【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第9章-第2节-简单几何体的表面积和体积.docx

第九章其次节一、选择题1(文)(2022广东汕头金山中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点M，N，顶点A及过N，顶点D，C1的两个截面截去两角后所得的几何体，该几何体的正视图是()答案B解析能观看的轮廓线用实线，看不见的轮廓线为虚线故选B(理)(2021湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A B1CD答案D解析由棱长为1的正方体的俯视图及侧视图的面积可知正方体的一条侧棱正对正前方，其三视图如下：故正视图是长为，宽为1的矩形，其面积为，选D2(2022重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54B60C66D72答案B解析如图所示该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，EFAC，AC平面ABDF，EF平面ABDF，EFDF，在直角梯形ABDF中，易得DF5，故其表面积为SSRtABCS矩形ACEFS梯形ABDFS梯形BCEDSRtDEF3560.3(文)(2021石嘴山市调研)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A4B6C8D12答案A解析由三视图可知，此几何体为高是2，底面为直角梯形的四棱锥，且直角梯形上、下底的长分别为2、4，高为2，故这个几何体的体积为V(24)224，故选A(理)如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a的直角三角形，侧(左)视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是()Aa3Ba3Ca3D2a3答案A解析由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，故高ha，体积Va3.4若圆锥轴截面的顶角满足，则其侧面开放图中心角满足()ABCD答案D解析，sin，又sin，其侧面开放图中心角2(，)5(文)(2022河北名校名师俱乐部模拟)一个球的球心到过球面上A、B、C三点的平面的距离等于球半径的一半，若ABBCCA3，则球的体积为()A8BC12D答案D解析设球心为O，过O作OM平面ABC，垂足是M, ABC是边长为3的正三角形，AM，可得球半径是2，体积是.(理)侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且ABAC1，BC，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于()A1BC2D答案D解析设球O的半径为R，则，R，设ABC外接圆半径为r，BC边上的高为h，则h，(hr)2()2r2，r1；设棱柱的高为H，则R2r2()2，H4，V棱柱4.6如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A6B12C18D24答案B解析由三视图可得该几何体为圆台，其上底半径为1，下底半径为2，母线长为4，所以该几何体的侧面积为(12)412，故选B二、填空题7(2022天津理)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V2221244.8若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_cm2.答案11224解析由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体，四棱台下底面边长为8，上底面边长为4，高为3，故棱台的斜高h.上面正四棱柱底面边长为4，高为2，则表面积为S444(42)884(48)11224(cm2)9侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为_答案6解析沿侧棱VA剪开，侧面开放如图，线段AA1的长为所求AEF周长的最小值，取AA1中点D，则VDAA1，AVD60，AA12AD6.三、解答题10(文)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比分析(1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分BADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比解析(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC又DCBCC，所以DC1平面BDC又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得，V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.点评本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法求解几何体的体积时，若遇不规章的几何体时，经常接受割补法和间接法求其体积(理)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1.(1)求证：AB平面PCD；(2)求证：BC平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积证明(1)由已知底面ABCD是直角梯形，ABDC，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD(2)在直角梯形ABCD中，过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC1又AB2，BE1，在RtBEC中，ABC45，CEBE1，CB，ADCE1，则AC，AC2BC2AB2，BCAC又PA平面ABCD，PABC，又PAACA，BC平面PAC(3)M是PC中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半VMACDSACD(PA)(11).一、选择题11(文)(2022上海四区二模)若圆柱的底面直径和高都与球的的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则S1S2()A11B21C32D41答案C解析假设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r.因此圆柱的表面积为S16r2.球的表面积为S24r2.所以S1S232，故选C(理)(2022东北三校一联)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A B C D答案D解析该几何体是底面为扇形的一个锥体，由主视图可知AD1，而AO2，AOD，底面扇形的圆心角，VSh(22)4.12(文)(2022湖北荆州质量检查)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()ABCD2答案A解析由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V柱1222，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V球213.故所求几何体的体积为VV柱V球2.(理)(2022山东青岛二模)已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD，AC，BCAD，则该三棱锥的外接球的表面积为()AB6C5D8答案B解析由勾股定理易知DAAB，ABBC，BC平面DABCD.AC2AD2CD2，DAAC取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为，其即为三棱锥的外接球球心故三棱锥的外接球的表面积为4()26.13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.动点E、F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上若EF1，DPx，A1Ey(x，y大于零)，则三棱锥PEFQ的体积()A与x、y都有关B与x、y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关答案C解析设P到平面EFQ的距离为h，则VPEFQSEFQh，由于Q为CD的中点，点Q到直线EF的距离为定值，又EF1，SEFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，明显与x有关与y无关，故选C14(文)(2022江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是()AB6CD答案C解析由三视图可知，该几何体上半部分是底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高为1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为V(221)(222).(理)(2022河南郑州质检)如图所示，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()A153B9C306D18答案C解析由三视图知几何体是一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，棱柱高为，侧棱长为2，故S33232232306.二、填空题15(文)(2022北京海淀二模)已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为_答案2解析由三视图可知，斜三棱柱的底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为V2122.(理)(2022陕西宝鸡质检)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆直径为2，则该几何体的体积为_答案24解析由三视图可知，该几何体是长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，圆柱体的高为3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为42312324.16(文)(2021杭州二模)已知正三棱柱ABCABC的正视图和侧视图如图所示设ABC，ABC的中心分别是O，O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S，则S的最大值为_答案8解析据正视图与侧视图知，该三棱柱的初始状态是水平放置的，直观图如图所示据所给的数据知，底面正三角形的高是，底面边长是2.将三棱柱绕OO旋转时，俯视图是矩形，该矩形的一组对边的长度保持不变(长度为4)，另一组对边长度不断变化，在底投影面上的投影的长度的最大值为2，S的最大值为428.(理)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，如图所示，则CPPA1的最小值为_答案5解析PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决计算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三角形铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示CPPA1A1C在AC1C中，由余弦定理得，A1C5，故(CPPA1)min5.点评多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题，一般选择恰当的棱或母线剪开展平，转化为平面上两点间线段最短问题解决三、解答题17(文)(2021新课标)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积解析(1)证明：如图，连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1DF，由于DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD(2)由于ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得，ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D所以VCA1DE()1.(理)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积解析(1)证明：由条件可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD(2)由(1)可知BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，几何体DABC的体积为.18(文) (2022南开区质检) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB12，D为AB的中点，且CDDA1.(1)求证：平面A1B1B平面ABC；(2)求多面体DBCA1B1C1的体积解析ACBC，D为AB的中点，CDAB，又CDDA1，CD面AA1B1B，又由于CD平面ABC，故平面A1B1B平面ABC(2)V多面体DBCA1B1C1V棱柱ABCA1B1C1V三棱锥A1ADCSABC|AA1|SADC|AA1|SABC|AA1|SABC|AA1|SABC|AA1|.(理)(2022广东肇庆一模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是BC和CC1的中点，已知ABACAA14，BAC90.(1)求证：B1D平面AED；(2)求二面角B1AED的余弦值；(3)求三棱锥AB1DE的体积解析解法一：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.ABACAA14，A(0,0,0)，B(4,0,0)，E(0,4,2)，D(2,2,0)，B1(4,0,4)(1)证明：(2,2，4)，(2,2,0)，(0,4,2)4400，即B1DAD0880，即B1DAE.又AD，AE平面AED，且ADAEA，故B1D平面AED(2)由(1)知(2,2，4)为平面AED的一个法向量设平面B1AE的法向量为n(x，y，z)，(0,4,2)，(4,0,4)，由得令y1，得x2，z2，即n(2,1，2)cosn，.二面角B1AED的余弦值为.(3)由(2,2,0)，(2,2,2)，得0，ADDE.由|2，|2，得SADE222.由(1)得B1D为三棱锥B1AED的高，且|2，VAB1DEVB1AED228.解法二：依题意得，AA1平面ABC，B1C1BC4，ADBDCD2，BB1CC14，ECEC12.(1)证明：ABAC，D为BC的中点，ADBCB1B平面ABC，AD平面ABC，ADB1BBC，B1B平面B1BCC1，且BCB1BB，AD平面B1BCC1.又B1D平面B1BCC1，B1DAD由B1E2B1CEC36，B1D2B1B2BD224，DE2DC2EC212，得B1E2B1D2DE2，B1DDE.又AD，DE平面AED，且ADDED，B1D平面AED(2)过D作DMAE于点M，连接B1M.由B1D平面AED，AE平面AED，得AEB1D又B1D，DM平面B1DM，且B1DDMD，故AE平面B1DM.B1M平面B1DM，B1MAE.故B1MD为二面角B1AED的平面角由(1)得AD平面B1BCC1，又DE平面B1BCC1，ADDE.在RtAED中，DM，在RtB1DM中，B1M，cosB1MD，即二面角B1AED的余弦值为.(3)由(1)得AD平面B1BCC1，AD为三棱锥AB1DE的高，且AD2.由(1)得SB1DEB1DDE226.故VAB1DESB1DEAD628.