2021高考数学(福建-理)一轮作业：2.5-指数与指数函数.docx

§2.5 指数与指数函数
一、选择题
1．函数y＝3x与y＝－3－x的图象关于(　　)
A．x轴对称　　　　　　　　 B．y轴对称
C．直线y＝x对称 D．原点中心对称
解析：由y＝－3－x得－y＝3－x，(x，y)可知关于原点中心对称．
答案：D
2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 010)＋f(2 011)的值为(　　)．
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析　∵f(x)是偶函数，
∴f(－2 010)＝f(2 010)．
∵当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期为2的周期函数，
∴f(－2 010)＋f(2 011)＝f(2 010)＋f(2 011)
＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1.
答案　C
3.设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)．
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析　(数形结合法)如图所示．

由1<x<2，可知1<x3<8；
－1＜x－2＜0,1<x－2<2.
答案　B
4. 函数的图象（ ）
A. 关于原点对称
B. 关于直线y＝x对称
C. 关于x轴对称
D. 关于y轴对称
解析 是偶函数，图像关于y轴对称.
答案 D
5.设a＝0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a<b<c
C．b<a<c D．a<c<b
解析 　y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>>0.3，
∴1>a>b，
又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数，
∴log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b<a<c.
答案 　C
6.若函数f(x)＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，]
C．(0,2) D．[，2)
解析 　由题意可知，，
解得a≤.
答案 　B
7．设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是(　　)．
A．{0,1} B．{0，－1} C．{－1,1} D．{1,1}
解析　由f(x)＝－＝1－－＝－，
由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，
∴f(x)＞－，当x→＋∞，→0，
∴f(x)＜，∴－＜f(x)＜，
∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．
答案　B
二、填空题
8.设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________．
解析 　由f(2)＝a－2＝4，解得a＝，
∴f(x)＝2|x|，∴f(－2)＝4>2＝f(1)．
答案 　f(－2)>f(1)
9．若3a＝0.618，a∈[k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析　∵3－1＝，30＝1，＜0.618<1，∴k＝－1.
答案　－1
10．已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是 .

11．若f(x)＝a－x与g(x)＝ax－a(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.
解析　g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝a－x上，
∴1＝aa－2.∴a－2＝0，即a＝2.
答案　2
12.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，确定成立的是________．
①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c; ④2a＋2c<2.
解析 　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示．又a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，

∴f(c)<1，∴0<c<1，∴1<2c<2，f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.
答案 　④
三、解答题
13．设函数f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，求使f(x)≥2的x的取值范围．
解析　y＝2x是增函数，f(x)≥2
等价于|x＋1|－|x－1|≥. ①
(1)当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立．
(2)当－1<x<1时，|x＋1|－|x－1|＝2x，
①式化为2x≥，即≤x<1.
(3)当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式无解．
综上，x取值范围是.
14.已知函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A(1,1)，B(2,3)及C(n，Sn)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)若数列{cn}满足cn＝6nan－n，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 　(1)∵函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A、B，
∴，∴，∴f(x)＝2x－1，
∴Sn＝2n－1，∴an＝2n－1.
(2)cn＝3n·2n－n，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)，
令Pn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n ①
则2Pn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1 ②
①－②得－Pn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
∴Pn＝(n－1)2n＋1＋2，
∴Tn＝3(n－1)2n＋1＋6－.
15．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718 28…)
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
解析　(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2
＝(e2x－2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4.
(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－x－y－ex－y－e－x＋y
＝[ex＋y＋e－(x＋y)]－[ex－y＋e－(x－y)]＝g(x＋y)－g(x－y)
∴g(x＋y)－g(x－y)＝4 ①
同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8， ②
由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
∴＝3.
16．若函数y＝为奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域．
解析　∵函数y＝，∴y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即
a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0，∴a＝－.
(2)∵y＝－－，
∴2x－1≠0，即x≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.
∵2x －1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.
∴－－＞或－－＜－.
即函数的值域为{y|y＞或y＜－}．