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西安市第一中学2021届高三自命题二模拟考试
数学（文 科）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设i为虚数单位，若，则( )
A．1 B． 2 C． 3 D．4
2. 若都为命题，则“或为真命题”是“且为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3，已知三点，则向量在向量方向上的投影为（ ）
1
正（主）视图
1
1
A． B． C． D．
4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正（主）视图如图所示，
则其侧面积等于
（A） （B） （C） （D）
5.右边程序框图中，若输入，，则输出的值
别是（ ）
A. B. C. D.
6．设偶函数对任意都有，且
当时，，则 （ ）
A．10 B． C． D．
7. 如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线，P为垂线上任一点，则等于（ ）
A．－ B. C．－ D.
8.若函数（），，
的最小值是，则的单调递增区间是（ ）
A. B .
C． D．
9. 命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
0
1
4
5
6
1.3
5.6
7.4
10. 已知、取值如下表：
分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为（ ）
A. 1.6 B. 1.5 C. 1.8 D. 1.7
11. 已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：=1（a>0，b>0）渐近线的距离为 点P是抛物线y2 ＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-2 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝若函数f(x)＝，且恒有fK(x)＝f(x)，则（ ）
A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列中，,那么 .
14.设的内角的对边分别为，且满足，则的外形确定是 ．
15. 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别
为 则三棱锥A-BCD的外接球体积为____________.
16. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列。
(1) 求数列的通项公式； (2) 设,数列的前项和为,求证:。
18. （本小题满分12分）如图ABCD是正方形，
O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）．PA//平面BDE；
（2）．平面PAC平面BDE．
19.（本小题满分12分）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为的概率分别为
(Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
20.(本小题满分12分) 已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线．
21.（本小题满分共12分）已知函数 ,，（，为常数）．（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）令，若函数存在极值，且全部极值之和大于，求实数的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，
则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在中，是的角平分线，
的外接圆交于点，．
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当，时，求的长．
23．（本小题满分分）
选修：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为
(为参数)，与分别交于.（Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的一般方程；
（Ⅱ）若成等比数列，求的值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.（Ⅰ）解关于的不等式;
（Ⅱ）设的解集非空,求实数的取值范围.
西安市第一中学2021届高三自命题二模拟考试高三数学（文科 ）参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A. 4．D 5．C 6．C 7．A 8．D 9.C 10．D 11．C 12．B
二、填空题
13． 14．等腰三角形 15． 16．
三解答题
17.解：（1）由已知：对于，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①-②得, ∴∵均为正数，∴ （n≥2）∴数列是公差为1的等差数列.
又n=1时，， 解得=1, ∴.()
(2) 由（1）可知,
18. 证明： (1) 连接，
在中，为中点，为中点．，
又平面，平面，平面BDE．
P
A
B
D
O
E
C
（2）底面．
又，平面．
又平面，∴平面平面.
19.解：解（Ⅰ）设大事A表示“一个月内被投诉的次数为0”大事B表示“一个月内被投诉的次数为1”，所以.
（Ⅱ）设大事表示“第个月被投诉的次数为0”大事表示“第个月被投诉的次数为1”大事表示“第个月被投诉的次数为2”大事D表示“两个月内被投诉2次”
所以
所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为，而一、二月份均被投诉1次的概率为
所以
由大事的独立性的得.
20.解：（Ⅰ）由已知可得，，又，
解得.故所求椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.设，，
所以.由于在椭圆上，所以，即.所以. 又由于，所以.①
由已知点在圆上，为圆的直径，所以.
所以.②，
由①②可得．由于直线，有共同点，所以，，三点共线．
21.解：（Ⅰ）设在处的切线方程为，由于，
所以，故切线方程为.当时，，将 代入得．
（Ⅱ），由题意得方程有唯一解，
即方程有唯一解．令，则， 所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又，
故实数的取值范围是．
（Ⅲ） 所以.由于存在极值，所以在上有根，即方程在上有根，则有.明显当时，无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．
记方程的两根为，则
,
解得，满足.又，即，故所求的取值范围是．
22．（Ⅰ）连接,由于是圆内接四边形，所以
又∽,即有又由于，可得
由于是的平分线，所以,从而； 5分
（Ⅱ）由条件知，设，
则，依据割线定理得,
即即，
解得或（舍去），则 10分
23． (Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；直线l的一般方程为x－y－2＝0．
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*) △＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．由于a＞0，所以a＝1． 10分
24.解:(I)由题意原不等式可化为: ，即:或
由得或
由得或， 综上原不等式的解集为 (II)原不等式等价于的解集非空
令,即,
由 , 所以所以
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