,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要留意使用条件是Δ≥0.
(2)在椭圆=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=
(3)在双曲线=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
【加固训练】(2021·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是 .
【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.
答案:x2=-4y
【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.
7.(2021·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .
【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,由于由题意知a>0,所以a≥1.
答案:
由=a,得=a(-x1,1-y1),
所以同理可得
所以a+b=
所以对任意的直线l,a+b为定值-1.
5.(13分)(力气挑战题)已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0),过F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点.
(1)求抛物线C的方程.
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
【解析】(1)由焦点坐标为(1,0),可知=1,
所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)当直线垂直于x轴时,△ABO与△MNO相像,所以
当直线与x轴不垂直时,设直线AB方程为y=k(x-1),
设M(-2,yM),N(-2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2),
由整理得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1·x2=1,
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